Поле разделения

В абстрактной алгебре , поле разложения из многочлена с коэффициентами в поле является наименьшим расширением поля этого поля , над которым многочлен расколы или разлагается на линейные множители .

Определение [ править ]

Поле разложения многочлена р ( Х ) над полем K является расширение поля L из K над которой р факторов на линейные множители

${\ displaystyle p (X) = c \ prod _ {i = 1} ^ {\ deg (p)} (X-a_ {i})}$

где и для каждого мы имеем с в _I не обязательно различны , и такой , что корни _я порождают L над K . Расширение L тогда является расширением минимальной степени над K, в котором p расщепляется. Можно показать, что такие поля расщепления существуют и единственны с точностью до изоморфизма. Степень свободы в этом изоморфизме известна как группа Галуа для p (если мы предполагаем, что она сепарабельна ).${\ displaystyle c \ in K}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle (X-a_ {я}) \ в L [X]}$

Свойства [ править ]

Расширение L , который является полем разложения для множества многочленов р ( х ) над К называется нормальное расширение из K .

Дано алгебраически замкнутое поле A , содержащее K , существует единственное поле разложения л из р между К и А , порождается корнями из р . Если K - подполе комплексных чисел , существование немедленно. С другой стороны, существование алгебраических замыканий в общем случае часто доказывается «предельным переходом» из результата поля расщепления, что, следовательно, требует независимого доказательства, чтобы избежать круговых рассуждений .

Учитывая разъемные расширения K 'из K , A Галуа замыкание L из K ' представляет собой тип поля расщепления, а также расширение Галуа из K , содержащий K ' , который является минимальным, в очевидном смысле. Такое замыкание Галуа должно содержать поле расщепления для всех многочленов p над K, которые являются минимальными многочленами над K от элементов a из K ′.

Создание разделенных полей [ править ]

Мотивация [ править ]

Поиск корней многочленов был важной проблемой со времен древних греков. Однако некоторые многочлены, такие как x ² + 1 над R , действительными числами, не имеют корней. Построив поле расщепления для такого многочлена, можно найти корни многочлена в новом поле.

Строительство [ править ]

Пусть F - поле и p ( X ) - многочлен из кольца многочленов F [ X ] степени n . Общий процесс построения K , поля расщепления p ( X ) над F , состоит в построении такой цепочки полей , что K _i является расширением K _{i −1,} содержащим новый корень p ( X ). Поскольку p ( X ) имеет не более n корней, для построения потребуется не более${\ Displaystyle F = K_ {0} \ подмножество K_ {1} \ subset \ cdots \ subset K_ {r-1} \ subset K_ {r} = K}$n расширений. Шаги для построения K _i даны следующим образом:

• Разложите p ( X ) над K _i на неприводимые множители .${\ Displaystyle f_ {1} (X) f_ {2} (X) \ cdots f_ {k} (X)}$
• Выберем любой нелинейный неприводимый множитель f ( X ) = f _i ( X ).
• Построить расширение поля K _{я + 1} из K _я как фактор - кольца К _{я + 1} = К _я [ Х ] / ( F ( X )) , где ( е ( Х )) обозначает идеал в K _я [ X ] , порожденный f ( X ).
• Повторите процесс для K _{i +1,} пока p ( X ) полностью не фактор.

Неприводимый множитель f _i ( X ), используемый в построении фактора, может быть выбран произвольно. Хотя различный выбор факторов может привести к разным последовательностям подполей, результирующие поля разделения будут изоморфными.

Поскольку f ( X ) неприводимо, ( f ( X )) - максимальный идеал в K _i [ X ], а K _i [ X ] / ( f ( X )) фактически является полем. Более того, если мы допустим естественную проекцию кольца на его фактор, то${\ displaystyle \ pi: K_ {i} [X] \ to K_ {i} [X] / (f (X))}$

${\ Displaystyle f (\ pi (X)) = \ pi (f (X)) = f (X) \ {\ bmod {\}} f (X) = 0}$

поэтому π ( X ) является корнем f ( X ) и p ( X ).

Степень однократного расширения равна степени неприводимого множителя f ( X ). Степень расширения [ K  : F ] задается формулой и не превосходит n !.${\ Displaystyle [К_ {я + 1}: К_ {я}]}$${\ displaystyle [K_ {r}: K_ {r-1}] \ cdots [K_ {2}: K_ {1}] [K_ {1}: F]}$

Поле K _i [ X ] / ( f ( X )) [ править ]

Как упоминалось выше, фактор-кольцо K _{i +1} = K _i [ X ] / ( f ( X )) является полем, когда f ( X ) неприводимо. Его элементы имеют вид

${\ displaystyle c_ {n-1} \ alpha ^ {n-1} + c_ {n-2} \ alpha ^ {n-2} + \ cdots + c_ {1} \ alpha + c_ {0}}$

где c _j находятся в K _i и α = π ( X ). (Если рассматривать K _{i +1} как векторное пространство над K _i, то степени α ^j для 0 ≤ j ≤ n −1 образуют базис.)

