Бесконечномерная голоморфность

В математике , бесконечномерная Голоморфность является ветвью функционального анализа . Он связан с обобщением концепции голоморфной функции на функции, определенные и принимающие значения в комплексных банаховых пространствах (или пространствах Фреше в более общем смысле), как правило, бесконечной размерности. Это один из аспектов нелинейного функционального анализа .

Векторнозначные голоморфные функции, определенные на комплексной плоскости [ править ]

Первым шагом в расширении теории голоморфных функций за пределы одного комплексного измерения является рассмотрение так называемых векторнозначных голоморфных функций , которые все еще определены в комплексной плоскости C , но принимают значения в банаховом пространстве. Такие функции важны, например, при построении голоморфного функционального исчисления для ограниченных линейных операторов .

Определение. Функция f  : U → X , где U ⊂ C - открытое подмножество, а X - комплексное банахово пространство, называется голоморфной, если она комплексно-дифференцируема; то есть для каждой точки z ∈ U существует следующий предел :

${\ displaystyle f '(z) = \ lim _ {\ zeta \ to z} {\ frac {f (\ zeta) -f (z)} {\ zeta -z}}.}$

Можно определить линейный интеграл векторнозначной голоморфной функции f  : U → X вдоль спрямляемой кривой γ: [ a , b ] → U так же, как для комплекснозначных голоморфных функций, как предел сумм форма

${\ Displaystyle \ сумма _ {1 \ Leq К \ Leq N} е (\ гамма (т_ {к})) (\ гамма (т_ {к}) - \ гамма (т_ {к-1}))}$

где a = t ₀ < t ₁ <... < t _n = b - это подразделение интервала [ a , b ], поскольку длины интервалов подразделения приближаются к нулю.

Это быстрая проверка того, что интегральная теорема Коши верна и для векторнозначных голоморфных функций. В самом деле, если f  : U → X - такая функция, а T  : X → C - ограниченный линейный функционал, можно показать, что

${\ Displaystyle T \ left (\ int _ {\ gamma} f (z) \, dz \ right) = \ int _ {\ gamma} (T \ circ f) (z) \, dz.}$

Более того, композиция T o f  : U → C является комплекснозначной голоморфной функцией. Следовательно, для γ простой замкнутой кривой , внутренность которой содержится в U , интеграл справа равен нулю по классической интегральной теореме Коши. Тогда в силу произвольности T из теоремы Хана – Банаха следует, что

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=0}$

что доказывает интегральную теорему Коши в векторнозначном случае.

Используя этот мощный инструмент, можно затем доказать интегральную формулу Коши и, как и в классическом случае, то, что любая вектор-значная голоморфная функция является аналитической .

Полезный критерий для функции F  : U → X голоморфным является то , что Т о е  : U → C является голоморфной комплексной функцией для каждого линейного непрерывного функционала T  : X → C . Такое е является слабо голоморфна. Можно показать, что функция, определенная на открытом подмножестве комплексной плоскости со значениями в пространстве Фреше, голоморфна тогда и только тогда, когда она слабо голоморфна.

Голоморфные функции между банаховыми пространствами [ править ]

В более общем смысле, учитывая два комплексных банаховых пространства X и Y и открытое множество U ⊂ X , f  : U → Y называется голоморфным, если производная Фреше функции f существует в каждой точке в U. Можно показать, что в этом более общем контексте все еще верно, что голоморфная функция аналитична, то есть ее можно локально разложить в степенной ряд. Однако уже неверно, что если функция определена и голоморфна в шаре, ее степенной ряд вокруг центра шара сходится во всем шаре; например, существуют голоморфные функции, определенные на всем пространстве, которые имеют конечный радиус сходимости. ^[1]

Голоморфные функции между топологическими векторными пространствами [ править ]

В целом, учитывая два комплексных топологических векторных пространств X и Y и открытое множество U ⊂ X , существуют различные способы определения голоморфность функции F  : U → Y . В отличие от конечномерной установки, когда X и Y бесконечномерны, свойства голоморфных функций могут зависеть от того, какое определение выбрано. Для того, чтобы ограничить количество возможностей , мы должны рассмотреть, мы будем обсуждать только Голоморфность в том случае , когда X и Y являются локально выпуклым .

