В математике , то производная Фреше является производным , определенным на нормированных пространствах . Названный в честь Мориса Фреше , он обычно используется для обобщения производной действительной функции одной действительной переменной на случай векторной функции нескольких действительных переменных, а также для определения функциональной производной, широко используемой в исчислении вариации .
Как правило, он расширяет идею производной от действительных функций одной действительной переменной до функций на нормированных пространствах. Производная Фреше должна быть противопоставлена более общей производной Гато, которая является обобщением классической производной по направлению .
Производная Фреше имеет приложения к нелинейным задачам математического анализа и физических наук, в частности, к вариационному исчислению и большей части нелинейного анализа и нелинейного функционального анализа .
Определение
Пусть V и W - нормированные векторные пространства ибыть открытое подмножество из V . Функция f : U → W называется дифференцируемой по Фреше в точкеесли существует ограниченный линейный оператор такой, что
Предел здесь понимается в обычном смысле предела функции , определенной на метрическом пространстве (см функций на метрических пространствах ), используя V и W в качестве двух метрических пространств, а также приведенное выше выражение как функция аргумента ч в V . Как следствие, он должен существовать для всех последовательностей ненулевых элементов V , сходящихся к нулевому векторуЭквивалентно справедливо разложение первого порядка в обозначениях Ландау
Если такой оператор A существует , он единственен, поэтому мы пишеми назовем ее производной Фреше функции f в точке x . Функция х т Фреш дифференцируем для любой точки U называется С 1 , если функцией
непрерывно ( обозначает пространство всех линейных ограниченных операторов из к ). Обратите внимание, что это не то же самое, что требовать, чтобы карта быть непрерывным для каждого значения (что предполагается; ограниченный и непрерывный эквивалентны).
Это понятие производной является обобщением обычной производной функции от действительных чисел. поскольку линейные отображения из к просто умножение на действительное число. В этом случае Df ( x ) - это функция.
Характеристики
Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.
Дифференцирование - это линейная операция в следующем смысле: если f и g - два отображения V → W , дифференцируемые в точке x , а c - скаляр (действительное или комплексное число ), то производная Фреше подчиняется следующим свойствам:
В этом контексте также справедливо цепное правило : если f : U → Y дифференцируема в x ∈ U и g : Y → W дифференцируема в y = f ( x ) , то композиция g ∘ f дифференцируема по x и производная - это состав производных:
Конечные размеры
Производная Фреше в конечномерных пространствах является обычной производной. В частности, он представлен в координатах матрицей Якоби .
Предположим, что f - отображение,с U открытый набор. Если f дифференцируема по Фреше в точке a ∈ U , то ее производная равна
где J f ( a ) обозначает матрицу Якоби функции f в точке a .
Кроме того, частные производные f задаются формулами
где { e i } - канонический базис Поскольку производная является линейной функцией, для всех векторов что производная функции f по направлению h определяется выражением
Если все частные производные f существуют и непрерывны, то f дифференцируема по Фреше (и, фактически, C 1 ). Обратное неверно; функция
дифференцируема по Фреше, но не имеет непрерывных частных производных в .
Пример в бесконечных измерениях
Один из простейших (нетривиальных) примеров в бесконечных измерениях - это тот, где область является гильбертовым пространством (), а интересующей функцией является норма. Так что рассмотрите.
Сначала предположим, что . Затем мы утверждаем, что производная Фреше функции в линейный функционал , определяется
Действительно,
Используя непрерывность нормы и внутреннего продукта, получаем:
В виде и из-за неравенства Коши-Буняковского-Шварца
ограничен таким образом, весь предел исчезает.
Теперь покажем, что на норма недифференцируема, т.е. не существует линейного ограниченного функционала такой, что рассматриваемый предел должен быть . Позволять- любой линейный функционал. Теорема Рисса о представлении говорит нам, что может быть определен для некоторых . Рассмотреть возможность
Чтобы норма была дифференцируемой при мы должны иметь
Мы покажем, что это неверно для любого . Если очевидно независимо от , следовательно, это не производная. Предполагать. Если мы возьмем стремясь к нулю в направлении (т.е. , где ) тогда , следовательно
(Если мы возьмем стремясь к нулю в направлении мы бы даже увидели, что этого предела не существует, поскольку в этом случае мы получим ).
