Линейное приближение

Касательная линия в точке ( a , f ( a ))

В математике , А линейное приближение является приближением общей функции , используя линейную функцию (точнее, функция аффинна ). Они широко используются в методе конечных разностей для получения методов первого порядка для решения или аппроксимации решений уравнений.

Определение [ править ]

Учитывая дважды непрерывно дифференцируемую функцию одной действительной переменной, теорема Тейлора для этого случая утверждает, что ${\ displaystyle f}$ $n=1$

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_{2}\

где остаточный член. Линейное приближение получается отбрасыванием остатка: $R_{2}$

f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)

.

Это хорошее приближение, когда оно достаточно близко к ; так как кривая при внимательном наблюдении начинает напоминать прямую линию. Следовательно, выражение в правой части - это просто уравнение для касательной к графику at . По этой причине этот процесс также называют приближением касательной . $x$ $a$ $f$ $(a,f(a))$

Если в интервале между и находится вогнутый вниз , приближение будет завышенным (поскольку производная убывает в этом интервале). Если есть вогнутые вверх , приближение будет занижена. ^[1] $f$ $x$ $a$ $f$

Аналогичным образом получаются линейные приближения для векторных функций от векторной переменной с заменой производной в точке матрицей Якоби . Например, если дифференцируемая функция с действительными значениями, можно аппроксимировать для близких к по формуле $f(x,y)$ $f(x,y)$ $(x,y)$ $(a,b)$

f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).

Правая часть - это уравнение плоскости, касательной к графику при $z=f(x,y)$ $(a,b).$

В более общем случае банаховых пространств имеем

f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a)

где - производная Фреше функции at . $Df(a)$ $f$ $a$

Приложения [ править ]

Оптика [ править ]

Гауссова оптика - это метод в геометрической оптике, который описывает поведение световых лучей в оптических системах с использованием параксиального приближения , в котором рассматриваются только лучи, которые образуют небольшие углы с оптической осью системы. ^[2] В этом приближении тригонометрические функции могут быть выражены как линейные функции углов. Гауссова оптика применяется к системам, в которых все оптические поверхности либо плоские, либо являются частями сферы . В этом случае можно дать простые явные формулы для параметров системы формирования изображения, таких как фокусное расстояние, увеличение и яркость, с точки зрения геометрических форм и свойств материалов составляющих элементов.

Период колебаний [ править ]

Период качания простого гравитационного маятника зависит от его длины , местной силы тяжести и, в небольшой степени, от максимального угла отклонения маятника от вертикали θ ₀ , называемого амплитудой . ^[3] Это не зависит от массы боба. Истинный период T простого маятника, время, необходимое для полного цикла идеального простого гравитационного маятника, может быть записан в нескольких различных формах (см. Маятник (математика) ), одним из примеров является бесконечный ряд : ^[4]^{[5 ]}

T=2\pi {\sqrt {L \over g}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)

где L - длина маятника, а g - местное ускорение свободного падения .

Однако, если взять линейное приближение (то есть, если амплитуда ограничена небольшими колебаниями, ^{[Примечание 1]} ), период будет: ^[6]

T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\qquad \qquad \qquad \theta _{0}\ll 1\qquad (1)\,

В линейном приближении период качания примерно одинаков для качелей разного размера: то есть период не зависит от амплитуды . Это свойство, называемое изохронизмом , является причиной того, что маятники так полезны для хронометража. ^[7] Последовательные колебания маятника, даже если они меняются по амплитуде, занимают одинаковое время.

Электрическое сопротивление [ править ]

Удельное электрическое сопротивление большинства материалов изменяется с температурой. Если температура T не меняется слишком сильно, обычно используется линейное приближение:

\rho (T)=\rho _{0}[1+\alpha (T-T_{0})]

где называется температурным коэффициентом удельного сопротивления , - фиксированная эталонная температура (обычно комнатная температура) и - удельное сопротивление при температуре . Параметр представляет собой эмпирический параметр, подобранный на основе данных измерений. Поскольку линейное приближение - это только приближение, оно отличается для разных эталонных температур. По этой причине обычно указывается температура, которая была измерена при помощи суффикса, например , и соотношение сохраняется только в диапазоне температур вокруг эталона. ^[8] $\alpha$ $T_{0}$ $\rho _{0}$ $T_{0}$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha _{15}$ Когда температура изменяется в большом диапазоне температур, линейное приближение неадекватно, и следует использовать более подробный анализ и понимание.

