Групповые когомологии

В математике (точнее, в гомологической алгебре ) когомологии групп - это набор математических инструментов, используемых для изучения групп с использованием теории когомологий , техники из алгебраической топологии . Аналогично групповым представлениям , групповые когомологии рассматривают групповые действия группы G в ассоциированном G -модуле M для выяснения свойств группы. Путем обработки G - модуль как своего рода топологического пространства с элементами представляющих п - симплексов${\ displaystyle G ^ {n}}$могут быть вычислены топологические свойства пространства, такие как набор групп когомологий . Группы когомологий в свою очередь , дают представление о структуре группы G и G - модуль M сами. Групповые когомологии играют роль в исследовании неподвижных точек группового действия в модуле или пространстве и фактор-модуля или пространства по отношению к групповому действию. Групповые когомологии используются в области абстрактной алгебры , гомологической алгебры , алгебраической топологии и теории алгебраических чисел , а также в приложениях к теории групп.${\ Displaystyle Н ^ {п} (Г, М)}$правильный. Как и в алгебраической топологии, существует двойственная теория, называемая гомологиями групп . Технику групповых когомологий можно распространить и на случай, когда вместо G -модуля G действует на неабелеву G -группу; по сути, это обобщение модуля на неабелевы коэффициенты.

Эти алгебраические идеи тесно связаны с топологическими идеями. Групповые когомологии дискретной группы G - это особые когомологии подходящего пространства, имеющего G в качестве фундаментальной группы , а именно соответствующее пространство Эйленберга – Маклейна . Таким образом, групповые когомологии могут рассматриваться как особые когомологии окружности S ¹ , и аналогично для и${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {\ infty} (\ mathbb {R}).}$

Многое известно о когомологиях групп, включая интерпретацию низкоразмерных когомологий, функториальность и способы изменения групп. Тема групповой когомологии зародилась в 1920-х годах, сформировалась в конце 1940-х годов и продолжает оставаться областью активных исследований сегодня.

Мотивация [ править ]

Общая парадигма теории групп состоит в том, что группу G следует изучать через ее представления групп . Небольшое обобщение этих представлений являются G - модули : а G - модуль является абелева группой М вместе с действием группы из G на М , причем каждый элемент G , действующий в качестве автоморфизма из М . Будем писать G мультипликативно, а M - аддитивно.

Для такого G -модуля M естественно рассмотреть подмодуль G -инвариантных элементов:

${\ Displaystyle M ^ {G} = \ lbrace x \ in M ​​\ | \ \ forall g \ in G: \ gx = x \ rbrace.}$

Теперь, если N является G -подмодулем в M (т. Е. Подгруппой в M, отображаемой в себя действием G ), в общем случае неверно, что инварианты в находятся как фактор инвариантов в M по те, что в N : инвариант по модулю N шире. Цель когомологий первой группы - точно измерить эту разницу.${\ Displaystyle M / N}$${\ displaystyle H ^ {1} (G, N)}$

Функторы групповых когомологий в общем случае измеряют степень, в которой инварианты не учитывают точные последовательности . Это выражается длинной точной последовательностью .${\displaystyle H^{*}}$

Определения [ править ]

Набор всех G -модулей является категорией (морфизмы - это гомоморфизмы групп f со свойством для всех g в G и x в M ). Отправляя каждый модуль M в группу инвариантов, получаем функтор из категории G -модулей в категорию Ab абелевых групп. Этот функтор точен слева, но не обязательно справа. Таким образом, мы можем сформировать его правые производные функторы . ^[a] Их значения являются абелевыми группами, и они обозначаются${\displaystyle f(gx)=g(f(x))}$${\displaystyle M^{G}}$${\displaystyle H^{n}(G,M)}$, « n -я группа когомологий G с коэффициентами из M ». Кроме того, группа может быть отождествлена ​​с .${\displaystyle H^{0}(G,M)}$${\displaystyle M^{G}}$

Комплексы Коэйна [ править ]

Определение с использованием производных функторов концептуально очень ясно, но для конкретных приложений часто полезны следующие вычисления, которые некоторые авторы также используют в качестве определения. ^[1] Для , пусть будет группа всех функций от до M (здесь означает ). Это абелева группа; его элементы называются (неоднородными) n -цепями. Кограничные гомоморфизмы${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle C^{n}(G,M)}$${\displaystyle G^{n}}$${\displaystyle G^{0}}$${\displaystyle \operatorname {id} _{G}}$

${\displaystyle {\begin{cases}d^{n+1}\colon C^{n}(G,M)\to C^{n+1}(G,M)\\\left(d^{n+1}\varphi \right)(g_{1},\ldots ,g_{n+1})=g_{1}\varphi (g_{2},\dots ,g_{n+1})+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}\varphi \left(g_{1},\ldots ,g_{i-1},g_{i}g_{i+1},\ldots ,g_{n+1}\right)+(-1)^{n+1}\varphi (g_{1},\ldots ,g_{n})\end{cases}}}$

Можно проверить, что таким образом определяется коцепной комплекс , когомологии которого могут быть вычислены. Можно показать, что упомянутое выше определение групповых когомологий в терминах производных функторов изоморфно когомологиям этого комплекса${\displaystyle d^{n+1}\circ d^{n}=0,}$