Только что полученный результат согласуется с результатами в конечных размерностях.
Связь с производной Гато
Функция F : U ⊂ V → W называется Гато по х ∈ U , если е имеет направленную производную вдоль всех направлений в х . Это означает, что существует функция g : V → W такая, что
для любого выбранного вектора ч в V , и где т от поля скалярного связанного с V ( как правило, т является реальным ). [1]
Если f дифференцируема по Фреше в точке x , она также дифференцируема по Гато и g является просто линейным оператором A = Df ( x ).
Однако не всякая дифференцируемая функция Гато дифференцируема по Фреше. Это аналогично тому факту, что существование всех производных по направлениям в точке не гарантирует полной дифференцируемости (или даже непрерывности) в этой точке. Например, вещественная функция f двух вещественных переменных, определяемая формулой
непрерывна и дифференцируема по Гато в точке (0, 0) с производной
Функция g не является линейным оператором, поэтому эта функция не дифференцируема по Фреше.
В более общем смысле, любая функция формы , где r и φ - полярные координаты ( x , y ), непрерывна и дифференцируема по Гато в точке (0,0), если g дифференцируема в 0 и, Но производная Гато только линейная и производная Фреше существует только тогда , когда ч является синусоидальным .
В другой ситуации функция f, заданная формулой
дифференцируема по Гато в точке (0, 0), причем ее производная равна g ( a , b ) = 0 для всех ( a , b ), что является линейным оператором. Однако f не является непрерывным в точке (0, 0) (это можно увидеть, приблизившись к началу координат вдоль кривой ( t , t 3 )), и поэтому f не может быть дифференцируемой по Фреше в начале координат.
Более тонкий пример:
которая является непрерывной функцией, дифференцируемой по Гато в точке (0, 0), с производной g ( a , b ) = 0, которая снова линейна. Однако f не дифференцируема по Фреше. Если бы это было так, его производная Фреше совпадала с его производной Гато и, следовательно, была бы нулевым оператором; отсюда предел
должен быть равен нулю, тогда как приближение к началу координат по кривой ( t , t 2 ) показывает, что этого предела не существует.
Эти случаи могут возникать, потому что определение производной Гато требует только, чтобы разностные коэффициенты сходились вдоль каждого направления индивидуально, без предъявления требований к скорости сходимости для разных направлений. Таким образом, для данного ε, хотя для каждого направления коэффициент разности находится в пределах ε от его предела в некоторой окрестности данной точки, эти окрестности могут быть разными для разных направлений, и может существовать последовательность направлений, для которых эти окрестности становятся произвольно маленький. Если последовательность точек выбрана вдоль этих направлений, частное в определении производной Фреше, которое учитывает все направления одновременно, может не сходиться. Таким образом, для того, чтобы линейная производная Гато предполагала существование производной Фреше, разностные коэффициенты должны сходиться равномерно для всех направлений.
Следующий пример работает только в бесконечных измерениях. Пусть X - банахово пространство, а φ - линейный функционал на X , разрывной в точке x = 0 ( разрывной линейный функционал ). Позволять
Тогда f ( x ) дифференцируема по Гато в точке x = 0 с производной 0. Однако f ( x ) не дифференцируема по Фреше, поскольку предел
не существует.
Высшие производные
Если f : U → W - дифференцируемая функция во всех точках открытого подмножества U в V , то ее производная
является функцией от U к пространству L ( V , W ) всех линейных ограниченных операторов из V в W . Эта функция также может иметь производную, производную второго порядка от f , которая, по определению производной, будет отображением
Для того, чтобы облегчить работу с производными вторым порядком, пространство на правой стороне идентифицируется с банаховым пространством L 2 ( V × V , W ) все непрерывных билинейными карты от V до W . Элемент φ в L ( V , L ( V , W )) , таким образом , идентифицируется с ф в L 2 ( V × V , W ) , что для всех х и у в V ,
(Интуитивно: функция φ, линейная по x, с линейной по y φ ( x ), совпадает с билинейной функцией ψ по x и y ).
