В функциональном анализе и смежных областях математики , в метризуемом (соотв. Pseudometrizable ) топологическое векторное пространство (ТВС) является ТВС, топология индуцируется метрикой (соответственно. Псевдометрика ). LM-пространство представляет собой индуктивный предел последовательности локально выпуклого метризуемого ТВС.
Псевдометрика и метрики
Псевдометрика на множестве X называется отображение удовлетворяющие следующим свойствам:
- для всех ;
- Симметрия : для всех ;
- Субаддитивность : для всех
Псевдометрика называется метрикой, если она удовлетворяет:
- Идентичность неразличимого : для всех если тогда
- Ультрапсевдометрический
Псевдометрия d на X называется ультрапсевдометрикой или сильной псевдометрикой, если она удовлетворяет:
- Сильное / ультраметрическое неравенство треугольника : для всех
- Псевдометрическое пространство
Псевдометрическое пространство является паройсостоящий из множества X и псевдометрики д на X такие , что X топология «ы идентична топологии на X , индуцированной д . Мы называем псевдометрическим пространствомметрическое пространство (соответственно. ultrapseudometric пространство ) , когда d является метрикой (соответственно. ultrapseudometric).
Топология, индуцированная псевдометрическим
Если d - псевдометрия на множестве X, то набор открытых шаров :
- поскольку z превышает X, а r - положительные действительные числа,
образует основу топологии на X, которая называется d -топологией или псевдометрической топологией на X, индуцированной d .
- Конвенция : если является псевдометрическим пространством, а X рассматривается как топологическое пространство , тогда, если не указано иное, следует предполагать, что X наделено топологией, индуцированной d .
- Псевдометризуемое пространство
Топологическое пространство называется псевдометризуемым (соответственно метризуемым , ультрапсевдометризуемым ), если существует псевдометрический (соответственно метрический, ультрапсевдометрический) d на X такой, чторавна топологии, индуцированной d . [1]
Псевдометрики и значения на топологических группах
Аддитивная топологическая группа - это аддитивная группа, наделенная топологией, называемой групповой топологией , при которой сложение и отрицание становятся непрерывными операторами.
Топология τ на вещественном или комплексном векторном пространстве X называется векторной топологией или топологией TVS, если она делает непрерывными операции сложения векторов и скалярного умножения (т.е. если она превращает X в топологическое векторное пространство ).
Каждое топологическое векторное пространство (TVS) X является аддитивной коммутативной топологической группой, но не все групповые топологии на X являются векторными топологиями. Это потому, что, несмотря на то, что сложение и отрицание непрерывны, групповая топология в векторном пространстве X может не сделать непрерывным скалярное умножение. Например, дискретная топология на любом нетривиальном векторном пространстве делает непрерывным сложение и отрицание, но не делает непрерывным скалярное умножение.
Псевдометрика с инвариантной трансляцией
Если X является аддитивной группой , то мы говорим , что квазипсевдометрика d на X является перевод инвариантным или просто инвариант , если он удовлетворяет любой из следующих эквивалентных условий:
- Инвариантность перевода : для всех ;
- для всех
Ценность / G-полунорма
Если X - топологическая группа, то значение или G-полунорма на X ( G обозначает группу) является вещественнозначным отображением.со следующими свойствами: [2]
- Неотрицательный :
- Субаддитив : для всех ;
- Симметричный : для всех
где мы называем G-полунорму G-нормой, если она удовлетворяет дополнительному условию:
- Итого / Положительно определенный : Если тогда
Свойства ценностей
Если p - значение в векторном пространстве X, тогда:
- для всех [3]
- а также для всех и натуральные числа n . [4]
- Набор является аддитивной подгруппой X . [3]
Эквивалентность на топологических группах
Теорема [2] - Предположим , что X является аддитивной коммутативной группой. Если d - псевдометрия на X, инвариантная относительно сдвига, то отображение- значение на X, называемое значением, связанным с d , и, более того, d генерирует групповую топологию на X (т.е. d -топология на X превращает X в топологическую группу). И наоборот, если p - значение на X, то картаявляется трансляционно-инвариантной псевдометрикой на X, а значение, ассоциированное с d , равно p .
