Производная Гато

В математике , то дифференциальное Гато или производная Гато является обобщением понятия производной по направлению в дифференциальном исчислении . Названный в честь Рене Гато , французского математика, умершего молодым во время Первой мировой войны , он определен для функций между локально выпуклыми топологическими векторными пространствами, такими как пространства Банаха . Подобно производной Фреше в банаховом пространстве, дифференциал Гато часто используется для формализации функциональной производной, обычно используемой в вариационном исчислении ифизика .

В отличие от других форм производных, дифференциал Гато функции может быть нелинейным . Однако часто определение дифференциала Гато также требует, чтобы он был непрерывным линейным преобразованием . Некоторые авторы, такие как Тихомиров (2001) , проводят дополнительное различие между дифференциалом Гато (который может быть нелинейным) и производной Гато (которую они считают линейной). В большинстве приложений непрерывная линейность следует из некоторого более примитивного условия, которое является естественным для конкретной ситуации, например, наложения комплексной дифференцируемости в контексте бесконечномерной голоморфности или непрерывной дифференцируемости в нелинейном анализе.

Определение [ править ]

Предположим, и являются локально выпуклыми топологическими векторными пространствами (например, банаховыми пространствами ), открыто, и . Дифференциал Гато по крайней в направлении , определяется как${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle U \ подмножество X}$${\ displaystyle F: X \ to Y}$${\ Displaystyle dF (и; \ psi)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle u \ in U}$${\ displaystyle \ psi \ in X}$

${\ displaystyle dF (u; \ psi) = \ lim _ {\ tau \ rightarrow 0} {\ frac {F (u + \ tau \ psi) -F (u)} {\ tau}} = \ left. {\ frac {d} {d \ tau}} F (u + \ tau \ psi) \ right | _ {\ tau = 0}}$

( 1 )

Если предел существует для всех , то говорят, что Гато дифференцируем в точке .${\ displaystyle \ psi \ in X}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle u}$

Предел, фигурирующий в ( 1 ), берется относительно топологии . Если и - вещественные топологические векторные пространства, то предел считается действительным . С другой стороны, если и являются комплексными топологическими векторными пространствами, то указанный выше предел обычно берется как в комплексной плоскости, как в определении комплексной дифференцируемости . В некоторых случаях слабый предел берется вместо сильного предела, что приводит к понятию слабой производной Гато.${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ Displaystyle \ тау \ к 0}$

Линейность и непрерывность [ править ]

В каждой точке дифференциал Гато определяет функцию${\ displaystyle u \ in U}$

${\ displaystyle dF (u; \ cdot): X \ rightarrow Y.}$

Эта функция является однородной в том смысле , что для всех скаляров ,${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle dF (u; \ alpha \ psi) = \ alpha dF (u; \ psi). \,}$

Однако эта функция не обязательно должна быть аддитивной, так что дифференциал Гато может не быть линейным, в отличие от производной Фреше . Даже если он линейный, он может не зависеть непрерывно от того, если и бесконечномерны. Кроме того, для дифференциалов Гато , которые являются линейными и непрерывными в , существует несколько неэквивалентных способов формулируют их непрерывную дифференцируемость .${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ psi}$

Например, рассмотрим действительную функцию двух вещественных переменных, определенную формулой${\ displaystyle F}$

${\displaystyle F(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0),\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0).\end{cases}}}$

Это дифференцируемая по Гато в точке (0, 0) , причем ее дифференциал

${\displaystyle dF(0,0;a,b)={\begin{cases}{\dfrac {a^{3}}{a^{2}+b^{2}}}&(a,b)\not =(0,0),\\0&(a,b)=(0,0).\end{cases}}}$

Однако это непрерывно, но не линейно по аргументам . В бесконечных измерениях любой разрывный линейный функционал на дифференцируем по Гато, но его дифференциал Гато в точке линейен, но не непрерывен.${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 0}$

Связь с производной Фреше

Если дифференцируема по Фреше, то она также дифференцируема по Гато, и ее производные по Фреше и Гато согласуются. Обратное явно неверно, поскольку производная Гато может не быть линейной или непрерывной. Фактически, производная Гато даже может быть линейной и непрерывной, но производная Фреше может не существовать.${\displaystyle F}$

Тем не менее, для функций из комплексного банахова пространства в другое комплексное банахово пространство производная Гато (где предел берется по комплексному, стремящемуся к нулю, как в определении комплексной дифференцируемости ) автоматически линейна, это теорема Цорна (1945) . Кроме того, если (комплексный) Гато дифференцируем в каждом с производной${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle F}$${\displaystyle u\in U}$

