Сопряженный элемент (теория поля)

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  Теория поля «Сопряженный элемент»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это шаблонное сообщение )

В математике , в частности , теории поля , то сопряженные элементы из с алгебраического элемента  & alpha ; , над расширением поля L / K , являются корни минимального полинома р _{K , & alpha} ; ( х ) из & alpha ; над K . Сопряженные элементы также называют конъюгатами Галуа или просто конъюгатами . Обычно α сам входит в набор конъюгатов  α .

Пример [ править ]

Кубические корни числа один :

${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {1}} = {\ begin {case} 1 \\ [3pt] - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} i \\ [5pt] - {\ frac {1} {2}} - {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} i \ end {case}}}$

Последние два корня являются сопряженными элементами в Q [ i √ 3 ] с минимальным полиномом

${\ displaystyle \ left (x + {\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2} + {\ frac {3} {4}} = x ^ {2} + x + 1.}$

Свойства [ править ]

Если К дается внутри алгебраически замкнутым полем С , а затем конъюгаты могут быть приняты внутрь C . Если такие С не определен, можно взять конъюгат в некотором относительно небольшого поля L . Наименьший возможный выбор для L - это взять поле расщепления над K поля p _{K , α} , содержащее  α . Если L любое нормальное расширение из K , содержащий  α , то по определению он уже содержит такое поле расщепления.

Тогда дано нормальное расширение L группы K с группой автоморфизмов Aut ( L / K ) = G и содержащее α , и любой элемент g ( α ) для g в G будет сопряженным с α , поскольку автоморфизм g отправляет корни p к корням p . Наоборот, любое сопряженное β к α имеет такой вид: другими словами, G действует транзитивно на сопряженных. Это следует как K( α ) K- изоморфно K ( β ) в силу неприводимости минимального многочлена, и любой изоморфизм полей F и F ' , переводящий многочлен p в p ', может быть расширен до изоморфизма полей расщепления p над F и p ' над F ' соответственно.

Таким образом, сопряженные элементы α находятся в любом нормальном расширении L поля K, которое содержит K ( α ), как набор элементов g ( α ) для g в Aut ( L / K ). Количество повторов в этом списке каждого элемента - это разделимая степень [ L : K ( α )] _sep .

Теорема Кронекера утверждает, что если α - ненулевое целое алгебраическое число такое, что α и все сопряженные с ним в комплексных числах имеют абсолютное значение не более 1, то α является корнем из единицы . Существуют количественные формы этого, более точно устанавливающие границы (в зависимости от степени) на наибольшее абсолютное значение сопряженного, которые подразумевают, что алгебраическое целое число является корнем из единицы.

Ссылки [ править ]

• Дэвид С. Даммит, Ричард М. Фут, Абстрактная алгебра , 3-е изд., Wiley, 2004.

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Сопряженные элементы» . MathWorld .