Инвариант Arf

Arf и формула для инварианта Arf указаны на обратной стороне банкноты в 10 турецких лир 2009 г.

В математике , то Арфы инвариант неособой квадратичной формы над полем из характеристического 2 был определен турецким математик Cahit Arf  ( 1941 ) , когда он начал систематическое изучение квадратичных форм над произвольными полями характеристик 2. Арф инварианта является заменителем, в характеристике 2 для дискриминанта квадратичных форм в характеристике not 2. Арф использовал свой инвариант, среди прочего, в своей попытке классифицировать квадратичные формы в характеристике 2.

В частном случае двухэлементного поля F ₂ инвариант Arf можно описать как элемент F _2, который чаще всего встречается среди значений формы. Две неособые квадратичные формы над F ₂ изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность и один и тот же инвариант Arf. Этот факт был по существу известен Леонарду Диксону  ( 1901 ) даже для любого конечного поля характеристики 2, и Арф доказал его для произвольного совершенного поля .

Инвариант Арфа особенно применяется в геометрической топологии , где он в основном используется для определения инварианта (4 k + 2) -мерных многообразий ( однократно четных -мерных многообразий : поверхностей (2-многообразий), 6-многообразий, 10-многообразий и т.д.) с некоторой дополнительной структурой , называемой каркасным , и , таким образом инвариантом Арф- Кервера и инвариантом Арф сучка . Инвариант Арфа аналогичен сигнатуре многообразия , которая определена для 4 k -мерных многообразий ( дважды четных-размерный); эта 4-кратная периодичность соответствует 4-кратной периодичности L-теории . Инвариант Арфа может быть определен и в более общем виде для некоторых 2k -мерных многообразий.

Определения [ править ]

Инвариантны Арфы определяются для квадратичной формы д над полем K характеристика 2 таким образом, что д неособо, в том смысле , что соответствующая билинейная форма является невырожденной , . Форма имеет переменный , так как К имеет характеристику 2; Отсюда следует, что неособая квадратичная форма характеристики 2 должна иметь четную размерность. Любая бинарная (2-мерная) неособая квадратичная форма над К эквивалентна форме с в K . Инвариант Arf определяется как продукт . Если форма эквивалентна , то продукты${\ Displaystyle b (u, v) = q (u + v) -q (u) -q (v)}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle q (x, y) = ax ^ {2} + xy + by ^ {2}}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle ab}$${\displaystyle q'(x,y)=a'x^{2}+xy+b'y^{2}}$${\displaystyle q(x,y)}$${\displaystyle ab}$и отличаются друг от элемента формы с в K . Эти элементы образуют аддитивную подгруппу U из K . Следовательно, смежный класс по модулю U является инвариантом , что означает, что он не изменяется при замене эквивалентной формой.${\displaystyle a'b'}$${\displaystyle u^{2}+u}$${\displaystyle u}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$

Всякая неособая квадратичная форма над K эквивалентна прямой сумме невырожденных бинарных форм. Это было показано Арфом, но ранее это наблюдалось Диксоном в случае конечных полей характеристики 2. Инвариант Арфа Arf ( ) определяется как сумма инвариантов Арфа поля . По определению, это смежный класс K по модулю U . Арф ^[1] показал, что действительно не меняется, если его заменить эквивалентной квадратичной формой, то есть инвариантом .${\displaystyle q}$${\displaystyle q=q_{1}+\cdots +q_{r}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle \operatorname {Arf} (q)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$

Инвариант Arf аддитивен; другими словами, инвариант Arf ортогональной суммы двух квадратичных форм есть сумма их инвариантов Arf.

Для поля K характеристики 2, Артина- шрейеровых теории идентифицирует фактор - группе K по подгруппе U выше с Галуа когомологий группы H ¹ ( K , F ₂ ). Другими слова, ненулевые элементы K / U находятся во взаимно однозначное соответствие с отделимым квадратичным полем расширением полем K . Таким образом, Arf-инвариант невырожденной квадратичной формы над K либо равен нулю, либо описывает сепарабельное квадратичное поле расширения K. Это аналогично дискриминанту невырожденной квадратичной формы над полем F характеристики не 2. В этом случае дискриминант принимает значения в F ^* / ( F ^* ) ² , которые можно отождествить с H ¹ ( F , F ₂ ) по теории Куммера .

Основные результаты Арфа [ править ]

Если поле K совершенно, то каждая неособая квадратичная форма над K однозначно (с точностью до эквивалентности) определяется своей размерностью и своим Arf-инвариантом. В частности, это верно над полем F ₂ . В этом случае подгруппа U, указанная выше, равна нулю, и, следовательно, инвариант Arf является элементом базового поля F ₂ ; либо 0, либо 1.

