Аддитивный полином

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июнь 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , то аддитивные многочлены являются важной темой в классической теории алгебраических чисел .

Определение [ править ]

Пусть K быть полем из характеристической р с р с простым числом . Многочлен Р ( х ) с коэффициентами из к называется аддитивным многочленом , или фробениусова многочлен , если

${\displaystyle P(a+b)=P(a)+P(b)\,}$

как многочлены от a и b . Это равносильно предположению, что это равенство выполняется для всех a и b в некотором бесконечном поле, содержащем k , например его алгебраическое замыкание.

Иногда абсолютно аддитивный используется для условия выше, и аддитивный используется для более слабого условия, что P ( a  +  b ) = P ( a ) +  P ( b ) для всех a и b в поле. Для бесконечных полей условия эквивалентны, но для конечных полей это не так, а более слабое условие является «неправильным» и плохо себя ведет. Например, над полем порядка q любое кратное P числа x ^q  -  x будет удовлетворять условию P ( a +  b ) = P ( a ) +  P ( b ) для всех a и b в поле, но обычно не будет (абсолютно) аддитивным.

Примеры [ править ]

Многочлен x ^p аддитивен. В самом деле, для любых a и b из алгебраического замыкания k по биномиальной теореме

${\displaystyle (a+b)^{p}=\sum _{n=0}^{p}{p \choose n}a^{n}b^{p-n}.}$

Поскольку p простое число, для всех n = 1, ..., p −1 биномиальный коэффициент делится на p , откуда следует, что ${\displaystyle \scriptstyle {p \choose n}}$

${\displaystyle (a+b)^{p}\equiv a^{p}+b^{p}\mod p}$

как многочлены от a и b .

Аналогично все многочлены вида

${\displaystyle \tau _{p}^{n}(x)=x^{p^{n}}}$

аддитивны, где n - неотрицательное целое число .

Определение имеет смысл, даже если k - поле нулевой характеристики, но в этом случае единственными аддитивными полиномами являются полиномы вида ax для некоторого a из k . ^{[ необходима цитата ]}

Кольцо аддитивных многочленов [ править ]

Довольно легко доказать, что любая линейная комбинация многочленов с коэффициентами в k также является аддитивным многочленом. Интересный вопрос: существуют ли другие аддитивные полиномы, кроме этих линейных комбинаций. Ответ в том, что это единственные.${\displaystyle \scriptstyle \tau _{p}^{n}(x)}$

Можно проверить, что если P ( x ) и M ( x ) аддитивные полиномы, то P ( x ) +  M ( x ) и P ( M ( x )) - также. Это означает, что аддитивные полиномы образуют кольцо при сложении и композиции полиномов. Это кольцо обозначается

${\displaystyle k\{\tau _{p}\}.\,}$

Это кольцо не коммутативно, если k не равно полю (см. Модульную арифметику ). Действительно, рассмотрим аддитивные полиномы ax и x ^p для коэффициента a в k . Чтобы они ездили по составу, мы должны иметь${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {F} _{p}=\mathbf {Z} /p\mathbf {Z} }$

${\displaystyle (ax)^{p}=ax^{p},\,}$

или ^р  -  = 0. Это неверно для более не является корнем этого уравнения, то есть, для более снаружи${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {F} _{p}.}$

Основная теорема об аддитивных многочленах [ править ]

Пусть P ( x ) - многочлен с коэффициентами при k , а - множество его корней. Предполагая, что корни P ( x ) различны (то есть P ( x ) отделимо ), тогда P ( x ) является аддитивным тогда и только тогда, когда множество образует группу с добавлением полей.${\displaystyle \scriptstyle \{w_{1},\dots ,w_{m}\}\subset k}$${\displaystyle \scriptstyle \{w_{1},\dots ,w_{m}\}}$

См. Также [ править ]

• Модуль Дринфельда
• Аддитивная карта

Ссылки [ править ]

• Дэвид Госс , Основные структуры арифметики функционального поля , 1996, Springer, Берлин. ISBN  3-540-61087-1 .

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Аддитивный полином» . MathWorld .