Псевдометризуемые топологические группы
Теорема [2] - Еслиаддитивная коммутативная топологическая группа, то следующие утверждения эквивалентны:
- индуцируется псевдометрикой; (т.е. псевдометризуем);
- индуцируется трансляционно-инвариантной псевдометрикой;
- элемент идентичности в имеет счетный базис окрестностей.
Если является хаусдорфовым, то слово «псевдометрический» в приведенном выше утверждении можно заменить словом «метрический». Коммутативная топологическая группа метризуема тогда и только тогда, когда она хаусдорфова и псевдометризуема.
Инвариантная псевдометрия, не индуцирующая векторную топологию
Пусть X - нетривиальный (т. Е.) вещественное или комплексное векторное пространство и пусть d - инвариантная относительно сдвигов тривиальная метрика на X, определенная формулой а также для всех такой, что Топология что d индуцирует на X, является дискретной топологией , которая делаетв коммутативную топологическую группу при добавлении, но не образует векторную топологию на X, посколькубудет отключен , но каждый вектор топология подключена. Что терпит неудачу, так это то, что скалярное умножение не непрерывно на
Этот пример показывает , что перевод-инвариантный (псевдо) метрика не достаточно , чтобы гарантировать векторную топологию, которая приводит нас определить paranorms и F -seminorms.
Аддитивные последовательности
Коллекция подмножеств векторного пространства называется аддитивным [5], если для каждого есть некоторые такой, что
Непрерывность сложения при 0 - Еслиявляется группой (как все векторные пространства), топология на , а также наделяется топологией продукта , то карта сложения (т.е. карта ) непрерывна в начале координат тогда и только тогда, когда множество окрестностей начала координат ваддитивный. Это утверждение остается верным, если слово «соседство» заменить словом «открытое соседство». [5]
Следовательно, все вышеперечисленные условия необходимы для того, чтобы топология образовывала векторную топологию. Аддитивные последовательности множеств обладают тем особенно приятным свойством, что они определяют неотрицательные непрерывные субаддитивные функции с действительными значениями . Эти функции затем могут быть использованы для доказательства многих основных свойств топологических векторных пространств, а также для демонстрации метризуемости хаусдорфовой TVS со счетным базисом окрестностей.
Теорема - Пусть набор подмножеств векторного пространства таких, что а также для всех Для всех позволять
Определять от если а в противном случае пусть
потом является субаддитивным (что означает для всех ) а также на так, в частности Я упал являются симметричными множествами, то и если все сбалансированы тогда для всех скаляров такой, что и все Если является топологическим векторным пространством и если все являются окрестностями начала координат, то непрерывна, где если дополнительно Хаусдорф и формирует основу сбалансированных окрестностей происхождения в тогда - метрика, определяющая векторную топологию на .
Доказательство |
---|
Предположить, что всегда обозначает конечную последовательность неотрицательных целых чисел и использует обозначение:
Для любых целых чисел а также Отсюда следует, что если состоит из различных положительных целых чисел, то Теперь это покажем индукцией по что если состоит из неотрицательных целых чисел, таких что для некоторого целого числа тогда Это явно верно для а также так что предположим, что что означает, что все положительные. Я упал различны, то этот шаг выполнен, в противном случае выберите разные индексы такой, что и построить из путем замены каждого с участием и удаление элемент (все остальные элементы передаются без изменений). Заметьте, что а также (так как ), поэтому, обращаясь к индуктивному предположению, мы заключаем, что по желанию. Ясно, что и это чтобы доказать, что субаддитивно, достаточно доказать, что когда такие, что откуда следует, что Это упражнение. Я упал симметричны, то если и только если откуда следует, что а также Я упал сбалансированы, то неравенство для всех единичных скаляров такой, что доказывается аналогично. Так как неотрицательная субаддитивная функция, удовлетворяющая как описано в статье о сублинейных функционалах , равномерно непрерывна на если и только если непрерывна в начале координат. Я упал являются окрестностями начала координат, то для любого действительного выберите целое число такой, что чтобы подразумевает Если набор всех образуют основу сбалансированных окрестностей начала координат, то можно показать, что для любого есть некоторые такой, что подразумевает |
Паранорм
Если X - векторное пространство над действительными или комплексными числами, то паранорма на X - это G-полунорма (определенная выше)на X, который удовлетворяет любому из следующих дополнительных условий, каждое из которых начинается с "для всех последовательностейв X и всех сходящихся последовательностях скаляров": [6]
- Непрерывность умножения : если s - скаляр и такие, что а также тогда
- Оба условия:
- если и если таково, что тогда ;
- если тогда для каждого скаляра s .