Если поле K характеристики 2 не является совершенным (то есть, K отличается от его подполе K ² квадратов), то алгебра Клиффорда является еще одним важным инвариантом квадратичной формы. Исправленная версия исходного утверждения Арфа состоит в том, что если степень [ K : K ² ] не превосходит 2, то каждая квадратичная форма над K полностью характеризуется своей размерностью, инвариантом Арфа и своей алгеброй Клиффорда. ^[2] Примерами таких полей являются функциональные поля (или поля степенного ряда ) одной переменной над полями идеальной основы.

Квадратичные формы над F ₂ [ править ]

Над F ₂ инвариант Arf равен 0, если квадратичная форма эквивалентна прямой сумме копий двоичной формы , и 1, если форма является прямой суммой с количеством копий .${\displaystyle xy}$${\displaystyle x^{2}+xy+y^{2}}$${\displaystyle xy}$

Уильям Браудер назвал инвариант Арфа демократическим инвариантом ^[3], потому что это значение, которое чаще всего принимает квадратичная форма. ^[4] Другая характеристика: q имеет Arf-инвариант 0 тогда и только тогда, когда лежащее в основе 2 k -мерное векторное пространство над полем F ₂ имеет k -мерное подпространство, на котором q тождественно 0, то есть полностью изотропное подпространство половины измерение. Другими словами, неособая квадратичная форма размерности 2 k имеет Arf-инвариант 0 тогда и только тогда, когда ее индекс изотропии равен k (это максимальная размерность полностью изотропного подпространства невырожденной формы).

Инвариант Арфа в топологии [ править ]

Эта статья может быть слишком технической для понимания большинством читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технические детали. ( Август 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Пусть М будет компактным , подключено 2 к - мерное многообразие с краем , что индуцированные морфизмами в -коэффициенте гомологии${\displaystyle \partial M}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle H_{k}(M,\partial M;\mathbb {Z} _{2})\to H_{k-1}(\partial M;\mathbb {Z} _{2}),\quad H_{k}(\partial M;\mathbb {Z} _{2})\to H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})}$

оба равны нулю (например, if is closed). Форма пересечения${\displaystyle M}$

${\displaystyle \lambda :H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\times H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\to \mathbb {Z} _{2}}$

неособое. (Топологи обычно пишут F ₂ как .) Квадратичное уточнение для - это функция, которая удовлетворяет${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu :H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\to \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle \mu (x+y)+\mu (x)+\mu (y)\equiv \lambda (x,y){\pmod {2}}\;\forall \,x,y\in H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})}$

Позвольте быть любое 2-мерное подпространство , такое, что . Тогда есть две возможности. Либо все из них равны 1, либо только один из них равен 1, а два других - 0. Назовите первый случай и второй случай . Поскольку каждая форма эквивалентна симплектической форме, мы всегда можем найти подпространства, в которых x и y являются -двойственными. Таким образом, мы можем разбить на прямую сумму подпространств, изоморфных либо, либо . Кроме того, хитроумно поменяв базис, мы определяем инвариант Arf ${\displaystyle \{x,y\}}$${\displaystyle H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})}$${\displaystyle \lambda (x,y)=1}$${\displaystyle \mu (x+y),\mu (x),\mu (y)}$${\displaystyle H^{1,1}}$${\displaystyle H^{0,0}}$${\displaystyle \{x,y\}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2})}$${\displaystyle H^{0,0}}$${\displaystyle H^{1,1}}$${\displaystyle H^{0,0}\oplus H^{0,0}\cong H^{1,1}\oplus H^{1,1}.}$

${\displaystyle \operatorname {Arf} (H_{k}(M;\mathbb {Z} _{2});\mu )=({\text{number of copies of }}H^{1,1}{\text{ in a decomposition mod 2}})\in \mathbb {Z} _{2}.}$

Примеры [ править ]

• Пусть - компактное связное ориентированное двумерное многообразие , т. Е. Поверхность , такого рода , что граница либо пуста, либо связна. Вставить в , где . Выберите оснащение M , то есть тривиализацию нормального ( m  - 2) -плоскостного векторного расслоения . (Это возможно , поэтому, безусловно, возможно ). Выберите симплектический базис для . Каждый базовый элемент представлен встроенным кружком . Нормальный ( м  - 1) -плоскость векторное расслоение из${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle \partial M}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle S^{m}}$${\displaystyle m\geq 4}$${\displaystyle m=3}$${\displaystyle m\geq 4}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{2g-1},x_{2g}}$${\displaystyle H_{1}(M)=\mathbb {Z} ^{2g}}$${\displaystyle x_{i}:S^{1}\subset M}$${\displaystyle S^{1}\subset M\subset S^{m}}$имеет две тривиализации: одна определяется стандартным оснащением стандартного вложения, а другая - оснащением M , которые отличаются отображением, то есть элементом for . Это также можно рассматривать как класс оснащенных кобордизмов с этим оснащением в 1-мерной группе оснащенных кобордизмов , которая порождается окружностью с оснащением группы Ли. Изоморфизм здесь осуществляется через конструкцию Понтрягина-Тома . Определите как этот элемент. Теперь определен Арф-инвариант оснащенной поверхности.${\displaystyle S^{1}\subset S^{m}}$${\displaystyle S^{1}\to SO(m-1)}$${\displaystyle \pi _{1}(SO(m-1))\cong \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle m\geq 4}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \Omega _{1}^{\text{framed}}\cong \pi _{m}(S^{m-1})\,(m\geq 4)\cong \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \mu (x)\in \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle \Phi (M)=\operatorname {Arf} (H_{1}(M,\partial M;\mathbb {Z} _{2});\mu )\in \mathbb {Z} _{2}}$

