Основная теорема теории Галуа

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найти источники:  «Основная теорема теории Галуа»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( январь 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В математике , то фундаментальная теорема теории Галуа является результатом , который описывает структуру некоторых типов расширений полей по отношению к группам . Это было доказано Эваристом Галуа в его развитии теории Галуа .

В своей самой основной форме, теорема утверждает , что дано расширение поля Е / F , которое конечно и Галуа , существует взаимно однозначное соответствие одному между его промежуточным полем и подгруппами своей группы Галуа . ( Промежуточные поля являются полями К , удовлетворяющие F ⊆ K ⊆ E , они также называются подрасширения из E / F ) .

Подробное описание переписки [ править ]

Для конечных расширений это соответствие можно явно описать следующим образом.

• Для любой подгруппы H из Gal ( Е / F ), соответствующая фиксированной области , обозначенной Е ^Н , является множество тех элементов Е , которые закреплены каждым автоморфизм в H .
• Для любого промежуточного поля K из E / F , соответствующая подгруппа Ая ( Е / К ), то есть множество тех автоморфизмов в Gal ( Е / F ) , которые фиксируют каждый элемент K .

Основная теорема утверждает, что это соответствие является взаимно однозначным соответствием, если (и только если) E / F является расширением Галуа . Например, самое верхнее поле E соответствует тривиальной подгруппе в Gal ( E / F ), а базовое поле F соответствует всей группе Gal ( E / F ).

Обозначение Gal ( E / F ) используется только для расширений Галуа . Если E / F - это Галуа, то Gal ( E / F ) = Aut ( E / F ). Если E / F не является Галуа, то «соответствие» дает только инъективное (но не сюръективное ) отображение из в и сюръективное (но не инъективное) отображение в обратном направлении. В частности, если E / F не является Галуа, то F не является фиксированным полем какой-либо подгруппы Aut ( E /${\ displaystyle \ {{\ text {подгруппы Aut}} (E / F) \}}$${\ displaystyle \ {{\ text {подполя}} E / F \}}$F ).

Свойства корреспонденции [ править ]

Соответствие имеет следующие полезные свойства.

• Это включение-реверсирование . Включение подгрупп H ₁ ⊆ H ₂ имеет место тогда и только тогда, когда выполнено включение полей E ^{H ₁} ⊇ E ^{H ₂} .
• Степени расширений связаны с порядками групп в соответствии со свойством обращения-включения. В частности, если H - подгруппа в Gal ( E / F ), то | H | = [ E : E ^H ] и | Gal ( E / F ) | / | H | = [ E ^H : F ].
• Поле Е ^Н является нормальным расширением из F (или, что то же самое, расширение Галуа, так как любая подрасширение сепарабелъном расширения отделимо) тогда и только тогда , когда Н является нормальной подгруппой из Gal ( Е / F ). В этом случае ограничение элементов Gal ( Е / F ) до Й ^Н индуцирует изоморфизм между Gal ( Е ^Н / F ) и фактором - группой Gal ( E / F ) / H .

Пример 1 [ править ]

Рассмотрим поле

${\ Displaystyle К = \ mathbb {Q} \ left ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}} \ right) = \ left [\ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}) \ right] \! ({\ sqrt {3}}).}$

Поскольку K строится из базового поля путем присоединения √ 2 , то √ 3 , каждый элемент K можно записать как:${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

${\ displaystyle (a + b {\ sqrt {2}}) + (c + d {\ sqrt {2}}) {\ sqrt {3}}, \ qquad a, b, c, d \ in \ mathbb { Q}.}$

Его группа Галуа состоит из автоморфизмов K, фиксирующих a . Такие автоморфизмы должны отправлять √ 2 в √ 2 или - √ 2 и отправлять √ 3 в √ 3 или - √ 3 , поскольку они переставляют корни любого неприводимого многочлена. Предположим, что f меняет местами √ 2 и - √ 2 , поэтому${\ displaystyle G = {\ text {Gal}} (K / \ mathbb {Q})}$

${\ displaystyle f \ left ((a + b {\ sqrt {2}}) + (c + d {\ sqrt {2}}) {\ sqrt {3}} \ right) = (ab {\ sqrt {2 }}) + (cd {\ sqrt {2}}) {\ sqrt {3}} = ab {\ sqrt {2}} + c {\ sqrt {3}} - d {\ sqrt {6}},}$

и g меняет местами √ 3 и - √ 3 , поэтому

${\displaystyle g\left((a+b{\sqrt {2}})+(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}\right)=(a+b{\sqrt {2}})-(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}=a+b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}}.}$

Очевидно, что это автоморфизмы K относительно его сложения и умножения. Существует также тождественный автоморфизм e, фиксирующий каждый элемент, и композиция f и g, меняющая знаки обоих радикалов:

${\displaystyle (fg)\left((a+b{\sqrt {2}})+(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}\right)=(a-b{\sqrt {2}})-(c-d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}=a-b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}.}$