См. Также [ править ]

Биномиальное приближение
Метод Эйлера
Конечные различия
Конечно-разностные методы
Метод Ньютона
Силовая серия
Серия Тейлор

Примечания [ править ]

^ "Маленькие" колебания - это такие колебания, при которых угол θ достаточно мал, чтобы sin (θ) можно было аппроксимировать θ, когда θ измеряется в радианах.

Ссылки [ править ]

^ «12.1 Оценка значения функции с помощью линейного приближения» . Проверено 3 июня 2012 года .
^ Липсон, А .; Lipson, SG; Липсон, Х. (2010). Оптическая физика (4-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. п. 51. ISBN 978-0-521-49345-1.
^ Милхэм, Уиллис I. (1945). Время и хронометристы . Макмиллан. С. 188–194. OCLC 1744137 .
^ Нельсон, Роберт; MG Olsson (февраль 1987 г.). «Маятник - Богатая физика из простой системы» (PDF) . Американский журнал физики . 54 (2): 112–121. Bibcode : 1986AmJPh..54..112N . DOI : 10.1119 / 1.14703 . Проверено 29 октября 2008 .
^ "Часы" . Британская энциклопедия, 11-е изд . 6 . The Encyclopdia Britannica Publishing Co., 1910. стр. 538 . Проверено 4 марта 2009 . включает в себя вывод
^ Холлидей, Дэвид; Роберт Резник; Джерл Уокер (1997). Основы физики, 5-е изд . Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. п. 381 . ISBN 0-471-14854-7.
^ Купер, Герберт Дж. (2007). Научные инструменты . Нью-Йорк: Хатчинсона. п. 162. ISBN. 1-4067-6879-0.
^ Уорд, MR (1971). Электротехническая наука . Макгроу-Хилл. С. 36–40. ISBN 0-07-094255-2.

Дальнейшее чтение [ править ]

Вайнштейн, Алан; Марсден, Джерролд Э. (1984). Исчисление III . Берлин: Springer-Verlag. п. 775. ISBN 0-387-90985-0.
Стрэнг, Гилберт (1991). Исчисление . Колледж Уэллсли. п. 94. ISBN 0-9614088-2-0.
Бок, Дэвид; Хокетт, Ширли О. (2005). Как подготовиться к исчислению AP . Хауппог, Нью-Йорк: Образовательная серия Бэрронса. п. 118 . ISBN 0-7641-2382-3.

[6] "Маленькие" колебания - это такие колебания, при которых угол θ достаточно мал, чтобы sin (θ) можно было аппроксимировать θ, когда θ измеряется в радианах.

[1] «12.1 Оценка значения функции с помощью линейного приближения» . Проверено 3 июня 2012 года .

[2] Липсон, А .; Lipson, SG; Липсон, Х. (2010). Оптическая физика (4-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. п. 51. ISBN 978-0-521-49345-1.

[Milham1945-3] Милхэм, Уиллис I. (1945). Время и хронометристы . Макмиллан. С. 188–194. OCLC 1744137 .

[Nelson-4] Нельсон, Роберт; MG Olsson (февраль 1987 г.). «Маятник - Богатая физика из простой системы» (PDF) . Американский журнал физики . 54 (2): 112–121. Bibcode : 1986AmJPh..54..112N . DOI : 10.1119 / 1.14703 . Проверено 29 октября 2008 .

[5] "Часы" . Британская энциклопедия, 11-е изд . 6 . The Encyclopdia Britannica Publishing Co., 1910. стр. 538 . Проверено 4 марта 2009 . включает в себя вывод

[7] Холлидей, Дэвид; Роберт Резник; Джерл Уокер (1997). Основы физики, 5-е изд . Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. п. 381 . ISBN 0-471-14854-7.

[8] Купер, Герберт Дж. (2007). Научные инструменты . Нью-Йорк: Хатчинсона. п. 162. ISBN. 1-4067-6879-0.

[9] Уорд, MR (1971). Электротехническая наука . Макгроу-Хилл. С. 36–40. ISBN 0-07-094255-2.

[1]