Обратите внимание на то, что нам пришлось стабилизировать, взяв как минимум 4, чтобы получить элемент . Случай также допустим, если мы берем вычет оснащения по модулю 2.${\displaystyle \pi _{1}(SO(2))\cong \mathbb {Z} ,}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle m=3}$

• Инвариант Арфа оснащенной поверхности определяет, существует ли 3-многообразие, граница которого является данной поверхностью, продолжающей данное оснащение. Это потому, что не связано. представляет собой тор с тривиализацией, на обоих образующих которого скручивается нечетное число раз. Ключевым фактом является то, что с точностью до гомотопии есть два варианта тривиализации тривиального 3-плоского расслоения над окружностью, соответствующих двум элементам . Нечетное количество скручиваний, известное как обрамление группы Ли, не распространяется на диск, в то время как четное количество скручиваний распространяется. (Обратите внимание, что это соответствует размещению спиновой структуры на нашей поверхности.) Понтрягин${\displaystyle \Phi (M)}$${\displaystyle H^{1,1}}$${\displaystyle H^{1,1}}$${\displaystyle T^{2}}$${\displaystyle H_{1}(T^{2};\mathbb {Z} _{2})}$${\displaystyle \pi _{1}(SO(3))}$использовал инвариант Арфа оснащенных поверхностей для вычисления 2-мерной группы оснащенных кобордизмов , которая порождается тором с оснащением группы Ли. Изоморфизм здесь осуществляется через конструкцию Понтрягина-Тома .${\displaystyle \Omega _{2}^{\text{framed}}\cong \pi _{m}(S^{m-2})\,(m\geq 4)\cong \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle T^{2}}$

• Позвольте быть поверхностью Зейферта для узла, который может быть представлен как диск с прикрепленными лентами. Полосы обычно скручиваются и завязываются узлами. Каждая полоса соответствует генератору . можно представить в виде круга, пересекающего одну из полос. Определите как количество полных скручиваний в ленте по модулю 2. Предположим, мы позволили ограничить и вдавить поверхность Зейферта внутрь , так что ее граница все еще находится внутри . Теперь вокруг любого генератора мы имеем тривиальное нормальное 3-плоскостное векторное расслоение. Упростите его, используя тривиальное оснащение нормального расслоения до вложения${\displaystyle (M^{2},\partial M)\subset S^{3}}$${\displaystyle \partial M=K:S^{1}\hookrightarrow S^{3}}$${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle x\in H_{1}(M;\mathbb {Z} _{2})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mu (x)}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle D^{4}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle D^{4}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle x\in H_{1}(M,\partial M)}$${\displaystyle M\hookrightarrow D^{4}}$для 2-х разделов требуется. Для третьего выберите сечение, которое остается перпендикулярно , но всегда касательно . Эта тривиализация снова определяет элемент , который мы принимаем за него . Обратите внимание, что это совпадает с предыдущим определением .${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi _{1}(SO(3))}$${\displaystyle \mu (x)}$${\displaystyle \mu }$

• Арф инвариант узла определяется через его Seifert поверхности. Он не зависит от выбора поверхности Зейферта (изменение базовой хирургии S-эквивалентности, добавление / удаление трубки, добавление / удаление прямого слагаемого) и, следовательно, является инвариантом узла . Он аддитивен относительно связной суммы и обращается в нуль на срезных узлах , поэтому является инвариантом согласования узлов.${\displaystyle H^{0,0}}$