${\displaystyle H^{n}(G,M)=Z^{n}(G,M)/B^{n}(G,M).}$

Здесь группы n -коциклов и n -кограниц соответственно определяются как

${\displaystyle Z^{n}(G,M)=\ker(d^{n+1})}$

${\displaystyle B^{n}(G,M)={\begin{cases}0&n=0\\\operatorname {im} (d^{n})&n\geqslant 1\end{cases}}}$

Функторы Ext ⁿ и формальное определение групповых когомологий [ править ]

Интерпретируя G -модули как модули над групповым кольцом, можно заметить, что${\displaystyle \mathbb {Z} [G],}$

${\displaystyle H^{0}(G,M)=M^{G}=\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M),}$

т.е. подгруппа G - инвариантных элементов в М идентифицируется с группой гомоморфизмов из , которая рассматривается как тривиальный G - модуль (каждый элемент из G действует тождественно) на М .${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Следовательно, поскольку функторы Ext являются производными от Hom , существует естественный изоморфизм

${\displaystyle H^{n}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{n}(\mathbb {Z} ,M).}$

Эта Ext группа также может быть вычислена с помощью проективного разрешения , преимущества в том , что такое решение зависит только от G , а не на М . Напомним более явное определение Ext для этого контекста. Пусть F - проективное -разрешение (например, свободное -разрешение ) тривиального -модуля :${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Z [ G ] {\displaystyle \mathbb {Z} [G]} Z [ G ] {\displaystyle \mathbb {Z} [G]} ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \cdots \to F_{n}\to F_{n-1}\to \cdots \to F_{0}\to \mathbb {Z} \to 0.}$

например, всегда можно взять разрешение групповых колец с морфизмами${\displaystyle F_{n}=\mathbb {Z} [G^{n+1}],}$

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:\mathbb {Z} [G^{n+1}]\to \mathbb {Z} [G^{n}]\\(g_{0},g_{1},\ldots ,g_{n})\mapsto \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\left(g_{0},\ldots ,{\widehat {g_{i}}},\dots ,g_{n}\right)\end{cases}}}$

Напомним , что для -модулей N и M , Hom _G ( N , M ) является абелевой группой , состоящей из гомоморфизмов из N в М . Поскольку является контравариантным функтором и переворачивает стрелки, почленное применение к F и отбрасывание дает комплекс коцепей :${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(-,M)}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(-,M)}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(\mathbb {Z} ,M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(-,M)(F,M)}$

${\displaystyle \cdots \leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{n},M)\leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{n-1},M)\leftarrow \dots \leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{0},M)\leftarrow 0.}$

Группы когомологий из G с коэффициентами в модуле М определяются как когомологии выше коцепите комплекс:${\displaystyle H^{*}(G,M)}$

${\displaystyle H^{n}(G,M)=H^{n}({\rm {Hom}}_{G}(F,M)),\qquad n\geqslant 0.}$

Эта конструкция изначально приводит к кограничному оператору, действующему на «однородных» коцепях. Это элементы , то есть функции, которые подчиняются${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(F,M)}$${\displaystyle \varphi _{n}\colon G^{n}\to M}$

${\displaystyle g\phi _{n}(g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n})=\phi _{n}(gg_{1},gg_{2},\ldots ,gg_{n}).}$

Кограничный оператор теперь естественным образом определяется, например,${\displaystyle \delta \colon C^{n}\to C^{n+1}}$

${\displaystyle \delta \phi _{2}(g_{1},g_{2},g_{3})=\phi _{2}(g_{2},g_{3})-\phi _{2}(g_{1},g_{3})+\phi _{2}(g_{1},g_{2}).}$

Связь с кограничным оператором d, который был определен в предыдущем разделе и который действует на «неоднородные» коцепи , задается повторной параметризацией так, чтобы${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{2}(g_{1},g_{2})&=\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\\varphi _{3}(g_{1},g_{2},g_{3})&=\phi _{4}(1,g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3}),\end{aligned}}}$

и так далее. Таким образом

${\displaystyle {\begin{aligned}d\varphi _{2}(g_{1},g_{2},g_{3})&=\delta \phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})\\&=\phi _{3}(g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})+\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\&=g_{1}\phi _{3}(1,g_{2},g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})+\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\&=g_{1}\varphi _{2}(g_{2},g_{3})-\varphi _{2}(g_{1}g_{2},g_{3})+\varphi _{2}(g_{1},g_{2}g_{3})-\varphi _{2}(g_{1},g_{2}),\end{aligned}}}$

как в предыдущем разделе.

Групповая гомология [ править ]

Двойственно к построению когомологий групп существуют следующее определение группы гомологии : дан G - модуля М , множество ОГО быть подмодуль генерируется с помощью элементов вида г · м  -  м , г  ∈  G , т  ∈  М . Приписывая M его так называемые коинварианты , частное

${\displaystyle M_{G}:=M/DM,}$

- точный справа функтор . Его левые производные функторы по определению являются групповыми гомологиями

${\displaystyle H_{n}(G,M).}$

Ковариантный функтор , который присваивает М _G к М изоморфен функтору , который посылает M в котором наделен тривиальном G -действием. ^[b] Следовательно, можно также получить выражение групповых гомологий в терминах функторов Tor :${\displaystyle \mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M,}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle H_{n}(G,M)=\operatorname {Tor} _{n}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M)}$

Обратите внимание, что соглашение о верхних и нижних индексах для когомологий / гомологий согласуется с соглашением для групповых инвариантов / коинвариантов, в то время как это обозначено как «со-» переключатели:

• верхние индексы соответствуют когомологиям H * и инвариантам X ^G, а
• индексы соответствуют гомологии Н _* и коинварианты X _G  : = X / G .