Элементы K _{i +1} можно рассматривать как многочлены от α степени меньше n . Сложение в K _{i +1} дается правилами полиномиального сложения, а умножение дается полиномиальным умножением по модулю f ( X ). То есть для g (α) и h (α) в K _{i +1} произведение g (α) h (α) = r (α), где r ( X ) - остаток от g ( X ) h ( X) делится на f ( X ) в K _i [ X ].

Остаток r ( X ) можно вычислить путем деления полиномов в длину, однако существует также простое правило редукции, которое можно использовать для прямого вычисления r (α) = g (α) h (α). Сначала позвольте

${\ displaystyle f (X) = X ^ {n} + b_ {n-1} X ^ {n-1} + \ cdots + b_ {1} X + b_ {0}.}$

Многочлен находится над полем, поэтому можно считать f ( X ) моническим без ограничения общности. Теперь α является корнем f ( X ), поэтому

${\ displaystyle \ alpha ^ {n} = - (b_ {n-1} \ alpha ^ {n-1} + \ cdots + b_ {1} \ alpha + b_ {0}).}$

Если в произведении g (α) h (α) есть член α ^m с m ≥ n, его можно сократить следующим образом:

${\displaystyle \alpha ^{n}\alpha ^{m-n}=-\left(b_{n-1}\alpha ^{n-1}+\cdots +b_{1}\alpha +b_{0}\right)\alpha ^{m-n}=-\left(b_{n-1}\alpha ^{m-1}+\cdots +b_{1}\alpha ^{m-n+1}+b_{0}\alpha ^{m-n}\right)}$.

В качестве примера правила редукции возьмем K _i = Q [ X ], кольцо многочленов с рациональными коэффициентами, и возьмем f ( X ) = X ⁷ - 2. Пусть и h (α) = α ³ +1 два элементы Q [ X ] / ( X ⁷ - 2). Правило редукции, задаваемое f ( X ), α ⁷ = 2, поэтому${\displaystyle g(\alpha )=\alpha ^{5}+\alpha ^{2}}$

${\displaystyle g(\alpha )h(\alpha )=\left(\alpha ^{5}+\alpha ^{2}\right)\left(\alpha ^{3}+1\right)=\alpha ^{8}+2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}=\left(\alpha ^{7}\right)\alpha +2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}=2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}+2\alpha .}$

Примеры [ править ]

Комплексные числа [ править ]

Рассмотрим кольцо многочленов R [ х ], а неприводимый многочлен х ² + 1 фактор - кольцо Р [ х ] / ( х ² + 1) задается конгруэнтность х ² ≡ -1. В результате элементы (или классы эквивалентности ) R [ x ] / ( x ² + 1) имеют вид a + bx, где a и b принадлежат R. Чтобы убедиться в этом, заметим, что, поскольку x ² ≡ −1, следует, что x ³ ≡ - x , x ⁴ ≡ 1 , x ⁵ ≡ x и т. Д .; и поэтому, например, p + qx + rx ² + sx ³ ≡ p + qx + r ⋅ (−1) + s ⋅ (- x ) = ( p - r ) + ( q - s ) ⋅ x .

Операции сложения и умножения задаются сначала с помощью обычного полиномиального сложения и умножения, а затем уменьшения по модулю x ² + 1 , то есть с использованием того факта, что x ² ≡ −1 , x ³ ≡ - x , x ⁴ ≡ 1 , x ⁵ ≡ x и т. д. Таким образом:

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}x)+(a_{2}+b_{2}x)=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})x,}$

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}x)(a_{2}+b_{2}x)=a_{1}a_{2}+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})x+(b_{1}b_{2})x^{2}\equiv (a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})x\,.}$

Если мы отождествим a + bx с ( a , b ), то увидим, что сложение и умножение задаются формулами

${\displaystyle (a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}).}$

Покажет , что, как поле, фактор Р [ х ] / ( х ² + 1) , является изоморфно к комплексным числам , C . Общее комплексное число имеет вид a + i b , где a и b - действительные числа, а i ² = −1. Сложение и умножение даются как

${\displaystyle (a_{1}+ib_{1})+(a_{2}+ib_{2})=(a_{1}+a_{2})+i(b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1}+ib_{1})\cdot (a_{2}+ib_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+i(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}).}$

Если мы отождествим a + i b с ( a , b ), то увидим, что сложение и умножение задаются формулами

${\displaystyle (a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}).}$

Предыдущие расчеты показывают , что сложение и умножение ведут себя одинаково в R [ х ] / ( х ² + 1) , и C . Фактически, мы видим, что отображение между R [ x ] / ( x ² + 1) и C, заданное как a + bx → a + i b, является гомоморфизмом относительно сложения и умножения. Также очевидно, что отображение a + bx → a + i b одновременноинъективный и сюръективный ; это означает, что a + bx → a + i b - биективный гомоморфизм, т. е. изоморфизм. Из этого следует , что, как утверждают: R [ х ] / ( х ² + 1) ≅ С .

