Раздельное расширение

В теории поля , подпол алгебры , алгебраическое расширение поля называется сепарабельное расширением , если для каждого , то минимальный многочлен из над F является разъемным многочленом (т.е. его формальная производная не является нулевой, или что то же самым он не повторил корни любое поле расширения). ^[1] Существуют также более общее определение , которое применяется , когда Е не обязательно алгебраические над F . Неразделимое расширение называется неотделимым .${\ Displaystyle E \ supseteq F}$${\ displaystyle \ alpha \ in E}$${\ displaystyle \ alpha}$

Всякое алгебраическое расширение поля нулевой характеристики сепарабельно, и всякое алгебраическое расширение конечного поля сепарабельно. ^[2] Отсюда следует, что большинство расширений, которые рассматриваются в математике, отделимы. Тем не менее, концепция отделимости важна, поскольку существование неразделимых расширений является основным препятствием для распространения многих теорем, доказанных в нулевой характеристике, на ненулевую характеристику. Например, основная теорема теории Галуа - это теорема о нормальных расширениях , которая остается верной в ненулевой характеристике только в том случае, если расширения также считаются сепарабельными. ^[3]

Противоположное понятие, чисто неотделимое расширение , также возникает естественным образом, поскольку каждое алгебраическое расширение может быть однозначно разложено как чисто неотделимое расширение отделимого расширения. Алгебраическое расширение полей ненулевой характеристики р является чисто неотделима расширением , если и только если для каждого , минимальный многочлен над F является не сепарабельный многочлен, или, что то же, для каждого элемента х из Е , существует положительная целое k такое, что . ^[4]${\ Displaystyle E \ supseteq F}$${\ displaystyle \ alpha \ in E \ setminus F}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle x ^ {p ^ {k}} \ in F}$

Простейший пример (чисто) неотделимого расширения - это поля рациональных функций от неопределенного x с коэффициентами в конечном поле . Элемент имеет минимальный многочлен , имеющий и p -кратный кратный корень, как . Это простое алгебраическое расширение степени p , as , но это не нормальное расширение, поскольку группа Галуа тривиальна.${\ Displaystyle E = \ mathbb {F} _ {p} (x) \ supset F = \ mathbb {F} _ {p} (x ^ {p})}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p} = \ mathbb {Z} / (p)}$${\ displaystyle x \ in E}$${\ Displaystyle f (X) = X ^ {p} -x ^ {p} \ in F [X]}$${\ displaystyle f '\! (X) = 0}$${\ Displaystyle f (X) = (Xx) ^ {p} \ in E [X]}$${\ displaystyle E = F [x]}$${\ displaystyle {\ text {Gal}} (E / F)}$

Неформальное обсуждение [ править ]

Произвольный многочлен f с коэффициентами в некотором поле F называется имеющим различные корни или свободным от квадратов, если он имеет корни deg ( f ) в некотором поле расширений . Например, многочлен g ( X ) = X ² - 1 имеет ровно deg ( g ) = 2 корня на комплексной плоскости; а именно 1 и –1 , и, следовательно , имеет разные корни. С другой стороны, многочлен h ( X ) = ( X${\ Displaystyle E \ supseteq F}$- 2) ² , который является квадратом непостоянного многочлена , не имеет различных корней, так как его степень равна двум, а 2 является его единственным корнем.

Каждый многочлен может быть разложен на линейные множители над алгебраическим замыканием поля его коэффициентов. Следовательно, многочлен не имеет различных корней тогда и только тогда, когда он делится на квадрат многочлена положительной степени. Это имеет место тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель многочлена и его производной не является константой. Таким образом, для проверки того, является ли многочлен бесквадратным, нет необходимости явно рассматривать какое-либо расширение поля или вычислять корни.