В частности, группы гомологий H _n ( G , M ) можно вычислить следующим образом. Начнем с проективной резольвенты F тривиального -модуля, как в предыдущем разделе. Примените ковариантный функтор к F почленно, чтобы получить цепной комплекс :${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$${\displaystyle \cdot \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M}$ ${\displaystyle F\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M}$

${\displaystyle \cdots \to F_{n}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to F_{n-1}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to \cdots \to F_{0}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to \mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M.}$

Тогда H _n ( G , M ) - группы гомологий этого цепного комплекса при n ≥ 0.${\displaystyle H_{n}(G,M)=H_{n}(F\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M)}$

Групповые гомологии и когомологии могут рассматриваться единообразно для некоторых групп, особенно конечных групп , в терминах полных резольвент и групп когомологий Тейта .

Групповые гомологии абелевых групп G со значениями в области главных идеалов k тесно связаны с внешней алгеброй . ^[c]${\displaystyle H_{*}(G,k)}$ ${\displaystyle \wedge ^{*}(G\otimes k)}$

Группы когомологий малой размерности [ править ]

H ¹ [ править ]

Первая группа когомологий является фактором так называемых скрещенных гомоморфизмов , то есть отображений (множеств) f  : G → M, удовлетворяющих f ( ab ) = f ( a ) + af ( b ) для всех a , b в G , по модулю так называемые главные скрещенные гомоморфизмы , т.е. отображения f  : G → M, заданные формулой f ( a ) = am - m для некоторого фиксированного m∈ M . Это следует из определения коцепей выше.

Если действие G на М тривиально, то выше сводится к H ¹ ( G , M ) = Hom ( G , М ), группа группы гомоморфизмам G → М .

Рассмотрим случай, когда где обозначает нетривиальную -структуру на группе целых чисел. Тогда скрещенные гомоморфизмы составляют все отображения, удовлетворяющие и для некоторого целого числа a . Для главных скрещенных гомоморфизмов дополнительно, следовательно,${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-}),}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{-}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle f:\mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} }$${\displaystyle f(1)=0}$${\displaystyle f(-1)=a}$${\displaystyle f(-1)=2a,}$

${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-})\cong \mathbb {Z} /2=\langle f:f(1)=0,f(-1)=1\rangle .}$

H ² [ править ]

Если М является тривиальным G - модулем (то есть действие G на М тривиально), вторая группа когомологий Н ² ( G , М ) находится во взаимно-однозначном соответствии с множеством центральных расширений из G с помощью M ( с точностью до естественного отношения эквивалентности). В целом, если действие G на M нетривиально, H ² ( G , M ) классифицирует классов изоморфизма всех расширений из G на M,${\displaystyle 0\to M\to E\to G\to 0}$в котором действие G на E ( внутренними автоморфизмами ) наделяет (образ) M изоморфной G -модульной структурой.

В приведенном выше примере единственным расширением by с данным нетривиальным действием является бесконечная группа диэдра .${\displaystyle H^{2}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-})=0,}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Примером второй группы когомологий группы является группа Брауэра : это когомологии абсолютной группы Галуа поля k, которая действует на обратимые элементы в сепарабельном замыкании:

${\displaystyle H^{2}\left(\mathrm {Gal} (k),(k^{\mathrm {sep} })^{\times }\right).}$

Основные примеры [ править ]

Групповые когомологии конечной циклической группы [ править ]

Для конечной циклической группы порядка с образующей элемент в ассоциированном групповом кольце имеет мультипликативный обратный, заданный формулой${\displaystyle G=C_{m}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma -1\in \mathbb {Z} [G]}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle N=1+\sigma +\sigma ^{2}+\cdots +\sigma ^{m-1}\in \mathbb {Z} [G]}$

поскольку

${\displaystyle {\begin{aligned}N(1-\sigma )=&1+\sigma +\cdots +\sigma ^{m-1}\\&-\sigma -\sigma ^{2}-\cdots -\sigma ^{m}\\=&1-\sigma ^{m}\\=&0\end{aligned}}}$

Это свойство можно использовать для построения резольвенты ^{[2] [3]} тривиального -модуля через комплекс${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \cdots \xrightarrow {\sigma -1} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {N} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {\sigma -1} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {aug} \mathbb {Z} \to 0}$

дающий вычисление групповых когомологий для любого -модуля . Обратите внимание, что карта дополнения дает тривиальному модулю его -структуру с помощью${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$

${\displaystyle {\text{aug}}\left(\sum _{g\in G}a_{g}g\right)=\sum _{g\in G}a_{g}}$

Эта резолюция дает вычисление групповых когомологий, поскольку существует изоморфизм групп когомологий

${\displaystyle H^{k}(G,A)\cong {\text{Ext}}_{\mathbb {Z} [G]}^{k}(\mathbb {Z} ,A)}$

показывая, что применение функтора к вышеупомянутому комплексу (с удаленным, поскольку это разрешение является квазиизоморфизмом ) дает вычисление${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(-,A)}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle H^{k}(G,A)={\begin{cases}A^{G}/NA&k{\text{ even}},k\geq 2\\{}_{N}A/(\sigma -1)A&k{\text{ odd}},k\geq 1\end{cases}}}$