В 1847 году Коши использовал этот подход для определения комплексных чисел. ^[1]

Кубический пример [ править ]

Пусть K - поле рациональных чисел Q и p ( x ) = x ³ - 2 . Каждый корень из p равен ³ √ 2 умноженным на кубический корень из единицы . Следовательно, если мы обозначим кубические корни из единицы через

${\displaystyle \omega _{1}=1,\,}$

${\displaystyle \omega _{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,}$

${\displaystyle \omega _{3}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i.}$

любое поле, содержащее два различных корня из p, будет содержать частное между двумя различными кубическими корнями из единицы. Такое частное представляет собой примитивный кубический корень из единицы - либо ω _2, либо . Отсюда следует , что поле разложения L из р будет содержать ω ₂ , а также реальный кубический корень из 2; наоборот, любое расширение Q, содержащее эти элементы, содержит все корни p . Таким образом${\displaystyle \omega _{3}=1/\omega _{2}}$

${\displaystyle L=\mathbf {Q} \left({\sqrt[{3}]{2}},\omega _{2}\right)=\left\{\left.a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{2}}^{2}+d\omega _{2}+e{\sqrt[{3}]{2}}\omega _{2}+f{\sqrt[{3}]{2}}^{2}\omega _{2}\right|a,b,c,d,e,f\in \mathbf {Q} \right\}}$

Обратите внимание, что применяя процесс построения, описанный в предыдущем разделе, к этому примеру, каждый начинает с поля и конструирует его . Это поле не является полем разбиения, но содержит один (любой) корень. Однако полином не является неприводимым над и на самом деле:${\displaystyle K_{0}=\mathbf {Q} }$${\displaystyle K_{1}=\mathbf {Q} [X]/(X^{3}-2)}$${\displaystyle Y^{3}-2}$${\displaystyle K_{1}}$

${\displaystyle Y^{3}-2=(Y-X)(Y^{2}+XY+X^{2}).}$

Обратите внимание, что это не неопределенное значение, а фактически является элементом . Теперь, продолжая процесс, мы получаем, что действительно является полем расщепления и покрывается -базисом . Обратите внимание, что если мы сравним это с приведенным выше, мы можем идентифицировать и .${\displaystyle X}$${\displaystyle K_{1}}$${\displaystyle K_{2}=K_{1}[Y]/(Y^{2}+XY+X^{2})}$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \{1,X,X^{2},Y,XY,X^{2}Y\}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle X={\sqrt[{3}]{2}}}$${\displaystyle Y=\omega _{2}}$

Другие примеры [ править ]

• Поле расщепления x ^q - x над F _p - это единственное конечное поле F _q при q = p ⁿ . ^[2] Иногда это поле обозначают GF ( q ).

• Поле расщепления x ² + 1 над F ₇ равно F ₄₉ ; многочлен не имеет корней в F ₇ , т. е. −1 не является здесь квадратом, потому что 7 не эквивалентно 1 (mod 4). ^[3]

• Поле расщепления x ² - 1 над F ₇ равно F _7, поскольку x ² - 1 = ( x + 1) ( x - 1) уже делится на линейные множители.

• Мы вычисляем поле расщепления f ( x ) = x ³ + x + 1 над F ₂ . Легко проверить, что f ( x ) не имеет корней в F ₂ , следовательно, f ( x ) неприводима в F ₂ [ x ]. Положим r = x + ( f ( x )) в F ₂ [ x ] / ( f ( x )), так что F ₂ ( r) является полем и x ³ + x + 1 = ( x + r ) ( x ² + ax + b ) в F ₂ ( r ) [ x ]. Обратите внимание, что мы можем написать + вместо -, поскольку характеристика равна двум. Сравнение коэффициентов показывает, что a = r и b = 1 + r ² . Элементы F ₂ ( r ) можно перечислить как c + dr + er ² , где c, d , e находятся в F ₂ . Всего восемь элементов: 0, 1, r , 1 + r , r ² , 1 + r ² , r + r ² и 1 + r + r ² . Подставляя их в x ² + rx + 1 + r ^2, получаем ( r ² ) ² + r ( r ² ) + 1 + r ² = r ⁴ +r ³ + 1 + r ² = 0, поэтому x ³ + x + 1 = ( x + r) ( x + r ² ) ( x + ( r + r ² )) для r в F ₂ [ x ] / ( f ( х )); E = F ₂ ( r ) является полем расщепления x ³ + x + 1 над F ₂ .

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Даммит, Дэвид С. и Фут, Ричард М. (1999). Абстрактная алгебра (2-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1 . 
• "Поле расщепления многочлена" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Поле расщепления» . MathWorld .