Поскольку порядок группы Галуа равен степени расширения поля , то дальнейших автоморфизмов быть не может:${\displaystyle |G|=[K:\mathbb {Q} ]=4}$

${\displaystyle G=\left\{1,f,g,fg\right\},}$

которая изоморфна четырехгруппе Клейна . Его пять подгрупп соответствуют полям промежуточных между основанием и расширением K . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• Единичная подгруппа {1} соответствует всему полю расширения K .
• Вся группа G соответствует базовому полю${\displaystyle \mathbb {Q} .}$
• Подгруппа {1, f } соответствует подполю, поскольку f фиксирует √ 3 .${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}}),}$
• Подгруппа {1, g } соответствует подполю, поскольку g фиксирует √ 2 .${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}}),}$
• Подгруппа {1, fg } соответствует подполю, поскольку fg фиксирует √ 6 .${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {6}}),}$

Пример 2 [ править ]

Ниже приводится простейший случай, когда группа Галуа неабелева.

Рассмотрим поле разложения K из неприводимым многочленом за кадром ; то есть, где θ - кубический корень из 2, а ω - кубический корень из 1 (но не сам по себе). Если мы рассмотрим K внутри комплексных чисел, мы можем взять вещественный кубический корень из 2, и поскольку ω имеет минимальный многочлен , расширение имеет степень:${\displaystyle x^{3}-2}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\theta ,\omega )}$${\displaystyle \theta ={\sqrt[{3}]{2}}}$${\displaystyle \omega =-{\tfrac {1}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}.}$${\displaystyle x^{2}+x+1}$${\displaystyle \mathbb {Q} \subset K}$

${\displaystyle [\,K:\mathbb {Q} \,]=[\,K:\mathbb {Q} [\,\theta \,]\,]\cdot [\,\mathbb {Q} [\,\theta \,]:\mathbb {Q} \,]=2\cdot 3=6}$,

с -basis, как в предыдущем примере. Следовательно, группа Галуа состоит из шести элементов, определяемых перестановками трех корней :${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \{1,\theta ,\theta ^{2},\omega ,\omega \theta ,\omega \theta ^{2}\}}$${\displaystyle G={\text{Gal}}(K/\mathbb {Q} )}$${\displaystyle x^{3}-2}$

${\displaystyle \alpha _{1}=\theta ,\ \alpha _{2}=\omega \theta ,\ \alpha _{3}=\omega ^{2}\theta .}$

Так как их всего 3! = 6 таких перестановок, G должна быть изоморфна симметрической группе всех перестановок трех объектов. Группа может быть порождена двумя автоморфизмами f и g, определенными следующим образом:

${\displaystyle f(\theta )=\omega \theta ,\quad f(\omega )=\omega ,}$

${\displaystyle g(\theta )=\theta ,\quad g(\omega )=\omega ^{2},}$

и , подчиняясь отношениям . Их действие , как перестановки IS (в обозначениях цикла ): . Кроме того, g можно рассматривать как отображение комплексного сопряжения .${\displaystyle G=\left\{1,f,f^{2},g,gf,gf^{2}\right\}}$${\displaystyle f^{3}=g^{2}=(gf)^{2}=1}$${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}$${\displaystyle f=(123),g=(23)}$

Подгруппы G и соответствующие подполя следующие:

• Как всегда, тривиальная группа {1} соответствует всему полю K , а вся группа G - базовому полю .${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Единственная подгруппа порядка 3, соответствует подполе степени два, так как подгруппа имеет индекс два в G : т . Кроме того, эта подгруппа нормальна, поэтому подполе нормальное над , являясь полем разбиения . Его группа Галуа над базовым полем является фактор-группой , где [ g ] обозначает смежный класс группы g по модулю H ; то есть его единственный нетривиальный автоморфизм - это комплексное сопряжение g .${\displaystyle H=\{1,f,f^{2}\}}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$${\displaystyle [\mathbb {Q} (\omega ):\mathbb {Q} ]={\tfrac {|G|}{|H|}}=2}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle x^{2}+x+1}$ ${\displaystyle G/H=\{[1],[g]\}}$
• Есть три подгруппы порядка 2, и соответствующая соответственно подполей Эти подполя имеют степень 3 над , так как подгруппы имеют индекс 3 в G . Подгруппы не являются нормальными в G , поэтому подполя не являются нормальными над Галуа или над ними . Фактически, каждое подполе содержит только один из корней , поэтому ни один из них не имеет нетривиальных автоморфизмов.${\displaystyle \{1,g\},\{1,gf\}}$${\displaystyle \{1,gf^{2}\},}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\theta ),\mathbb {Q} (\omega \theta ),\mathbb {Q} (\omega ^{2}\theta ).}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}$

Пример 3 [ править ]

Пусть - поле рациональных функций от неопределенного λ, и рассмотрим группу автоморфизмов:${\displaystyle E=\mathbb {Q} (\lambda )}$