за

${\displaystyle {}_{N}A=\{a\in A:Na=0\}}$

Например, если , тривиальный модуль, а затем , и , следовательно ,${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{G}=\mathbb {Z} }$${\displaystyle N\mathbb {Z} ={\text{aug}}(N)\mathbb {Z} =m\mathbb {Z} }$${\displaystyle {}_{N}\mathbb {Z} =0}$

${\displaystyle H^{k}(C_{m},\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} &k{\text{ even}},k\geq 2\\0&k{\text{ odd}},k\geq 1\end{cases}}}$

Когомологии свободных групп [ править ]

Использование разрешения [ править ]

Для данного набора ассоциированная свободная группа имеет явное разрешение ^[4] тривиального модуля, которое может быть легко вычислено. Обратите внимание на карту аугментации${\displaystyle S}$${\displaystyle G={\text{Free}}(S)={\underset {s\in S}{*}}\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{triv}}$

${\displaystyle {\text{aug}}:\mathbb {Z} [G]\to \mathbb {Z} _{triv}}$

имеет ядро, заданное свободным подмодулем, порожденным набором , поэтому${\displaystyle I_{S}}$${\displaystyle \{s-1:s\in S\}}$

${\displaystyle I_{S}=\bigoplus _{s\in S}\mathbb {Z} [G]\cdot (s-1)}$.

Поскольку этот объект бесплатный, это дает разрешение

${\displaystyle 0\to I_{S}\to \mathbb {Z} [G]\to \mathbb {Z} _{triv}\to 0}$

следовательно, групповые когомологии с коэффициентами в могут быть вычислены путем применения функтора к комплексу , давая${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{triv}}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(-,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle 0\to I_{S}\to \mathbb {Z} [G]\to 0}$

${\displaystyle H^{k}(G,\mathbb {Z} _{triv})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\bigoplus _{s\in S}\mathbb {Z} &k=1\\0&k\geq 2\end{cases}}}$

это потому, что двойная карта

${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} _{triv})\to {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(I_{S},\mathbb {Z} _{triv})}$

отправляет любой -модульный морфизм${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$

${\displaystyle \phi :\mathbb {Z} [G]\to \mathbb {Z} _{triv}}$

индуцированному морфизму на , составив включение. Единственные карты, которые отправляются, - это кратные карты увеличения, дающие первую группу когомологий. Вторую можно найти, обратив внимание только на другие карты.${\displaystyle I_{S}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \psi \in {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(I_{S},\mathbb {Z} _{triv})}$

может быть сгенерирован на основе отправки карт для фиксированного и отправки для любого .${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle (s-1)\mapsto 1}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle (s'-1)\mapsto 0}$${\displaystyle s'\in S-\{s\}}$

Использование топологии [ править ]

Групповые когомологии свободных групп, порожденные буквами, могут быть легко вычислены путем сравнения групповых когомологий с их интерпретацией в топологии. Напомним, что для каждой группы существует топологическое пространство , называемое классифицирующим пространством группы, которое обладает свойством${\displaystyle \mathbb {Z} *\mathbb {Z} *\cdots *\mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle G}$${\displaystyle BG}$

${\displaystyle \pi _{1}(BG)=G{\text{ and }}\pi _{k}(BG)=0{\text{ for }}k\geq 2}$

Кроме того, он обладает тем свойством, что его топологические когомологии изоморфны групповым когомологиям

${\displaystyle H^{k}(BG,\mathbb {Z} )\cong H^{k}(G,\mathbb {Z} )}$

давая возможность вычислить некоторые группы групповых когомологий. Примечание может быть заменено любой локальной системой, которая определяется картой.${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \pi _{1}(G)\to GL(V)}$

для некоторой абелевой группы . В случае для писем, это представляется клина суммы из кругов ^[5] , которое может быть показано с помощью теоремы Ван-Кампена , давая группы когомологий ^[6]${\displaystyle V}$${\displaystyle B(\mathbb {Z} *\cdots *\mathbb {Z} )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S^{1}\vee \cdots \vee S^{1}}$

${\displaystyle H^{k}(\mathbb {Z} *\cdots *\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} ^{n}&k=1\\0&k\geq 2\end{cases}}}$

Свойства [ править ]

Далее пусть M - G -модуль.

Длинная точная последовательность когомологий [ править ]

На практике часто вычисляют группы когомологий, используя следующий факт: если

${\displaystyle 0\to L\to M\to N\to 0}$

является короткой точной последовательностью из G - модулей, то длинная точная последовательность индуцируется:

${\displaystyle 0\longrightarrow L^{G}\longrightarrow M^{G}\longrightarrow N^{G}{\overset {\delta ^{0}}{\longrightarrow }}H^{1}(G,L)\longrightarrow H^{1}(G,M)\longrightarrow H^{1}(G,N){\overset {\delta ^{1}}{\longrightarrow }}H^{2}(G,L)\longrightarrow \cdots }$

Так называемые соединительные гомоморфизмы ,

${\displaystyle \delta ^{n}:H^{n}(G,N)\to H^{n+1}(G,L)}$

можно описать в терминах неоднородных коцепей следующим образом. ^[7] Если представлен n -коциклом, то представлен как где - n -цепное «поднятие» (т.е. является композицией с сюръективным отображением M → N ).${\displaystyle c\in H^{n}(G,N)}$${\displaystyle \phi :G^{n}\to N,}$${\displaystyle \delta ^{n}(c)}$${\displaystyle d^{n}(\psi ),}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle G^{n}\to M}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi }$

Функциональность [ править ]

