В математике термин линейная функция относится к двум различным, но связанным понятиям: [1]
- В исчислении и смежных областях, линейная функция является функцией которой график является прямой линией , то есть полиномиальная функция от степени нуль или единица. [2] Чтобы отличить такую линейную функцию от другой концепции, часто используется термин аффинная функция . [3]
- В линейной алгебре , математический анализ , [4] и функциональный анализ , линейная функция является линейным отображением . [5]
Как полиномиальная функция
В исчислении, аналитической геометрии и связанных областях линейная функция - это многочлен первой или меньшей степени, включая нулевой многочлен (последний не считается имеющим нулевую степень).
Когда функция состоит только из одной переменной , она имеет вид
где a и b - константы , часто действительные числа . График такой функции одной переменной невертикальная линии. a часто называют наклоном линии, а b - точкой пересечения.
Для функции любого конечного числа переменных общая формула
а граф - это гиперплоскость размерности k .
Функция , постоянная , также считается линейным в этом контексте, как это многочлен нулевой степени или нулевой многочлен. Его график, когда есть только одна переменная, представляет собой горизонтальную линию.
В этом контексте функция, которая также является линейной картой (другое значение), может называться однородной линейной функцией или линейной формой . В контексте линейной алгебры полиномиальные функции степени 0 или 1 являются скалярнозначными аффинными отображениями .
Как линейная карта
В линейной алгебре линейная функция - это отображение f между двумя векторными пространствами st
Здесь обозначает константу , принадлежащую к некоторым полям K из скаляров (например, действительные числа ) и х и у являются элементами векторного пространства , что может быть К самому по себе.
Другими словами, линейная функция сохраняет сложение векторов и скалярное умножение .
Некоторые авторы используют «линейную функцию» только для линейных карт, которые принимают значения в скалярном поле; [6] их чаще называют линейными формами .
«Линейные функции» исчисления квалифицируются как «линейные карты», когда (и только когда) f (0, ..., 0) = 0 или, что то же самое, когда указанная выше константа b равна нулю. Геометрически график функции должен проходить через начало координат.
Смотрите также
Заметки
- ^ «Термин линейная функция означает линейную форму в некоторых учебниках и аффинную функцию в других». Васерштейн 2006, стр. 50-1
- ^ Стюарт 2012, стр. 23
- ↑ А. Курош (1975). Высшая алгебра . Издательство "Мир". п. 214.
- ^ ТМ Апостол (1981). Математический анализ . Эддисон-Уэсли. п. 345.
- Перейти ↑ Shores 2007, p. 71
- ^ Гельфанд 1961
Рекомендации
- Израиль Моисеевич Гельфанд (1961), Лекции по линейной алгебре , Interscience Publishers, Inc., Нью-Йорк. Перепечатано Dover, 1989. ISBN 0-486-66082-6
- Томас С. Шорс (2007), Прикладная линейная алгебра и матричный анализ , Тексты для студентов по математике , Springer. ISBN 0-387-33195-6
- Джеймс Стюарт (2012), Calculus: Early Transcendentals , edition 7E, Brooks / Cole. ISBN 978-0-538-49790-9
- Леонид Н. Васерштейн (2006), «Линейное программирование», в Лесли Хогбен , ред., Справочник по линейной алгебре , дискретной математике и ее приложениям, Chapman and Hall / CRC, гл. 50. ISBN 1-584-88510-6