• Форма пересечения на гомологиях (2 k + 1) -мерных коэффициентов оснащенного (4 k + 2) -мерного многообразия M имеет квадратичное измельчение , которое зависит от оснащения. Для и представлено встраиванием значение 0 или 1, в зависимости от того, является ли обычный набор тривиальным или нет. Керверы инвариантна в обрамлении (4 к + 2) мерное многообразие М является Арфы инварианта квадратичного уточнения на${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle H_{2k+1}(M;\mathbb {Z} _{2})}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle k\neq 0,1,3}$${\displaystyle x\in H_{2k+1}(M;\mathbb {Z} _{2})}$ ${\displaystyle x\colon S^{2k+1}\subset M}$${\displaystyle \mu (x)\in \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle H_{2k+1}(M;\mathbb {Z} _{2})}$. Инвариант Кервера - это гомоморфизм на (4 k + 2) -мерной стабильной гомотопической группе сфер. Инвариант Кервера также может быть определен для (4 k + 2) -мерного многообразия M, оснащенного кроме точки.${\displaystyle \pi _{4k+2}^{S}\to \mathbb {Z} _{2}}$

• В теории хирургии для любого -мерного нормального отображения определена невырожденная квадратичная форма на ядре -коэффициент гомологии${\displaystyle 4k+2}$${\displaystyle (f,b):M\to X}$${\displaystyle (K_{2k+1}(M;\mathbb {Z} _{2}),\mu )}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle K_{2k+1}(M;\mathbb {Z} _{2})=ker(f_{*}:H_{2k+1}(M;\mathbb {Z} _{2})\to H_{2k+1}(X;\mathbb {Z} _{2}))}$

уточнение формы гомологического пересечения . Инвариант Арфа этой формы является инвариантом Кервера для ( f , b ). В частном случае это инвариант Кервера из M . Инвариант Кервер особенности в классификации экзотических сфер по Мишель Кервером и Джон Милнором , и в целом в классификации многообразий теории перестроек . Уильям Браудер определил с помощью функциональных квадратов Стинрода , а CTC Wall определил с помощью рамок.${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle X=S^{4k+2}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$погружения . Квадратичное усиление критически дает больше информации, чем  : убить x хирургическим путем можно тогда и только тогда, когда . Соответствующий инвариант Кервера обнаруживает препятствие к операциям в L-группе .${\displaystyle \mu (x)}$${\displaystyle \lambda (x,x)}$${\displaystyle \mu (x)=0}$${\displaystyle (f,b)}$ ${\displaystyle L_{4k+2}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} _{2}}$

См. Также [ править ]

• инвариант де Рама, инвариант mod 2 -мерных многообразий${\displaystyle (4k+1)}$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• См. Lickorish (1997) относительно связи между инвариантом Арфа и многочленом Джонса .
• См. Главу 3 книги Картера для другого эквивалентного определения инварианта Арфа в терминах самопересечений дисков в 4-мерном пространстве.
• Arf, Cahit (1941), "Untersuchungen über quadratische Formen in Körpern der Charakteristik 2, I", J. Reine Angew. Математика. , 183 : 148–167
• Глен Бредон : топология и геометрия , 1993, ISBN 0-387-97926-3 . 
• Браудер, Уильям (1972), Хирургия односвязных многообразий , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR  0358813
• Дж. Скотт Картер: Как поверхности пересекаются в пространстве , Серия о узлах и всем остальном, 1993, ISBN 981-02-1050-7 . 
• А. В. Чернавский (2001) [1994], "Арф-инвариант" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Диксон, Леонард Юджин (1901), Линейные группы: с изложением теории поля Галуа , Нью-Йорк: Dover Publications, MR  0104735
• Кирби, Robion (1989), топология 4-многообразий , Лекции по математике, 1374 , Springer-Verlag, DOI : 10.1007 / BFb0089031 , ISBN 0-387-51148-2, MR  1001966
• Раймонд Ликориш , Введение в теорию узлов , Тексты для выпускников по математике, Springer, 1997, ISBN 0-387-98254-X 
• Мартино, Дж .; Придди, С. (2003), "Расширения групп и групповые кольца автоморфизмов", Гомологии, гомотопии и приложения , 5 (1): 53–70, arXiv : 0711.1536 , doi : 10.4310 / hha.2003.v5.n1.a3
• Лев Понтрягин , Гладкие многообразия и их приложения в теории гомотопий American Mathematical Society Translations, Сер. 2, т. 11. С. 1–114 (1959).

Дальнейшее чтение [ править ]

• Лоренц, Фалько; Рокетт, Питер (2013), «Кахит Арф и его инвариант», Вклад в историю теории чисел в 20 веке (PDF) , Наследие европейской математики, Цюрих: Европейское математическое общество , стр. 189–222, ISBN 978-3-03719-113-2, Руководство по ремонту  2934052 , Zbl  1276.11001
• Knus, Max-Альберт (1991), Квадратичные и эрмитовы формы над кольцами , Grundlehren Mathematischen Wissenschaften дер, 294 , Berlin: Springer-Verlag ., С. 211-222, DOI : 10.1007 / 978-3-642-75401-2 , ISBN 3-540-52117-8, MR  1096299 , Zbl  0756.11008