Групповые когомологии контравариантно зависят от группы G в следующем смысле: если f  : H → G - гомоморфизм группы , то мы имеем естественно индуцированный морфизм H ⁿ ( G , M ) → H ⁿ ( H , M ) (где в во втором случае M рассматривается как H -модуль через f ). Эта карта называется картой ограничений . Если индекс из H в Gконечно, существует также отображение в обратном направлении, называемое отображением переноса , ^[8]

${\displaystyle cor_{H}^{G}:H^{n}(H,M)\to H^{n}(G,M).}$

В степени 0 он задается картой

${\displaystyle {\begin{cases}M^{H}\to M^{G}\\m\mapsto \sum _{g\in G/H}gm\end{cases}}}$

Если дан морфизм G -модулей M → N , получается морфизм групп когомологий в H ⁿ ( G , M ) → H ⁿ ( G , N ).

Продукты [ править ]

Подобно другим теориям когомологий в топологии и геометрии, таким как сингулярные когомологии или когомологии де Рама , групповые когомологии имеют структуру произведения: существует естественное отображение, называемое чашечным произведением :

${\displaystyle H^{n}(G,N)\otimes H^{m}(G,M)\to H^{n+m}(G,M\otimes N)}$

для любых двух G - модулей М и N . Это дает градуированный анти-коммутативное кольцо структура на которой R представляет собой кольцо , такие как и для конечной группы G , то даже часть этого кольца когомологий в характеристике р , несет в себе много информации о группе структуры G , например , размерность Крулля этого кольца равна максимальный ранг абелевой подгруппы . ^[9]${\displaystyle \oplus _{n\geqslant 0}H^{n}(G,R),}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /p.}$${\displaystyle \oplus _{n\geqslant 0}H^{2n}(G,\mathbb {Z} /p)}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /p)^{r}}$

Например, пусть G - группа из двух элементов с дискретной топологией. Реальное проективное пространство является классифицирующим пространством для G . Пусть на поле из двух элементов. потом${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} )}$${\displaystyle k=\mathbb {F} _{2},}$

${\displaystyle H^{*}(G;k)\cong k[x],}$

полиномиальной k -алгеброй на одной образующей, поскольку это кольцо клеточных когомологий${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} ).}$

Формула Кюннета [ править ]

Если M = k - поле, то H * ( G ; k ) - градуированная k -алгебра, и когомологии произведения групп связаны с когомологиями отдельных групп формулой Кюннета :

${\displaystyle H^{*}(G_{1}\times G_{2};k)\cong H^{*}(G_{1};k)\otimes H^{*}(G_{2};k).}$

Например, если G - элементарная абелева 2-группа ранга r , и тогда формула Кюннета показывает, что когомологии G - полиномиальная k -алгебра, порожденная r классами в H ¹ ( G ; k ).,${\displaystyle k=\mathbb {F} _{2},}$

${\displaystyle H^{*}(G;k)\cong k[x_{1},\ldots ,x_{r}].}$

Гомологии против когомологий [ править ]

Что касается других теорий когомологий, таких как сингулярные когомологии , групповые когомологии и гомологии связаны друг с другом посредством короткой точной последовательности ^[10]

${\displaystyle 0\to \mathrm {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}\left(H_{n-1}(G,\mathbb {Z} ),A\right)\to H^{n}(G,A)\to \mathrm {Hom} \left(H_{n}(G,\mathbb {Z} ),A\right)\to 0,}$

где A наделена тривиальным G- действием, а член слева - первая группа Ext .

Объединенные продукты [ править ]

Для группы A, которая является подгруппой двух групп G ₁ и G ₂ , гомологии объединенного произведения (с целыми коэффициентами) лежат в длинной точной последовательности${\displaystyle G:=G_{1}\star _{A}G_{2}}$

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\to H_{n}(G_{1})\oplus H_{n}(G_{2})\to H_{n}(G)\to H_{n-1}(A)\to \cdots }$

Гомологию можно вычислить, используя это:${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /4\star _{\mathbb {Z} /2}\mathbb {Z} /6}$

${\displaystyle H_{n}(\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ))={\begin{cases}\mathbb {Z} &n=0\\\mathbb {Z} /12&{\text{odd degrees}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Эту точную последовательность можно также применить, чтобы показать, что гомологии группы и специальной линейной группы согласуются для бесконечного поля k . ^[11]${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(k[t])}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(k)}$

Смена группы [ править ]

В Хохшильда-Серра спектральная последовательность , относится когомологию нормальной подгруппы N в G и фактор G / N до когомологий группы G (для (про-) конечных групп G ). Отсюда получается точная последовательность ограничения инфляции .

Когомологии классифицирующего пространства [ править ]

Групповые когомологии тесно связаны с теориями топологических когомологий, такими как когомологии пучков , посредством изоморфизма ^[12]

${\displaystyle H^{n}(BG,\mathbb {Z} )\cong H^{n}(G,\mathbb {Z} ).}$

Выражение слева - это классифицирующая область для . Это пространство Эйленберга – Маклейна , т. Е. Пространство , фундаментальная группа которого равна нулю и высшие гомотопические группы которого равны нулю). ^[d] Классифицирующими пространствами для и являются 1-сфера S ¹ , бесконечное вещественное проективное пространство и линзовые пространства , соответственно. В общем, может быть построено как фактор , где - стягиваемое пространство, на котором действует свободно. Однако обычно не имеет легко поддающегося геометрическому описанию.${\displaystyle BG}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K(G,1)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {Z} /2}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} )=\cup _{n}\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} ),}$${\displaystyle BG}$${\displaystyle EG/G}$${\displaystyle EG}$${\displaystyle G}$${\displaystyle BG}$