В этом контексте случай неприводимых многочленов требует некоторой осторожности. Априори может показаться, что деление на квадрат невозможно для неприводимого многочлена , у которого нет непостоянного делителя, кроме самого себя. Однако несводимость зависит от окружающего поля, и полином может быть неприводимым над F и приводимым над некоторым расширением F . Точно так же делимость на квадрат зависит от окружающего поля. Если неприводимый многочлен f над F делится на квадрат над некоторым расширением поля, то (согласно обсуждению выше) наибольший общий делитель f и его производной f ' непостоянен. Обратите внимание, что коэффициенты прие ' принадлежат к однойтой же областикаку F , и наибольший общий делитель двух многочленов не зависит от окружающего поля, такнаибольший общий делитель F и F ' имеет коэффициенты в F . Поскольку f неприводима в F , этот наибольший общий делитель обязательно являетсясамой f . Поскольку степень f ' строго меньше степени f , отсюда следует, что производная f равна нулю, что означает, что характеристика поля является простым числом p , и f может быть написано

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {k} a_ {i} x ^ {pi}.}$

Такой многочлен, как этот, формальная производная которого равна нулю, называется неотделимым . Неразделимые многочлены называются отделимыми . Сепарабельное расширение является расширением , которое может быть сгенерировано с помощью разъемных элементов , то есть элементы , чьи минимальные многочлены отделимы.

Отделимые и неотделимые многочлены [ править ]

Неприводимый многочлен F в F [ X ] является отделимы тогда и только тогда , когда оно имеет различные корни в любом расширении из F (то есть , если она может быть разложена в различных линейных множителей над алгебраическим замыканием в F ) . ^[5] Пусть f в F [ X ] - неприводимый многочлен, а f '- его формальная производная . Тогда следующие условия сепарабельности неприводимого многочлена f являются эквивалентными :

• Если E является расширением F, в котором f является произведением линейных множителей, то никакой квадрат из этих множителей не делит f в E [ X ] (то есть f не содержит квадратов над E ). ^[6]
• Существует расширение E группы F такое, что f имеет в E попарно различные корни deg ( f ) . ^[6]
• Константа 1 является многочленом наибольший общий делитель из F и F ' . ^[7]
• Формальная производная f ' от f не является нулевым многочленом. ^[8]
• Либо характеристика F равна нулю, либо характеристика равна p , а f не имеет вида${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {i = 0} ^ {k} a_ {i} X ^ {pi}.}$

Поскольку формальная производная полинома положительной степени может быть равна нулю только в том случае, если поле имеет простую характеристику, для того чтобы неприводимый полином не был отделимым, его коэффициенты должны лежать в поле простой характеристики. В более общем смысле, неприводимый (ненулевой) многочлен f в F [ X ] не отделим, если и только если характеристика F является (ненулевым) простым числом p , и f ( X ) = g ( X ^p ) для некоторого неприводимого многочлена g из F [ X ] . ^[9]Из повторного применения этого свойства следует, что на самом деле для неотрицательного целого числа n и некоторого сепарабельного неприводимого многочлена g из F [ X ] (где предполагается, что F имеет простую характеристику p ). ^[10]${\ Displaystyle f (X) = г (X ^ {p ^ {n}})}$

Если эндоморфизм Фробениуса из F не сюръективно, существует элемент , который не является р - й степенью элемента из F . В этом случае многочлен неприводим и неотделим. С другой стороны , если существует неразрывную неприводимые (ненулевой) полином в F [ X ] , то эндоморфизм Фробениуса из F не может быть автоморфизм , так как , в противном случае, мы имели бы для некоторых , и полином F будет фактор , как ^{[11 ]}${\ Displaystyle х \ к х ^ {p}}$${\ displaystyle a \ in F}$${\ displaystyle X ^ {p} -a}$${\ displaystyle \ textstyle f (X) = \ sum a_ {i} X ^ {ip}}$${\displaystyle a_{i}=b_{i}^{p}}$${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle \textstyle \sum a_{i}X^{ip}=\left(\sum b_{i}X^{i}\right)^{p}.}$

Если K - конечное поле простой характеристики p , и если X - неопределенное , то поле рациональных функций над K , K ( X ) , обязательно несовершенно , а многочлен f ( Y ) = Y ^p - X неотделим (его формальная производная по Y равна 0). ^{[1] В} более общем смысле, если F - любое поле (ненулевой) простой характеристики, для которого эндоморфизм Фробениуса не является автоморфизмом,F обладает неотделимым алгебраическим расширением. ^[12]

Поле F является совершенным , если и только если все неприводимые многочлены отделимы. Отсюда следует , что F является совершенным тогда и только тогда , когда либо Р имеет характеристику нуль, либо Р имеет (не ноль) простой характеристики р и эндоморфизм Фробениуса из F автоморфизм. Это включает в себя каждое конечное поле.