${\displaystyle DF(u):\psi \mapsto dF(u;\psi )}$

то дифференцируем по Фреше с производной Фреше ( Zorn 1946 ). Это аналогично результату базового комплексного анализа о том, что функция является аналитической, если она комплексно дифференцируема в открытом множестве, и является фундаментальным результатом в изучении бесконечномерной голоморфности .${\displaystyle F}$${\displaystyle U}$${\displaystyle DF}$

Непрерывная дифференцируемость

Непрерывную дифференцируемость по Гато можно определить двумя неэквивалентными способами. Предположим, что он дифференцируем по Гато в каждой точке открытого множества . Одно понятие непрерывной дифференцируемости в требует, чтобы отображение на пространстве произведения${\displaystyle F:U\to Y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle dF:U\times X\rightarrow Y\,}$

быть непрерывным . Не нужно предполагать линейность: если и являются пространствами Фреше, то автоматически ограничены и линейны для всех ( Гамильтон, 1982 ).${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle dF(u;\cdot )}$${\displaystyle u}$

Более сильное понятие непрерывной дифференцируемости требует, чтобы

${\displaystyle u\mapsto DF(u)\,}$

быть непрерывным отображением

${\displaystyle U\to L(X,Y)\,}$

из в пространство непрерывных линейных функций из в . Обратите внимание, что это уже предполагает линейность .${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle DF(u)}$

С точки зрения технического удобства, это последнее понятие непрерывной дифференцируемости типично (но не универсально), когда пространства и являются банаховыми, поскольку также являются банаховыми, и тогда можно использовать стандартные результаты функционального анализа. Первое является более общим определением в областях нелинейного анализа, где задействованные функциональные пространства не обязательно являются банаховыми пространствами. Например, дифференцирование в пространствах Фреше имеет приложения, такие как теорема Нэша – Мозера об обратной функции, в которой интересующие функциональные пространства часто состоят из гладких функций на многообразии .${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle L(X,Y)}$

Высшие производные [ править ]

В то время как производные Фреше более высокого порядка естественным образом определяются как полилинейные функции путем итерации, с использованием изоморфизмов , производная Гато более высокого порядка не может быть определена таким образом. Вместо этого производная Гато-го порядка функции по направлению определяется выражением${\displaystyle L^{n}(X,Y)=L(X,L^{n-1}(X,Y))}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F:U\subset X\to Y}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle d^{n}F(u;h)=\left.{\frac {d^{n}}{d\tau ^{n}}}F(u+\tau h)\right|_{\tau =0}.}$

( 2 )

Это не полилинейная функция, а однородная функция степени в .${\displaystyle n}$${\displaystyle h}$

Есть еще один кандидат на определение производной высшего порядка - функция

${\displaystyle D^{2}F(u)\{h,k\}=\lim _{\tau \to 0}{\frac {DF(u+\tau k)h-DF(u)h}{\tau }}=\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau \,\partial \sigma }}F(u+\sigma h+\tau k)\right|_{\tau =\sigma =0}}$

( 3 )

что естественно возникает в исчислении вариаций как вторая вариация из , по крайней мере , в частном случае , когда есть скалярный. Однако он может вообще не иметь каких-либо разумных свойств, кроме того, что он по отдельности однороден по и . Желательно иметь достаточные условия для обеспечения того, что является симметричной билинейной функцией и , и что она совпадает с поляризацией из .${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$${\displaystyle D^{2}F(u)\{h,k\}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$${\displaystyle d^{n}F}$

Например, выполняется следующее достаточное условие ( Гамильтон, 1982 ). Предположим, что это в том смысле, что отображение${\displaystyle F}$${\displaystyle C^{1}}$

${\displaystyle DF:U\times X\to Y}$

непрерывна в топологии произведения, и, кроме того, вторая производная, определяемая формулой ( 3 ), также непрерывна в том смысле, что

${\displaystyle D^{2}F:U\times X\times X\to Y}$

непрерывно. Тогда билинейно и симметрично относительно и . В силу билинейности выполняется поляризационное тождество${\displaystyle D^{2}F(u)\{h,k\}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle D^{2}F(u)\{h,k\}={\frac {1}{2}}d^{2}F(u;h+k)-d^{2}F(u;h)-d^{2}F(u;k)}$