В более общем смысле , можно прикрепить к любому -модулю в локальную систему коэффициентов на и выше изоморфизм обобщает до изоморфизма ^[13]${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle BG}$

${\displaystyle H^{n}(BG,M)=H^{n}(G,M).}$

Дальнейшие примеры [ править ]

Полупрямые продукты групп [ править ]

Существует способ вычислить полупрямое произведение групп, используя топологию расслоений и свойства пространств Эйленберга-Маклейна. Напомним, что для полупрямого произведения групп существует соответствующая короткая точная последовательность групп${\displaystyle G=N\rtimes H}$

${\displaystyle 1\to N\to N\rtimes H\to H\to 1}$

Используя ассоциированные пространства Эйленберга-Маклейна, существует расслоение Серра

${\displaystyle K(N,1)\to K(G,1)\to K(H,1)}$

которое можно пропустить через спектральную последовательность Серра . Это дает страницу${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(K(H,1),H^{q}(K(N,1)))\Rightarrow H^{p+q}(K(G,1))}$

что дает информацию о групповых когомологиях из групп групповых когомологий . Обратите внимание, что этот формализм можно применить чисто теоретико-групповым образом, используя спектральную последовательность Линдона – Хохшильда – Серра .${\displaystyle G}$${\displaystyle H,N}$

Когомологии конечных групп [ править ]

Группы высших когомологий - кручение [ править ]

Все группы когомологий H ⁿ ( G , M ) конечных групп G являются крученными для всех n ≥1. Действительно, по теореме Машке категория представлений конечной группы полупроста над любым полем характеристики нуль (или, в более общем смысле, над любым полем, характеристика которого не делит порядок группы), следовательно, рассмотрение когомологий групп как производных в этой абелевой категории, получаем, что он равен нулю. Другой аргумент состоит в том, что над полем нулевой характеристики групповая алгебра конечной группы представляет собой прямую сумму матричных алгебр (возможно, над алгебрами с делением, которые являются расширениями исходного поля), в то время как матричная алгебраМорита эквивалентен своему базовому полю и, следовательно, имеет тривиальные когомологии.

Если порядок G обратим в G -модуле M (например, если M является -векторным пространством), карту переноса можно использовать, чтобы показать, что для A типичное применение этого факта выглядит следующим образом: длинные точные когомологии последовательность короткой точной последовательности (где все три группы имеют тривиальное G- действие)${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle H^{n}(G,M)=0}$${\displaystyle n\geqslant 1.}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Q} \to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

дает изоморфизм

${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )=H^{1}(G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )\cong H^{2}(G,\mathbb {Z} ).}$

Когомологии Тейта [ править ]

Группы когомологий Тейта объединяют как гомологии, так и когомологии конечной группы G :

${\displaystyle {\widehat {H}}^{n}(G,M):={\begin{cases}H^{n}(G,M)&n\geqslant 1\\\operatorname {coker} N&n=0\\\ker N&n=-1\\H_{-n-1}(G,M)&n\leqslant -2,\end{cases}}}$

где индуцируется нормальным отображением:${\displaystyle N:M_{G}\to M^{G}}$

${\displaystyle {\begin{cases}M\to M\\m\mapsto \sum _{g\in G}gm\end{cases}}}$

Когомология Тейта обладает сходными чертами, такими как длинные точные последовательности, структуры продукта. Важное приложение - теория поля классов , см. Формирование классов .

Тэйт когомология конечных циклических групп , 2-периодическая в том смысле , что существует изоморфизмы${\displaystyle G=\mathbb {Z} /n,}$

${\displaystyle {\widehat {H}}^{m}(G,M)\cong {\widehat {H}}^{m+2}(G,M)\qquad {\text{for all }}m\in \mathbb {Z} .}$

Необходимый и достаточный критерий d- периодических когомологий состоит в том, что единственные абелевы подгруппы группы G циклические. ^[14] Например, любое полупрямое произведение обладает этим свойством для взаимно простых целых чисел n и m .${\displaystyle \mathbb {Z} /n\rtimes \mathbb {Z} /m}$

Приложения [ править ]

Алгебраическая K-теория и гомологии линейных групп [ править ]

Алгебраическая K-теория тесно связана с групповыми когомологиями: в + -конструкции Квиллена K-теории K -теория кольца R определяется как гомотопические группы пространства. Вот бесконечная общая линейная группа . Пространство имеет такую же степень гомологии , как например , группы гомологии GL ( R ). В некоторых случаях результаты об устойчивости утверждают, что последовательность групп когомологий${\displaystyle \mathrm {BGL} (R)^{+}.}$${\displaystyle \mathrm {GL} (R)=\cup _{n\geq 1}\mathrm {GL} _{n}(R)}$${\displaystyle \mathrm {BGL} (R)^{+}}$${\displaystyle \mathrm {BGL} (R),}$

${\displaystyle \dots \to H_{m}\left(\mathrm {GL} _{n}(R)\right)\to H_{m}\left(\mathrm {GL} _{n+1}(R)\right)\to \cdots }$

становится стационарным при достаточно больших n , тем самым сводя вычисление когомологий бесконечной общей линейной группы к вычислению некоторых . Такие результаты были установлены, когда R - поле ^[15] или для колец целых чисел в числовом поле . ^[16]${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(R)}$