В этом разделе представлен список определений, начиная от самого слабого понятия до самого сильного. Он завершается обсуждением некоторых теорем, связывающих эти определения, когда пространства X и Y удовлетворяют некоторым дополнительным ограничениям.

Голоморфия Гато [ править ]

Голоморфия Гато - это прямое обобщение слабой голоморфности на полностью бесконечномерную систему.

Пусть X и Y - локально выпуклые топологические векторные пространства, а U ⊂ X - открытое множество. Функция F  : U → Y называется Гато голоморфна , если для любого а ∈ U и б ∈ X , и каждый непрерывный линейный функционал φ: Y → C , функция

${\displaystyle f_{\varphi }(z)=\varphi \circ f(a+zb)}$

является голоморфной функцией от z в окрестности начала координат. Набор голоморфных функций Гато обозначается H _G ( U , Y ).

При анализе Гато голоморфных функций, любые свойства конечномерных голоморфных функций держать на конечномерных подпространств X . Однако, как обычно в функциональном анализе, эти свойства могут не объединяться единообразно, чтобы дать какие-либо соответствующие свойства этих функций на полных открытых множествах.

Примеры [ править ]

• Если F ∈ U , то F имеет Гато производные всех порядков, так как при х ∈ U и ч ₁ , ..., ч _к ∈ X , то к -го порядка Гато производной D ^к F ( х ) { ч ₁ ,. .., h _k } включает только повторные производные по направлениям в промежутке h _i , который является конечномерным пространством. В этом случае итерированные производные Гато полилинейны по h _i, Но в целом не быть непрерывным , если рассматривать по всему пространству X .
• Кроме того, верна версия теоремы Тейлора:

${\displaystyle f(x+y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}{\widehat {D}}^{n}f(x)(y)}$

Здесь есть однородный многочлен степени п в у связанного с полилинейного оператора D ^н е ( х ). Сходимость этого ряда неравномерна. Более точно, если V ⊂ X является фиксированной конечно-мерное подпространство, то ряд сходится равномерно на достаточно малые компактные окрестности 0 ∈ Y . Однако, если подпространству V разрешено варьироваться, сходимость не удастся: оно, как правило, не будет однородным по отношению к этому изменению. Обратите внимание, что это резко контрастирует с конечномерным случаем.${\displaystyle {\widehat {D}}^{n}f(x)(y)}$

• Теорема Гартога верна для голоморфных функций Гато в следующем смысле:

Если f  : ( U ⊂ X ₁ ) × ( V ⊂ X ₂ ) → Y - функция, отдельно голоморфная по Гато по каждому из своих аргументов, то f голоморфна по Гато на пространстве произведения.

Гипоаналитичность [ править ]

Функция F  : ( U ⊂ X ) → Y является hypoanalytic , если F ∈ H _G ( U , Y ) и, кроме того , F непрерывна на относительно компактных подмножеств U .

Голоморфия [ править ]

Функция f ∈ H _G (U, Y ) голоморфна, если для любого x ∈ U разложение в ряд Тейлора

${\displaystyle f(x+y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}{\widehat {D}}^{n}f(x)(y)}$

(который уже гарантированно существовать Гато голоморфности) сходится и непрерывна при у в окрестности точки 0 ∈ X . Таким образом, голоморфность объединяет понятие слабой голоморфности с сходимостью разложения в степенной ряд. Набор голоморфных функций обозначается H ( U , Y ).

Локально ограниченная голоморфия [ править ]

Функция F  : ( U ⊂ X ) → Y называется локально ограниченным , если каждая точка U имеет окрестность, образ которого при F ограничена в Y . Если, кроме того, е Гато голоморфных на U , то F является локально ограниченная голоморфна . В этом случае мы пишем f ∈ H _LB ( U , Y ).

Ссылки [ править ]

• Ричард В. Кадисон , Джон Р. Рингроуз, Основы теории операторных алгебр , Vol. 1: Элементарная теория. Американское математическое общество, 1997. ISBN  0-8218-0819-2 . (См. Раздел 3.3.)
• Су Бонг Чае, Голоморфия и исчисление в нормированных пространствах , Марсель Деккер, 1985. ISBN 0-8247-7231-8 . 
• ^ Лоуренс А. Харрис, Теоремы о неподвижной точке для бесконечномерных голоморфных функций (без даты).