Можно различить
снова, чтобы получить производную третьего порядка , которая в каждой точке будет трилинейным отображением , и так далее. П -й производной будет функцией
принимающее значение в банаховом пространстве непрерывных полилинейных отображений в п аргументов от V до W . Рекурсивный, функция F является п + 1 раз дифференцируем на U , если оно п раз дифференцируемые на U , и для каждого х в U существует непрерывное отображение полилинейного А из п + 1 аргументов таких , что предел
существует равномерно по ч 1 , ч 2 , ..., ч п в ограниченных множеств в V . В этом случае A является ( n + 1) -й производной f в точке x .
Более того, мы, очевидно, можем идентифицировать член пространства с линейной картой через идентификацию , таким образом рассматривая производную как линейную карту.
Частные производные Фреше
В этом разделе мы расширяем обычное понятие частных производных, которое определено для функций вида, функциям, области определения и целевые пространства которых являются произвольными (действительными или комплексными) банаховыми пространствами . Для этого пусть а также - банаховы пространства (над тем же полем скаляров), и пусть быть заданной функцией и зафиксировать точку . Мы говорим что имеет i-й частный дифференциал в точке если функция определяется
дифференцируема по Фреше в точке (в смысле, описанном выше). В этом случае мы определяем, и мы звоним i-я частная производная от в момент . Важно отметить, что является линейным преобразованием из в . Эвристически, если имеет i-й частный дифференциал при , тогда линейно аппроксимирует изменение функции когда мы исправим все его записи как для , а мы изменяем только i-ю запись. Мы можем выразить это в обозначениях Ландау как
Обобщение на топологические векторные пространства
Понятие производной Фреше можно обобщить на произвольные топологические векторные пространства (TVS) X и Y . Пусть U будет открытым подмножеством X , содержащим начало координат и заданной функцией такой, что сначала мы определяем, что означает, что эта функция имеет 0 в качестве производной. Мы говорим, что эта функция f касается 0, если для любой открытой окрестности 0 существует открытая окрестность 0, и функция такой, что
и для всех t в некоторой окрестности начала координат
Теперь мы можем снять ограничение, которое определив f как дифференцируемую по Фреше в точке если существует непрерывный линейный оператор такой, что , рассматриваемая как функция h , касается 0 (язык, стр. 6)
Если производная Фреше существует, то она единственна. Кроме того, производная Гато также должна существовать и быть равной производной Фреше в том, что для всех,
где - производная Фреше. Функция, дифференцируемая по Фреше в точке, обязательно непрерывна там, а суммы и скалярные кратные дифференцируемых по Фреше функций дифференцируемы, так что пространство функций, дифференцируемых по Фреше в точке, образует подпространство функций, непрерывных в этой точке. Цепное правило также выполняется, как и правило Лейбница, когда Y - алгебра, и TVS, в которой умножение непрерывно.
Смотрите также
Заметки
- ^ В определение принято включать, что результирующее отображение g должно быть непрерывным линейным оператором . Мы избегаем принятия этого соглашения здесь, чтобы позволить исследовать самый широкий класс патологий.
Рекомендации
- Картан, Анри (1967), Calcul différentiel , Paris: Hermann, MR 0223194.
- Дьедонне, Жан (1969), Основы современного анализа , Бостон, Массачусетс: Academic Press , MR 0349288.
- Ланг, Серж (1995), Дифференциальные и римановы многообразия , Springer , ISBN 0-387-94338-2.
- Мункрес, Джеймс Р. (1991), Анализ на многообразиях , Аддисон-Уэсли , ISBN 978-0-201-51035-5, Руководство по ремонту 1079066.
- Превиато, Эмма , изд. (2003), Словарь прикладной математики для инженеров и ученых , Большой математический словарь, Лондон: CRC Press , ISBN 978-1-58488-053-0, MR 1966695.
- Коулман, Родни, изд. (2012), Исчисление в нормированных векторных пространствах , Universitext, Springer , ISBN 978-1-4614-3894-6.
Внешние ссылки
- Б.А. Фригик, С. Сривастава и М.Р. Гупта, Введение в функциональные производные , Технический отчет UWEE за 2008-0001 гг.
- http://www.probability.net . Эта веб-страница в основном посвящена основам теории вероятностей и меры, но есть хорошая глава о производной Фреше в банаховых пространствах (глава о формуле Якобиана). Все результаты приведены с доказательством.