В функциональном анализе и смежных областях математики , А непрерывный линейный оператор или линейное непрерывное отображение является непрерывным линейным преобразованием между топологическими векторными пространствами .
Оператор между двумя нормированными пространствами является ограниченным линейным оператором тогда и только тогда, когда он является непрерывным линейным оператором.
Непрерывные линейные операторы
Характеристики непрерывности
Предположим, что F : X → Y - линейный оператор между двумя топологическими векторными пространствами (TVS). Следующие варианты эквивалентны:
- F непрерывна в точке 0 в X .
- F непрерывна в некоторой точке х 0 ∈ X .
- F непрерывна всюду в X
и если Y является локально выпуклым , то мы можем добавить к этому списку:
- для любой непрерывной полунормы q на Y существует непрерывная полунорма p на X такая, что q ∘ F ≤ p . [1]
и если X и Y оба хаусдорфовы локально выпуклые пространства, то мы можем добавить к этому списку:
- F является слабо непрерывным и ее транспонирование т F : Y « → X » отображает равностепенно непрерывных подмножеств Y « для эквинепрерывных подмножеств X » .
и если X является pseudometrizable (т.е. если оно имеет счетную базу окрестностей в начале координат) , то мы можем добавить к этому списку:
- F - ограниченный линейный оператор (т. Е. Он отображает ограниченные подмножества X в ограниченные подмножества Y ). [2]
и если X и Y - полунормированные пространства, мы можем добавить к этому списку:
- для любого ε> 0 существует такое δ> 0 , что || х - у || <δ влечет || Fx - Fy || <ε ;
и если Y является локально ограничено , то мы можем добавить к этому списку:
- F отображает некоторую окрестность 0 до ограниченного подмножества Y . [3]
и если X и Y - хаусдорфовы локально выпуклые ТВП с конечномерным Y, то мы можем добавить к этому списку:
- график F замкнуто в X × Y . [4]
Достаточные условия для преемственности
Предположим, что F : X → Y - линейный оператор между двумя TVS.
- Если существует такая окрестность U точки 0 в X , что F ( U ) является ограниченным подмножеством Y , то F непрерывно. [2]
- Если X - псевдометризуемая TVS и F отображает ограниченные подмножества X в ограниченные подмножества Y , то F непрерывно. [2]
Свойства непрерывных линейных операторов
Локально выпуклое метризуемый TVS является нормируемым тогда и только тогда , когда каждый линейный функционал на нем непрерывно.
Непрерывный линейный оператор переводит ограниченные множества в ограниченные множества.
Доказательство использует тот факт, что перевод открытого множества в линейное топологическое пространство снова является открытым множеством, и равенство
- F −1 ( D ) + x 0 = F −1 ( D + F ( x 0 )) }}
для любого подмножества D из Y и любого х 0 ∈ X , что верно из - за аддитивности F .
Непрерывные линейные функционалы
Каждый линейный функционал на TVS является линейным оператором, поэтому к ним применимы все свойства, описанные выше для непрерывных линейных операторов. Однако из-за их специализированного характера мы можем сказать о непрерывных линейных функционалах даже больше, чем о более общих непрерывных линейных операторах.
Характеристика непрерывных линейных функционалов
Пусть X быть топологическое векторное пространство (TVS) (мы не предполагаем , что X отделимо или локально выпуклым ) и пусть е будет линейный функционал на X . Следующие варианты эквивалентны: [1]
- f непрерывна.
- f непрерывна в начале координат.
- е непрерывна в некоторой точке X .
- е равномерно непрерывна на X .
- Существует некоторая окрестность U начала координат такая, что f ( U ) ограничена. [2]
- Ядро F замкнуто в X . [2]
- Либо е = 0 , либо ядро F является не плотно в X . [2]
- Re f непрерывно, где Re f обозначает действительную часть f .
- Там существует непрерывная полунорма р на X такое , что | f | ≤ p .
- График f замкнут. [5]
и если X является pseudometrizable (т.е. если оно имеет счетную базу окрестностей в начале координат) , то мы можем добавить к этому списку:
- е является локально ограниченным (т.е. отображает ограниченные подмножества в ограниченные подмножества). [2]
и если вдобавок X является векторным пространством над действительными числами (что, в частности, подразумевает, что f является действительным знаком), то мы можем добавить к этому списку:
- Там существует непрерывная полунорма р на X такой , что F ≤ р . [1]
- Для некоторого действительного r полупространство { x ∈ X : f ( x ) ≤ r } замкнуто.
- В приведенном выше заявлении слово «некоторые» заменено на «любое». [6]
и если X - комплексное топологическое векторное пространство (TVS), то мы можем добавить к этому списку:
- Мнимая часть f непрерывна.
Таким образом, если Х представляет собой комплекс , то либо все три из F , Re е , и Im F являются непрерывными (соответственно ограничены ), или же все три являются прерывистыми (соотв. Неограничены).
Достаточные условия для непрерывных линейных функционалов
- Любая линейная функция на конечномерном хаусдорфовом топологическом векторном пространстве непрерывна.
- Если X - TVS, то каждый линейный ограниченный функционал на X непрерывен тогда и только тогда, когда каждое ограниченное подмножество X содержится в конечномерном векторном подпространстве. [7]
Свойства непрерывных линейных функционалов
Если X - комплексное нормированное пространство и f - линейный функционал на X , то || f || = || Re f || [8] (где, в частности, одна сторона бесконечна тогда и только тогда, когда другая сторона бесконечна).
Каждый нетривиальный непрерывный линейный функционал на TVS X является открытым отображением . [1] Обратите внимание, что если X - вещественное векторное пространство, f - линейный функционал на X , а p - полунорма на X , то | f | ≤ p тогда и только тогда, когда f ≤ p . [1]
Смотрите также
- Ограниченный линейный оператор
- Разрывная линейная карта
- Линейные функционалы
- Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
- Положительный линейный функционал
- Топологии на пространствах линейных отображений
- Топологическое векторное пространство - Векторное пространство с понятием близости.
- Неограниченный оператор
Рекомендации
- ^ a b c d e Narici & Beckenstein 2011 , стр. 126-128.
- ^ a b c d e f g Narici & Beckenstein 2011 , стр. 156-175.
- ^ Wilansky 2013 , стр. 54.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 476.
- ^ Wilansky 2013 , стр. 63.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 225-273.
- ^ Wilansky 2013 , стр. 50.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 128.
- Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. 639 . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003 .
- Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для выпускников по математике. 15 . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401 .
- Бурбаки, Николас (1987) [1981]. Sur some espaces vectoriels topologiques [ Топологические векторные пространства: главы 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Перевод Eggleston, HG; Мадан, С. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
- Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для выпускников по математике . 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 .
- Данфорд, Нельсон (1988). Линейные операторы (на румынском языке). Нью-Йорк: Издательство Interscience. ISBN 0-471-60848-3. OCLC 18412261 .
- Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 .
- Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 .
- Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
- Кете, Готфрид (1983). Топологические векторные пространства I . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159 . Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Руководство по ремонту 0248498 . OCLC 840293704 .
- Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Рудин, Вальтер (январь 1991). Функциональный анализ . McGraw-Hill Наука / Инженерия / Математика. ISBN 978-0-07-054236-5.
- Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
- Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .