Нормальное расширение

В абстрактной алгебре , А нормальное расширение является алгебраическим расширением поля L / K , для которого каждый многочлен, неприводимый над K либо не имеет корень в L или распадается на линейные множители в L . Бурбаки называет такое расширение квази- расширением Галуа .

Определение [ править ]

Алгебраическое расширение поля L / K нормально (мы также говорим , что L нормально над К ) , если каждый неприводимый многочлен над К , который имеет по крайней мере один корень в L расщепляется над L . Другими словами, если & alpha ; ∈ L , то все конъюгаты из & alpha ; над K (т.е. все корни минимального полинома из & alpha ; над K ) принадлежат L .

Другие свойства [ править ]

Пусть L является расширение поля K . Потом:

• Если L является нормальным расширением K , и если Е является промежуточным расширением (т.е., L  ⊃  E  ⊃  К ), то L представляет собой нормальное расширение Е . ^[1]
• Если E и F нормальные расширения К содержится в L , то композит EF и E  ∩  F также нормальные расширения К . ^{[ необходима цитата ]}

Примеры и контрпримеры [ править ]

Например, является нормальным расширением, поскольку это поле расщепления. С другой стороны, не является нормальным расширением, поскольку неприводимый многочлен имеет в себе один корень (а именно ), но не все из них (он не имеет невещественные кубические корни из 2). Напомним , что поле из алгебраических чисел является алгебраическое замыкание , т.е., она содержит С, ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$${\ displaystyle \ mathbb {Q},}$${\ displaystyle x ^ {2} -2.}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}})}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle x ^ {3} -2}$${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {2}}}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {Q}}}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q},}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}}).}$

${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}}) = \ left. \ left \ {a + b {\ sqrt [{3}] {2}} + c {\ sqrt [{3}] {4}} \ in {\ overline {\ mathbb {Q}}} \, \, \ right | \, \, a, b, c \ in \ mathbb {Q} \ right \}}$

и, если ω - примитивный кубический корень из единицы, то отображение

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ sigma: \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}}) \ longrightarrow {\ overline {\ mathbb {Q}}} \\ a + b { \ sqrt [{3}] {2}} + c {\ sqrt [{3}] {4}} \ longmapsto a + b \ omega {\ sqrt [{3}] {2}} + c \ omega ^ { 2} {\ sqrt [{3}] {4}} \ end {case}}}$

является вложением, в ограничении которого находится тождество. Однако σ не является автоморфизмом .${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}})}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {Q}}}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}})}$

Для любого простого числа p расширение нормально степени p ( p  - 1) . Это поле расщепления x ^p  - 2 . Здесь обозначает любой p- й примитивный корень из единицы . Поле является нормальным закрытием (см. Ниже) .${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{p}] {2}}, \ zeta _ {p})}$${\displaystyle \zeta _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3})}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$

Нормальное закрытие [ править ]

Если К является полем и L является алгебраическим расширением К , то есть некоторое алгебраическое расширение М из L такое , что М представляет собой нормальное расширение K . Кроме того, с точностью до изоморфизма существует только одно такое расширение, которое является минимальным, т. Е. Единственное подполе M, которое содержит L и которое является нормальным расширением K, - это само M. Это расширение называется нормальным замыканием удлиняющей L из K .

Если L - конечное расширение K , то его нормальное замыкание также является конечным расширением.

См. Также [ править ]

• Расширение Галуа
• Нормальная основа

Ссылки [ править ]

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556
• Джейкобсон, Натан (1989), Базовая алгебра II (2-е изд.), В. Х. Фриман, ISBN 0-7167-1933-9, MR  1009787