В теории поля , ветвь математики , то минимальный многочлен из значений & alpha ; , грубо говоря, многочлен от самой низкой степени , имеющих коэффициенты определенного типа, например , что α является корнем многочлена. Если минимальный многочлен α существует, он единственен. Коэффициент при члене наивысшей степени в полиноме должен быть равен 1, а указанным типом для остальных коэффициентов могут быть целые числа , рациональные числа , действительные числа или другие.
Более формально, минимальный многочлен определяется по отношению к расширению поля E / F и элемент поля расширения E . Минимальный многочлен элемента, если он существует, является членом F [ х ], в кольце многочленов в переменной х с коэффициентами из F . Для элемента α из E пусть J α - множество всех многочленов f ( x ) из F [ x ] таких, что f ( α ) = 0. Элементα называется корнем или нулем каждого многочлена из J α . Множество J α названо так потому, что оно является идеалом в F [ x ]. Нулевой многочлен, все коэффициенты которого равны 0, присутствует в каждом J α, поскольку 0 α i = 0 для всех α и i . Это делает нулевой многочлен бесполезным для классификации различных значений α по типам, поэтому он исключен. Если в J α есть ненулевые многочлены , то α называется алгебраическим элементом надF , и существует унитарный многочлен наименьшей степени в J α . Это минимальный многочлен альфа по отношению к E / F . Она уникальна и неприводимым над F . Если нулевой полином является единственным членом J & alpha ; , то α называется трансцендентным элементом над F и не имеет минимальный многочлен по отношению к E / F .
Минимальные полиномы полезны для построения и анализа расширений полей. Когда α является алгебраическим с минимальным многочленом в ( х ), наименьшее поле , которое содержит как F и альфа является изоморфно к фактор - кольца F [ х ] / ⟨ ( х )⟩, где ⟨ ( х )⟩ является идеалом F [ x ] порожден a ( x ). Минимальные полиномы также используются для определения сопряженных элементов .
Определение [ править ]
Пусть E / F будет расширением поля , α элемента Е и Р [ х ] кольцо многочленов от й над F . Элемент α имеет минимальный многочлен, когда α алгебраичен над F , то есть когда f ( α ) = 0 для некоторого ненулевого многочлена f ( x ) из F [ x ]. Тогда минимальный многочлен от α определяется как монический многочлен наименьшей степени среди всех многочленов от F[ x ] с корнем α .
Уникальность [ править ]
Пусть ( х ) минимальный многочлен альфа по отношению к E / F . Единственность a ( x ) устанавливается путем рассмотрения гомоморфизма колец sub α из F [ x ] в E, который заменяет x на α , то есть sub α ( f ( x )) = f ( α ). Ядро sub α , ker (sub α ), - это множество всех многочленов из F[ x ] с корнем α . То есть ker (sub α ) = J α сверху. Поскольку sub α гомоморфизм колец, ker (sub α ) идеал в F [ x ]. Поскольку F [ x ] является главным кольцом, если F является полем, в ker (sub α ) существует хотя бы один многочлен , порождающий ker (sub α ). Такой многочлен будет иметь наименьшую степень среди всех ненулевых многочленов от ker (sub α ), а a ( x) считается единственным моническим полиномом среди них.
Альтернативное доказательство уникальности [ править ]
Предположим, что p и q - монические многочлены в J α минимальной степени n > 0. Поскольку p - q ∈ J α и deg ( p - q ) < n, то p - q = 0, т. Е. P = q .
Свойства [ править ]
Минимальный многочлен неприводим. Пусть E / F - расширение поля над F, как указано выше, α ∈ E и f ∈ F [ x ] - минимальный многочлен для α . Предположим, что f = gh , где g , h ∈ F [ x ] имеют меньшую степень, чем f . Теперь f ( α ) = 0. Поскольку поля также являются областями целостности , имеем g ( α ) = 0 или h (α ) = 0. Это противоречит минимальности степени f . Таким образом, минимальные многочлены неприводимы.
Примеры [ править ]
Минимальный многочлен расширения поля Галуа [ править ]
Учитывая расширение поля Галуа, минимальный многочлен любого, не входящего в состав, может быть вычислен как
if не имеет стабилизаторов в действии Галуа. Поскольку он неприводим, что можно вывести, глядя на корни , это минимальный многочлен. Обратите внимание, что такую же формулу можно найти, заменив на где - группа стабилизатора . Например, если тогда его стабилизатор равен , значит, это его минимальный многочлен.
Квадратичные расширения поля [ править ]
Q ( √ 2 ) [ править ]
Если F = Q , E = R , α = √ 2 , то минимальный многочлен для α равен a ( x ) = x 2 - 2. Базовое поле F важно, поскольку оно определяет возможности для коэффициентов a ( x ) . Например, если взять F = R , то минимальный многочлен при α = √ 2 равен a ( x ) = x - √ 2.
Q ( √ d ) [ править ]
В общем, для квадратичного расширения, заданного бесквадратным элементом, вычисление минимального полинома элемента можно найти с помощью теории Галуа. потом
в частности, это подразумевает и . Это можно использовать для определения с помощью серии отношений с использованием модульной арифметики .
Расширения биквадратного поля [ править ]
Если α = √ 2 + √ 3 , то минимальный многочлен в Q [ x ] равен a ( x ) = x 4 - 10 x 2 + 1 = ( x - √ 2 - √ 3 ) ( x + √ 2 - √ 3 ) ( х - √ 2 + √ 3 ) ( х + √ 2 + √ 3 ).
Обратите внимание, если тогда действие Галуа стабилизируется . Следовательно, минимальный многочлен можно найти с помощью фактор-группы .
Корни единства [ править ]
Минимальные многочлены в Q [ x ] корней из единицы являются круговыми многочленами .
Полиномы Суиннертона-Дайера [ править ]
Минимальный многочлен в Q [ x ] суммы квадратных корней первых n простых чисел строится аналогично и называется многочленом Суиннертона-Дайера .
См. Также [ править ]
- Кольцо целых чисел
- Поле алгебраических чисел
Ссылки [ править ]
- Вайсштейн, Эрик В. "Минимальный многочлен алгебраического числа" . MathWorld .
- Минимальный полином в PlanetMath .
- Пинтер, Чарльз К. Книга абстрактной алгебры . Серия Dover Книги по математике. Dover Publications, 2010, стр. 270–273. ISBN 978-0-486-47417-5
