Отделимый многочлен

В математике , А многочлен Р ( Х ) в течение заданного поля K является разъемным , если его корни различны в алгебраическом замыкании на K , то есть, число различных корней равно степень полинома. ^[1]

Это понятие тесно связано с полиномом без квадратов . Если K - совершенное поле, то эти два понятия совпадают. Вообще говоря, P ( X ) сепарабельно тогда и только тогда, когда он свободен от квадратов над любым полем, содержащим K , что выполняется тогда и только тогда, когда P ( X ) взаимно проста со своей формальной производной D P ( X ).

Старое определение [ править ]

В более старом определении P ( X ) считалось отделимым, если каждый из его неприводимых факторов в K [ X ] отделим в современном определении. ^[2] В этом определении отделимость зависела от поля K , например, любой многочлен над совершенным полем считался бы отделимым. Это определение, хотя оно может быть удобным для теории Галуа, больше не используется.

Разделимые расширения полей [ править ]

Сепарабельные многочлены используются для определения сепарабельных расширений : расширение поля K ⊂ L является сепарабельным расширением тогда и только тогда, когда для любого α ∈ L , который является алгебраическим над K , минимальный многочлен от α над K является сепарабельным многочленом.

Неразделимые расширения (т. Е. Неотделимые расширения ) могут встречаться только в характеристике p .

Вышеупомянутый критерий приводит к быстрому выводу, что если P неприводимо и неотделимо, то DP ( X ) = 0. Таким образом, мы должны иметь

Р ( Х ) = Q (Х ^р )

для некоторого многочлена Q над K , где простое число p - характеристика.

С помощью этой подсказки мы можем построить пример:

Р ( Х ) = Х ^р - Т

где K - поле рациональных функций от неопределенного T над конечным полем из p элементов. Здесь можно прямо доказать, что P ( X ) неприводимо, а не отделимо. На самом деле это типичный пример того, почему неразделимость важна; в геометрических терминах P представляет собой отображение на проективной прямой над конечным полем, переводя координаты в их p- ю степень. Такие отображения являются фундаментальными для алгебраической геометрии конечных полей. Другими словами, в этом сеттинге есть покрытия, которые не могут быть «видны» теорией Галуа. (Видетьрадикальный морфизм для обсуждения на более высоком уровне.)

Если L - расширение поля

К ( Т ^{1 / п} ),

другими словами, поле расщепления из Р , то L / K представляет собой пример расширения чисто неразрывной поля . Это имеет степень р , но не имеет автоморфизм крепления K , кроме идентичности, поскольку Т ^{1 / р} является единственным корнем P . Это прямо показывает, что здесь теория Галуа должна быть нарушена. Поле, в котором таких расширений нет, называется совершенным . То, что конечные поля идеальны, апостериори следует из их известной структуры.

Можно показать , что тензорное произведение полей из L с самим собой над K для этого примера имеет нильпотентные элементы, которые не равны нулю. Это еще одно проявление неразделимости: то есть операция тензорного произведения на полях не обязательно должна создавать кольцо, которое является произведением полей (а значит, не коммутативным полупростым кольцом ).

Если P ( x ) отделим, а его корни образуют группу (подгруппу поля K ), то P ( x ) - аддитивный многочлен .

Приложения в теории Галуа [ править ]

Отделимые многочлены часто встречаются в теории Галуа .

Например, пусть Р неприводимый многочлен с целыми коэффициентами и р простое число , которое не делится на старший коэффициент P . Пусть Q многочлен над конечным полем с р элементами, которые получают восстановление по модулю P коэффициенты P . Тогда, если Q отделимо (что имеет место для любого p, кроме конечного числа), то степени неприводимых факторов Q являются длинами циклов некоторой перестановки группы Галуаиз P .

Другой пример: P быть как и выше, резольвентное R для группы G является полиномом, коэффициенты которого являются полиномами от коэффициентов Р , которая обеспечивает некоторую информацию о группе Галуа из P . Более точно, если R отделим и имеет рациональный корень , то группа Галуа из Р содержится в G . Например, если D является дискриминант из Р , то есть резольвентное для знакопеременной группы${\ displaystyle X ^ {2} -D}$. Эта резольвента всегда сепарабельна (при условии, что характеристика не равна 2), если P неприводима, но большинство резольвент не всегда сепарабельны.

См. Также [ править ]

• Эндоморфизм Фробениуса

Ссылки [ править ]

• Страницы 240-241 Лэнг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Чтение, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848,13001