Явление стабилизации групповой гомологии ряда групп называется гомологической стабильностью . В дополнение к только что упомянутому случаю это применимо к различным другим группам, таким как симметрические группы или группы классов отображения .${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle G_{n}=\mathrm {GL} _{n}(R)}$

Проективные представления и расширения групп [ править ]

В квантовой механике часто встречаются системы с группой симметрии. Мы ожидаем воздействия на гильбертово пространство унитарными матрицами. Мы могли бы ожидать, но правила квантовой механики требуют только${\displaystyle G.}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle U(g).}$${\displaystyle U(g_{1})U(g_{2})=U(g_{1}g_{2}),}$

${\displaystyle U(g_{1})U(g_{2})=\exp\{2\pi i\omega (g_{1},g_{2})\}U(g_{1}g_{2}),}$

где фаза. Это проективное представление о также можно рассматривать в качестве обычного представления группового расширения из пути , как описано в точной последовательности${\displaystyle \exp\{2\pi i\omega (g_{1},g_{2})\}\in {\rm {U}}(1)}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {U} (1),}$

${\displaystyle 1\to {\rm {U}}(1)\to {\tilde {G}}\to G\to 1.}$

Требование ассоциативности

${\displaystyle U(g_{1})[U(g_{2})U(g_{3})]=[U(g_{1})U(g_{2})]U(g_{3})}$

приводит к

${\displaystyle \omega (g_{2},g_{3})-\omega (g_{1}g_{2},g_{3})+\omega (g_{1},g_{2}g_{3})-\omega (g_{1},g_{2})=0,}$

который мы распознаем как утверждение, что это коцикл, принимающий значения в. Мы можем спросить, можем ли мы исключить фазы, переопределив${\displaystyle d\omega (g_{1},g_{2},g_{3})=0,}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \simeq {\rm {U}}(1).}$

${\displaystyle U(g)\to \exp\{2\pi i\eta (g)\}U(g)}$

что меняет

${\displaystyle \omega (g_{1},g_{2})\to \omega (g_{1},g_{2})+\eta (g_{2})-\eta (g_{1}g_{2})+\eta (g_{1}).}$

Мы распознаем это как сдвиг по когранице. Таким образом, различные проективные представления классифицируются следующим образом: Обратите внимание: если мы позволяем группам воздействовать на сами фазы (например, обращение времени будет комплексно сопряжено с фазой), то первый член в каждая из кограничных операций будет иметь действие, как в общих определениях кограницы в предыдущих разделах. Например,${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega \to \omega +d\eta .}$${\displaystyle H^{2}(G,\mathbb {R} /\mathbb {Z} ).}$${\displaystyle g_{1}}$${\displaystyle d\eta (g_{1},g_{2})\to g_{1}\eta (g_{2})-\eta (g_{1}g_{2})+\eta (g_{1}).}$

Расширения [ править ]

Когомологии топологических групп [ править ]

Для топологической группы G , т. Е. Группы , наделенной такой топологией, что произведение и обратное отображение являются непрерывными, естественно рассматривать непрерывные G -модули, т. Е. Требуя, чтобы действие

${\displaystyle G\times M\to M}$

является непрерывным отображением. Для таких модулей можно снова рассмотреть производный функтор от . Частный случай, встречающийся в алгебре и теории чисел, - это когда G проконечна, например абсолютная группа Галуа поля. Полученные когомологии называются когомологиями Галуа .${\displaystyle M\mapsto M^{G}}$

Неабелевы групповые когомологии [ править ]

Используя G -инварианты и 1-коцепи, можно построить нулевую и первую групповые когомологии для группы G с коэффициентами в неабелевой группе. В частности, G -группа (не обязательно абелева) группа вместе с действием по G .

Нулевая когомология G с коэффициентами в А определяются как подгруппа

${\displaystyle H^{0}(G,A)=A^{G},}$

элементов A , закрепленных G .

Первый когомология G с коэффициентами в А определяется как 1-коциклы по модулю отношения эквивалентности вместо от 1-кограниц. Условием того, что отображение является 1-коциклом, является то, что и если существует a в A такое, что . Вообще говоря, это не группа, когда A неабелева. Вместо этого оно имеет структуру заостренного множества - точно такая же ситуация возникает в 0-й гомотопической группе , которая для общего топологического пространства является не группой, а заостренным множеством. Обратите внимание, что группа, в частности, является заостренным множеством с элементом идентичности как выделенной точкой.${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi (gh)=\varphi (g)[g\varphi (h)]}$${\displaystyle \ \varphi \sim \varphi '}$${\displaystyle \ a\varphi '(g)=\varphi (g)\cdot (ga)}$${\displaystyle H^{1}(G,A)}$${\displaystyle \ \pi _{0}(X;x)}$

Используя явные вычисления, по-прежнему получается усеченная длинная точная последовательность в когомологиях. В частности, пусть

${\displaystyle 1\to A\to B\to C\to 1\,}$

- короткая точная последовательность G -групп, то существует точная последовательность отмеченных множеств

${\displaystyle 1\to A^{G}\to B^{G}\to C^{G}\to H^{1}(G,A)\to H^{1}(G,B)\to H^{1}(G,C).\,}$

История и связь с другими полями [ править ]

Низкоразмерные когомологии группы классически изучались в других формах задолго до того, как понятие групповых когомологий было сформулировано в 1943–45. Первую теорему по этому вопросу можно идентифицировать как теорему Гильберта 90 1897 года; это было преобразовано в уравнения Эмми Нётер в теории Галуа (появление коциклов для ). Идея фактор-множеств для проблемы расширения групп (связанных с ) возникла в работе Отто Гёльдера (1893 г.), в исследовании проективных представлений Иссая Шура 1904 г., в трактовке Отто Шрайера 1926 г. и в работе Рихарда Брауэра.${\displaystyle H^{1}}$${\displaystyle H^{2}}$Изучение простых алгебр и группы Брауэра в 1928 году . Более полное обсуждение этой истории можно найти в ( Weibel 1999 , стр. 806–811).