связывая производную второго порядка с дифференциалом . Аналогичные выводы справедливы и для производных более высокого порядка.${\displaystyle D^{2}F(u)}$${\displaystyle d^{2}F(u;-)}$

Свойства [ править ]

Версия основной теоремы исчисления верна для производной Гато от , если предполагается, что она достаточно непрерывно дифференцируема. Конкретно:${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

• Предположим, что это в том смысле, что производная Гато является непрерывной функцией . Тогда для любого и ,${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle dF:U\times X\to Y}$${\displaystyle u\in U}$${\displaystyle h\in X}$

${\displaystyle F(u+h)-F(u)=\int _{0}^{1}dF(u+th;h)\,dt}$

где интеграл - это интеграл Гельфанда – Петтиса (слабый интеграл).

Из этого вытекают многие другие известные свойства производной, такие как полилинейность и коммутативность производных высшего порядка. Другие свойства, а также следствия основной теоремы, включают:

• ( Цепное правило )

${\displaystyle d(G\circ F)(u;x)=dG(F(u);dF(u;x))}$

для всех и . (Обратите внимание, что, как и в случае с простыми частными производными , производная Гато не удовлетворяет цепному правилу, если производной разрешено быть разрывной.)${\displaystyle u\in U}$${\displaystyle x\in X}$

• ( Теорема Тейлора с остатком )

Предположим, что отрезок прямой между и полностью лежит внутри . Если это то${\displaystyle u\in U}$${\displaystyle u+h}$${\displaystyle U}$${\displaystyle F}$${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle F(u+h)=F(u)+dF(u;h)+{\frac {1}{2!}}d^{2}F(u;h)+\dots +{\frac {1}{(k-1)!}}d^{k-1}F(u;h)+R_{k}}$

где остаточный член определяется выражением

${\displaystyle R_{k}(u;h)={\frac {1}{(k-1)!}}\int _{0}^{1}(1-t)^{k-1}d^{k}F(u+th;h)\,dt}$

Пример [ править ]

Пусть будет гильбертово пространство из квадратично интегрируемых функций на измеримого по Лебегу множества в евклидовом пространстве . Функционал${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle E:X\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle E(u)=\int _{\Omega }F(u(x))\,dx}$

где - вещественнозначная функция действительной переменной, определенная действительными значениями, имеет производную Гато${\displaystyle F}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle dE(u,\psi )=\langle F'(u),\psi \rangle :=\int _{\Omega }F'(u(x))\,\psi (x)\,dx.}$

Действительно, выше предел в${\displaystyle \tau \to 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {E(u+\tau \psi )-E(u)}{\tau }}&={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }F(u+\tau \,\psi )\,dx-\int _{\Omega }F(u)\,dx\right)\\[6pt]&={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }\int _{0}^{1}{\frac {d}{ds}}F(u+s\,\tau \,\psi )\,ds\,dx\right)\\[6pt]&=\int _{\Omega }\int _{0}^{1}F'(u+s\tau \psi )\,\psi \,ds\,dx.\end{aligned}}}$

См. Также [ править ]

• Производная Адамара
• Производная (обобщения)
• Дифференцирование в пространствах Фреше.
• Фрактальная производная
• Квазипроизводная
• Кватернионный анализ

Ссылки [ править ]

• Gateaux, R (1913), «Sur les fonctionnelles continue et les fonctionnelles analytiques» , Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences , Париж, 157 : 325–327 , дата обращения 2 сентября 2012 г..
• Gateaux, R (1919), "Fonctions d'une infinité de variables indépendantes" , Bulletin de la Société Mathématique de France , 47 : 70–96..
• Гамильтон, RS (1982), "Теорема Нэша и Мозера об обратной функции" , Bull. Амер. Математика. Soc. , 7 (1): 65-222, DOI : 10,1090 / S0273-0979-1982-15004-2 , МР  0656198
• Хилле, Эйнар ; Филлипс, Ральф С. (1974), Функциональный анализ и полугруппы , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , MR  0423094.
• Тихомиров, В.М. (2001) [1994], "Вариация Гато" , Энциклопедия математики , EMS Press.
• Цорн, Макс (1945), "Характеристика аналитических функций в банаховых пространствах", Анналы математики , второй серии, 46 (4): 585-593, DOI : 10,2307 / 1969198 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1969198 , MR  0014190.
• Цорн, Макс (1946), "Производные и дифференциалы Фреше" , Бюллетень Американского математического общества , 52 (2): 133-137, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1946-08524-9 , MR  0014595.