В математике , алгебраической L - теории является К -теория из квадратичных форм ; этот термин был придуман CTC стены , с L используется как буква после K . Алгебраическая L- теория , также известная как «эрмитова K- теория », важна в теории хирургии . [1]
Определение
Для любого кольца с инволюцией R можно определить L -группы : квадратичные L -группы (Wall) и симметрические L -группы (Мищенко, Раницкий).
Четное измерение
Четномерный L -группыопределяются как группы Витта из Е-квадратичной формы над кольцом R с. Точнее,
абелева группа классов эквивалентности невырожденных ε-квадратичных форм над R, где лежащие в основе R-модули F конечно порождены свободными. Отношение эквивалентности задается стабилизацией относительно гиперболических ε-квадратичных форм :
- .
Дополнение в определяется
Нулевой элемент представлен для любой . Обратное является .
Нечетное измерение
Определение нечетномерных L -групп сложнее; дальнейшие подробности и определение нечетномерных L -групп можно найти в ссылках, упомянутых ниже.
Примеры и приложения
Л -групп группыявляются L -группамииз группового кольца . В приложениях к топологииявляется фундаментальной группой пространства . Квадратичные L -группы играют центральную роль в хирургической классификации гомотопических типов -мерные многообразия размерности, и в формулировке гипотезы Новикова .
Различие между симметричными L -группами и квадратичными L -группами, обозначенное верхним и нижним индексами, отражает их использование в гомологиях и когомологиях групп. Группа когомологий циклической группы имеет дело с неподвижными точками -действие, а гомологии групп имеет дело с орбитами -действие; сравнивать (фиксированные точки) и (орбиты, частное) для обозначения верхнего / нижнего индекса.
Квадратичные L -группы:и симметричные L -группы: связаны отображением симметризации который является изоморфизмом по модулю 2-кручения и соответствует поляризационным тождествам .
Квадратичная и симметрическая L -группы 4-кратно периодичны (комментарий Раницки на стр. 12 о непериодичности симметрических L -групп относится к другому типу L -групп, определяемых с помощью «коротких комплексов»).
В связи с приложениями к классификации многообразий существуют обширные вычисления квадратичной-группы . Для конечных используются алгебраические методы, и в основном геометрические методы (например, управляемая топология) используются для бесконечных .
В более общем плане можно определить L -группы для любой аддитивной категории с цепной двойственностью , как в Раницки (раздел 1).
Целые числа
В односвязных L -группах являются также L -группами целых чисел, так как для обоих знак равно или же Для квадратичных L -групп это препятствия к односвязным перестройкам.
Квадратичные L -группы целых чисел:
В дважды четной размерности (4 k ) квадратичные L -группы обнаруживают сигнатуру ; в однократно четной размерности (4 k +2) L -группы обнаруживают инвариант Арфа (топологически инвариант Кервера ).
Симметричные L -группы целых чисел:
В дважды четной размерности (4 k ) симметрические L -группы, как и квадратичные L -группы, обнаруживают сигнатуру; в размерности (4 k +1) L -группы обнаруживают инвариант де Рама .
Рекомендации
- Люк, Вольфганг (2002), «Основное введение в теорию хирургии» (PDF) , Топология многомерных многообразий, № 1, 2 (Триест, 2001) , ICTP Lect. Примечания, 9 , Abdus Salam Int. Cent. Теорет. Phys., Триест, стр. 1-224, MR 1937016
- Раники, Эндрю А. (1992), Алгебраическая L-теория и топологические многообразия (PDF) , Cambridge Tracts in Mathematics, 102 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-42024-2, Руководство по ремонту 1211640
- Wall, CTC (1999) [1970], Раники, Эндрю (редактор), Хирургия компактных многообразий (PDF) , Математические обзоры и монографии, 69 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0942-6, MR 1687388