- Оба условия:
- если а также для некоторых скалярных с потом;
- если тогда для всех
- Раздельная преемственность : [7]
- если для некоторых скалярных с потом для каждого ;
- если s - скаляр, а также тогда .
Паранормальное явление называется тотальным, если оно дополнительно удовлетворяет:
- Всего / Положительно определено : подразумевает
Свойства паранормальных явлений
Если p - паранорма в векторном пространстве X, то отображение определяется Перевод-инвариантной псевдометрика на X , который определяет вектор топологии на X . [8]
Если p - паранорма в векторном пространстве X, то:
- набор является векторным подпространством X . [8]
- для всех с участием [8]
- Если паранормальный p удовлетворяет для всех и скаляры s , то p - абсолютная однородность (т. е. выполняется равенство) [8] и, следовательно, p - полунорма .
Примеры паранормальных явлений
- Если является трансляционно-инвариантной псевдометрикой на векторном пространстве X , индуцирующей векторную топологиюна X (т.е. является ТВС), то отображение определяет непрерывную паранорму на ; кроме того, топология этой паранормальнойопределяет в X есть[8]
- Если паранорма на X, то отображение[8]
- Каждое положительное скалярное кратное паранормальности (соответственно полной паранормальности) снова является такой паранормой (соответственно полной паранормой).
- Каждая полунорма - это паранорма. [8]
- Ограничение паранормы (соответственно полной паранормы) на векторное подпространство является паранормой (соответственно полной паранормой). [9]
- Сумма двух паранормальных явлений - это паранормальное явление. [8]
- Если а также паранормальные явления на X, то Более того, а также Это превращает множество паранорм на X в условно полную решетку . [8]
- Каждая из следующих карт с действительными значениями является паранормальным явлением на :
- Реальная карта это не паранормальные явления[8]
- Если является базисом Гамеля на векторном пространстве X, то вещественнозначное отображение, отправляющее (где все, кроме конечного числа скаляров равны 0) паранорма на X , удовлетворяющая для всех и скаляры [8]
- Функция это паранормальный это не сбалансировано, но, тем не менее, эквивалентно обычной норме на Обратите внимание, что функция является субаддитивным. [10]
- Позволять - комплексное векторное пространство и пусть обозначать рассматривается как векторное пространство над Любые паранормальные явления на также является паранормальным явлением [9]
F -семинормы
Если X является векторным пространством над действительными или комплексными числами, то F -полунорма на X ( F обозначает Фреше ) является вещественнозначным отображениемсо следующими свойствами: [11]
- Неотрицательный :
- Субаддитив : для всех ;
- Сбалансированный : для всех и все скаляры , удовлетворяющие;
- Это условие гарантирует, что каждый набор формы или же для некоторых является сбалансированным .
- для каждого в виде
- Последовательность можно заменить любой положительной последовательностью, сходящейся к 0. [12]
F -seminorm называется F -норма , если в дополнение оно удовлетворяет:
- Всего / Положительно определено : подразумевает
F -seminorm называется монотонной , если она удовлетворяет:
- Монотонный : для всех ненулевых и все настоящие s и t такие, что[12]
F -полуинормированные пространства
Р -seminormed пространства (соотва. F -нормированного пространства ) [12] представляет собой парусостоящий из векторного пространства X и F -seminorm (соотв. F -норме) р на X .
Если а также являются F -полуинормированными пространствами, то отображениеназывается изометрическим вложением [12], если для всех
Всякое изометрическое вложение одного F- полунормированного пространства в другое является топологическим вложением , но обратное, вообще говоря, неверно. [12]
Примеры F -пеминорм
- Всякая положительная скалярная кратная F -полунормы (соответственно F -норма, полунорма) снова является F -полу-нормой (соответственно F -нормой, полунормой).
- Сумма конечного числа F -полуминорм (соответственно F -норм) является F -полунормой (соответственно F -нормой).