${\displaystyle G=\left\{\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda \right\}\subset \mathrm {Aut} (E);}$

здесь мы обозначаем автоморфизм его значением , так что . Эта группа изоморфна (см .: шесть перекрестных отношений ). Позвольте быть фиксированным полем , так что .${\displaystyle \phi :E\to E}$${\displaystyle \phi (\lambda )}$${\displaystyle f(\lambda )\mapsto f(\phi (\lambda ))}$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\rm {Gal}}(E/F)=G}$

Если - подгруппа , то коэффициенты многочлена${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle P(T):=\prod _{h\in H}(T-h)\in E[T]}$

сгенерировать фиксированное поле . Соответствие Галуа означает, что каждое подполе в может быть построено таким образом. Например, для фиксированным полем является и, если фиксированное поле . Фиксированное поле является базовым полем, где j - j -инвариант, записанный в терминах модульной лямбда-функции :${\displaystyle H}$${\displaystyle E/F}$${\displaystyle H=\{\lambda ,1-\lambda \}}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\lambda (1-\lambda ))}$${\displaystyle H=\{\lambda ,{\tfrac {1}{\lambda }}\}}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\lambda +{\tfrac {1}{\lambda }})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F=\mathbb {Q} (j),}$

${\displaystyle j={\frac {256(1-\lambda (1-\lambda ))^{3}}{(\lambda (1-\lambda ))^{2}}}={\frac {256(1-\lambda +\lambda ^{2})^{3}}{\lambda ^{2}(1-\lambda )^{2}}}\ .}$

Подобные примеры могут быть построены для каждой из групп симметрии платоновых тел, поскольку они также точно действуют на проективной прямой и, следовательно, на .${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$

Приложения [ править ]

Теорема классифицирует промежуточные поля E / F с точки зрения теории групп . Этот перенос между промежуточными полями и подгруппами является ключевым для демонстрации того, что общее уравнение квинтики не разрешимо с помощью радикалов (см. Теорему Абеля – Руффини ). Сначала определяются группы Галуа радикальных расширений (расширения вида F (α), где α - корень n-й степени некоторого элемента из F ), а затем с помощью основной теоремы показано, что разрешимые расширения соответствуют разрешимым группам .

Теории , такие как теория Куммера и теории полей классов основываются на фундаментальной теореме.

Бесконечный регистр [ править ]

Учитывая бесконечное алгебраическое расширение, мы все же можем определить его как Галуа, если оно нормальное и отделимое. Проблема, с которой сталкиваются в бесконечном случае, состоит в том, что биекция в основной теореме не выполняется, поскольку мы обычно получаем слишком много подгрупп. Более точно, если мы просто возьмем каждую подгруппу, мы сможем найти две разные подгруппы, которые фиксируют одно и то же промежуточное поле. Поэтому мы исправляем это, вводя топологию группы Галуа.

Позвольте быть расширением Галуа (возможно бесконечным) и пусть быть группой Галуа расширения. Позволять${\displaystyle E/F}$${\displaystyle G={\text{Gal}}(E/F)}$

- множество групп Галуа всех конечных промежуточных расширений Галуа. Обратите внимание, что для всех мы можем определить карты с помощью . Затем мы определим топологию Крулля на быть слабейшей топология, что для всех отображения непрерывны, где мы наделяем друг с дискретной топологией. Иными словами , как обратный предел из топологических групп (где снова каждый наделен с дискретной топологией). Это делает проконечная группа (на самом деле каждая проконечная группа может быть реализована как группа Галуа расширения Галуа, смотри, например , ^[1] ). Обратите внимание, что когда${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle \varphi _{i}:G\rightarrow G_{i}}$${\displaystyle \sigma \mapsto \sigma _{|L_{i}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle \varphi _{i}:G\rightarrow G_{i}}$${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle G\cong \varprojlim G_{i}}$${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle E/F}$ конечна, топология Крулля - это дискретная топология.

Теперь, когда мы определили топологию группы Галуа, мы можем переформулировать основную теорему для бесконечного расширения Галуа.

Обозначим через множество всех конечных промежуточных полевых расширений, а через множество всех замкнутых подгрупп в наделенных топологией Крулля. Тогда существует биекция между и, заданная отображением${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle E/F}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle G={\text{Gal}}(E/F)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

определяется и карта${\displaystyle L\mapsto {\text{Gal}}(E/L)}$определяется . Одна важная вещь, которую нужно проверить, это то, что это четко определенная карта, то есть это замкнутая подгруппа для всех промежуточных. Для доказательства см., Например, ^[1]${\displaystyle N\mapsto {\text{Fix}}_{E}(N):=\{a\in E~|~\sigma (a)=a{\text{ for all }}\sigma \in N\}}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi (L)}$${\displaystyle G}$

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с Фундаментальной теоремой теории Галуа, на Викискладе?