Разделимые элементы и разделимые расширения [ править ]

Позвольте быть расширением поля. Элемент является разъемным над F , если он алгебраический над F , а его минимальный многочлен отделимо (минимальный многочлен элемента обязательно неприводимый).${\displaystyle E\supseteq F}$${\displaystyle \alpha \in E}$

Если отделимы над F , то , и отделимы над F .${\displaystyle \alpha ,\beta \in E}$${\displaystyle \alpha +\beta }$${\displaystyle \alpha \beta }$${\displaystyle 1/\alpha }$

Таким образом, множество всех элементов Е сепарабельной над F образует подпол Е , называется сепарабельное замыканием из F в E . ^[13]

Сепарабельное замыкание F в алгебраическом замыкании на F просто называется сепарабельное замыкание в F . Как и алгебраическое замыкание, оно единственно с точностью до изоморфизма, и, вообще говоря, этот изоморфизм не единственен.

Расширение поля является отделимо , если Е является сепарабельным замыканием F в E . Это так, если и только если E порождается над F отделимыми элементами.${\displaystyle E\supseteq F}$

Если это расширение поля, то Е сепарабелен над F тогда и только тогда , когда Е сепарабелен над L и L сепарабелен над F . ^[14]${\displaystyle E\supseteq L\supseteq F}$

Если является конечным расширением (то есть E является F- векторным пространством конечной размерности), то следующие утверждения эквивалентны.${\displaystyle E\supseteq F}$

1. E сепарабелен над F .
2. ${\displaystyle E=F(a_{1},\ldots ,a_{r})}$где есть разъемные элементы Е .${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}$
3. ${\displaystyle E=F(a)}$где является разъемным элементом Е .
4. Если K алгебраическое замыкание F , то есть именно поле гомоморфизмы из Е в К , которые фиксируют F .${\displaystyle [E:F]}$
5. Для любого нормального расширения K из F , который содержит Е , то есть в точности поле гомоморфизмы Е в К , которые фиксируют F .${\displaystyle [E:F]}$

Эквивалентность 3 и 1 известна как теорема о примитивных элементах или теорема Артина о примитивных элементах . Свойства 4. и 5. лежат в основе теории Галуа и, в частности, основной теоремы теории Галуа .

Разделимые расширения в алгебраических расширениях [ править ]

Пусть - алгебраическое расширение полей характеристики p . Сепарабельное замыкание F в Е является Для каждого элемента существует положительное целое число K такое , что и , следовательно , Е является чисто несепарабельное расширение из S . Отсюда следует , что S является единственным промежуточным поле, которое разъемные над F и над которой Е является чисто неразделимы . ^[15]${\displaystyle E\supseteq F}$${\displaystyle S=\{\alpha \in E|\alpha {\text{ is separable over }}F\}.}$${\displaystyle x\in E\setminus S}$${\displaystyle x^{p^{k}}\in S,}$

Если является конечным расширением , его степень [ E  : F ] является произведением степеней [ S  : F ] и [ E  : S ] . Бывшее, часто обозначается [ Е  : F ] _{Сентябрь} часто упоминаются как отделяемой части из [ E  : F ] , или как сепарабельному степени от E / F ; последняя называется неотделимой частью${\displaystyle E\supseteq F}$ степени или неотделимой степени . ^[16] Неразделимая степень равна 1 в характеристике ноль и степень p в характеристике p > 0 . ^[17]

С другой стороны, любое алгебраическое расширение не может иметь промежуточное расширение K , которое чисто неотделим над F и над которой Е является разъемным . Однако такое промежуточное расширение может существовать, если, например, является нормальным расширением конечной степени (в этом случае K - фиксированное поле группы Галуа E над F ). Предположим, что такое промежуточное расширение действительно существует и [ E  : F ] конечно, тогда [ S  : F ] = [ E  :${\displaystyle E\supseteq F}$${\displaystyle E\supseteq F}$К ] , где S представляет собой сепарабельное замыкание F в E . ^[18] Известные доказательства этого равенства используют тот факт, что ifявляется чисто неотделимым расширением и если f - сепарабельный неприводимый многочлен в F [ X ] , то f остается неприводимым в K [ X ] ^[19] ). Из этого равенства следует, что если [ E  : F ] конечно, а U - промежуточное поле между F и E , то${\displaystyle K\supseteq F}$[ E  : F ] _sep = [ E  : U ] _sep ⋅ [ U  : F ] _sep . ^[20]

Сепарабельный замыкание F ^{Сентябрь} поля F является сепарабельным замыканием F в алгебраическом замыкании на F . Это максимальное расширение Галуа из F . По определению F является совершенным , если и только если его разъемные и алгебраические замыкания совпадают.