В 1941 году, изучая (которое играет особую роль в группах), Хайнц Хопф открыл то, что сейчас называется формулой интегральной гомологии Хопфа ( Hopf 1942 ), которая идентична формуле Шура для множителя Шура конечной конечно представленной группы:${\displaystyle H^{2}(G,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong (R\cap [F,F])/[F,R],}$

где и F - свободная группа.${\displaystyle G\cong F/R}$

Результат Хопфа привел к независимому открытию групповых когомологий несколькими группами в 1943-1945 годах: Самуэлем Эйленбергом и Сондерсом Мак-Лейном в Соединенных Штатах ( Rotman 1995 , p. 358); Хопф и Бено Экманн в Швейцарии; и Ханс Фройденталь в Нидерландах ( Weibel 1999 , p. 807). Ситуация была хаотичной, потому что во время Второй мировой войны связь между этими странами была затруднена.

С топологической точки зрения гомологии и когомологии G были сначала определены как гомологии и когомологии модели топологического классифицирующего пространства BG, как обсуждалось выше. На практике это означало использование топологии для создания цепных комплексов, используемых в формальных алгебраических определениях. С теоретико-модульной точки зрения это было интегрировано в теорию гомологической алгебры Картана - Эйленберга в начале 1950-х годов.

Применение в алгебраической теории чисел к теории полей классов дало теоремы, справедливые для общих расширений Галуа (а не только абелевых расширений ). Когомологическая часть теории поля классов была аксиоматизирована как теория классовых формаций . В свою очередь, это привело к появлению понятий когомологий Галуа и этальных когомологий (которые строятся на них) ( Weibel 1999 , p. 822). Некоторые уточнения в теории пост-1960 были сделаны, такие как непрерывные коциклах и Джон Тэйт «s переопределение , но основные контуры остаются неизменными. Это обширная область, и теперь она является основной в теорияхалгебраические группы .

Аналогичная теория для алгебр Ли , называемая когомологиями алгебр Ли , была впервые разработана в конце 1940-х годов Клодом Шевалле, Эйленбергом и Жаном-Луи Кошулем ( Weibel 1999 , p. 810). Формально он аналогичен, используя соответствующее определение инварианта для действия алгебры Ли. Он много применяется в теории представлений , и тесно связана с BRST квантования в области теоретической физики .

Теория групповых когомологий также имеет прямое приложение в физике конденсированного состояния. Точно так же, как теория групп является математической основой фаз спонтанного нарушения симметрии , теория когомологий групп является математической основой класса квантовых состояний материи - короткодействующих запутанных состояний с симметрией. Краткодействующие запутанные состояния с симметрией также известны как топологические состояния с защитой от симметрии . ^{[17] [18]}

См. Также [ править ]

• Спектральная последовательность Линдона – Хохшильда – Серра.
• N-группа (теория категорий)
• Постникова башня

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Процитированные работы [ править ]

• Адем, Алехандро ; Милграм, Р. Джеймс (2004), Когомологии конечных групп , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 309 (2-е изд.), Springer-Verlag, DOI : 10.1007 / 978-3-662-06280-7 , ISBN 978-3-540-20283-7, Руководство по ремонту  2035696 , Zbl  1061.20044
• Браун, Кеннет С. (1972), Когомологии групп , Тексты для выпускников по математике , 87 , Springer Verlag, ISBN 978-0-387-90688-1, Руководство по ремонту  0672956
• Хопфа, Хайнц (1942), "Fundamentalgruppe унд Zweite Bettische Gruppe" , Commentarii Mathematici Helvetici , 14 (1): 257-309, DOI : 10.1007 / BF02565622 , СУЛ  68.0503.01 , МР  0006510 , Zbl  +0027,09503
• Кнудсон, Кевин П. (2001), Гомологии линейных групп , Progress in Mathematics, 193 , Birkhäuser Verlag, Zbl  0997.20045
• Милн, Джеймс (2013), "Глава II: Когомологии групп", Теория поля классов , v4.02
• Ротман, Джозеф Дж. (1995), Введение в теорию групп , Тексты для выпускников по математике , 148 (4-е изд.), Springer-Verlag, DOI : 10.1007 / 978-1-4612-4176-8 , ISBN 978-0-387-94285-8, Руководство по ремонту  1307623
• Серр, Жан-Пьер (1979). «Глава VII». Местные поля . Тексты для выпускников по математике . 67 . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90424-5. Руководство по ремонту  0554237 . Zbl  0423.12016 .
• Weibel, Чарльз А. (1999), "История гомологической алгебры", История топологии , Cambridge University Press, стр 797-836,. CiteSeerX  10.1.1.39.9076 , DOI : 10.1016 / B978-044482375-5 / 50029-8 , ISBN 978-0-444-82375-5, MR  1721123