Разделимость трансцендентных расширений [ править ]

Проблемы отделимости могут возникнуть при работе с трансцендентными расширениями . Обычно это имеет место для алгебраической геометрии над полем простой характеристики, где функциональное поле алгебраического многообразия имеет степень трансцендентности над основным полем, равную размерности этого многообразия.

Для определения отделимости трансцендентного расширения естественно использовать тот факт, что каждое расширение поля является алгебраическим расширением чисто трансцендентного расширения . Это приводит к следующему определению.

Отделяя базис трансцендентности пристройки является базисом трансцендентности Т из Й таких , что Е является сепарабельным алгебраическим расширением F ( T ) . Конечно порожденное расширение поля является отделимо тогда и только он имеет разделяющий базис трансцендентности; расширение, которое не является конечно порожденным, называется сепарабельным, если каждое конечно порожденное подрасширение имеет разделяющую основу трансцендентности. ^[21]${\displaystyle E\supseteq F}$

Пусть - расширение поля характеристического показателя p (то есть p = 1 в нулевой характеристике, иначе p - характеристика). Следующие свойства эквивалентны:${\displaystyle E\supseteq F}$

• E - сепарабельное расширение F ,
• ${\displaystyle E^{p}}$и F является линейно разделенным над${\displaystyle F^{p},}$
• ${\displaystyle F^{1/p}\otimes _{F}E}$будет уменьшена ,
• ${\displaystyle L\otimes _{F}E}$редуцируется для любого расширения поля L поля E ,

где обозначает тензорное произведение полей , это поле р - й степеней элементов F (для любой области F ), и это поле , полученное присоединением к F P - й корень всех ее элементов (см Отделимые алгебра для Детали).${\displaystyle \otimes _{F}}$${\displaystyle F^{p}}$${\displaystyle F^{1/p}}$

Дифференциальные критерии [ править ]

Делимость может быть изучена с помощью дифференцирования . Пусть E будет конечно порожденное расширение поля поля F . Обозначив на E -векторного пространства F -линейного дифференцированияха E , один имеет${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)}$

${\displaystyle \dim _{E}\operatorname {Der} _{F}(E,E)\geq \operatorname {tr.deg} _{F}E,}$

и равенство выполняется тогда и только тогда, когда E отделимо над F (здесь tr.deg обозначает степень трансцендентности ).

В частности, если является алгебраическим расширением, то тогда и только тогда, когда оно сепарабельно. ^[22]${\displaystyle E/F}$${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)=0}$${\displaystyle E/F}$

Пусть будет основой и . Тогда сепарабельно алгебраически над тогда и только тогда, когда матрица обратима. В частности, когда , эта матрица обратима тогда и только тогда, когда является разделяющим базисом трансцендентности.${\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{m}}$${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}\in E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F(a_{1},\ldots ,a_{m})}$${\displaystyle D_{i}(a_{j})}$${\displaystyle m=\operatorname {tr.deg} _{F}E}$${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{m}\}}$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Борель, А. Линейные алгебраические группы , 2-е изд.
• PM Кон (2003). Базовая алгебра
• Фрид, Майкл Д .; Джарден, Моше (2008). Полевая арифметика . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. 11 (3-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl  1145.12001 .
• И. Мартин Айзекс (1993). Алгебра, аспирантура (1-е изд.). Brooks / Cole Publishing Company. ISBN 0-534-19002-2.
• Каплански, Ирвинг (1972). Поля и кольца . Чикагские лекции по математике (второе изд.). Издательство Чикагского университета. С. 55–59. ISBN 0-226-42451-0. Zbl  1001.16500 .
• М. Нагата (1985). Коммутативная теория поля: новое издание, Шокабо. (Японский) [1]
• Сильверман, Джозеф (1993). Арифметика эллиптических кривых . Springer. ISBN 0-387-96203-4.

Внешние ссылки [ править ]

• "сепарабельное расширение поля k" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]