- Если p и q являются F -полунормами на X, то их поточечная супремумТо же самое относится и к супремуму любого непустого конечного семейства F -seminorms на X . [12]
- Ограничение F -полуминормы (соответственно F -нормы) на векторное подпространство является F -полу-нормой (соответственно F -нормой). [9]
- Неотрицательная вещественнозначная функция на X является полунормой тогда и только тогда, когда она является выпуклой F -полунормой, или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда она является выпуклой сбалансированной G -полунормой. [10] В частности, каждая полунорма является F -полунормой.
- Для любой карта f на определяется
- Если является линейным отображением, и если q - F -полунорма на Y , тоявляется F -seminorm на X . [12]
- Позволять - комплексное векторное пространство и пусть обозначать рассматривается как векторное пространство над Любая F -семинорм натакже является F -полуформой на[9]
Свойства F -пеминорм
Каждая F -полунорма является паранормой, и каждая паранорма эквивалентна некоторой F -полунорме. [7] Каждый F -seminorm на векторном пространстве X является значением на X . В частности, а также для всех
Топология, индуцированная одной F -полунормой
Теорема [11] - Пусть р быть F -seminorm на векторном пространстве X . Тогда карта определяется псевдометрия на X , инвариантная относительно сдвигов , определяющая векторную топологиюна X . Если p - F -норма, то d - метрика. Когда X наделено этой топологией , то р непрерывное отображение на X .
Сбалансированные наборы поскольку r пробегает положительные действительные числа, образуют базис окрестности в начале координат для этой топологии, состоящей из замкнутого множества. Аналогично сбалансированные множествапоскольку r пробегает положительные действительные числа, образуют базис окрестности в начале координат для этой топологии, состоящей из открытых множеств.
Топология, индуцированная семейством F -полуорм.
Предположим, что является непустым набором F -полуминорм на векторном пространстве X и для любого конечного подмножества и любой позволять
Набор формирует базу фильтров на X, которая также образует базис окрестностей в начале координат для векторной топологии на X, обозначаемой[12] Каждыйявляется сбалансированным и поглощающее подмножество X . [12] Эти наборы удовлетворяют
- [12]
- является самой грубой векторной топологией на X, делающей каждоенепрерывный. [12]
- хаусдорфова тогда и только тогда, когда для любого ненулевого есть некоторые такой, что [12]
- Если - множество всех непрерывных F -полуорм на тогда [12]
- Если - множество всех поточечных супрем непустых конечных подмножеств из тогда является направленным семейством F -пеминорм и[12]
Комбинация фреше
Предположим, что представляет собой семейство неотрицательных субаддитивных функций на векторном пространстве X .
Сочетание Фреше [8] из определяется как вещественное отображение
Как F -пеминорм
Предположить, что - возрастающая последовательность полунорм на X, и пусть p - комбинация ФрешеТогда p - F -полунорма на X , индуцирующая ту же локально выпуклую топологию, что и семействополунорм. [13]
С возрастает, базис открытых окрестностей начала координат состоит из всех множеств вида поскольку я пробегает все положительные целые числа и распространяется на все положительные действительные числа.
Перевод инвариантно псевдометрика на X индуцируется этого F -seminorm р является
Эта метрика была открыта Фреше в его диссертации 1906 г. для пространств действительных и комплексных последовательностей с поточечными операциями. [14]
Как паранормальный
Если каждый является paranorm то и р и , кроме того, р индуцирует ту же топологию на X как семействопаранормальных явлений. [8] Это также верно для следующих паранорм на X :
- [8]
- [8]
Обобщение
Комбинация Фреше может быть обобщена с помощью ограниченной функции реметризации.
Ограниченная функция remetrization [15] является непрерывной неотрицательной не убывает на картуэто субаддитивный (т.е. для всех имеет ограниченный диапазон и удовлетворяет если и только если
Примеры функций ограниченной реметризации включают: а также [15] Если d - псевдометрика (соответственно метрика) на X и является ограниченной функцией реметризации, то - ограниченная псевдометрика (соответственно ограниченная метрика) на X , равномерно эквивалентная d . [15]
Предположим, что - семейство неотрицательных F -полуорм на векторном пространстве X , R } - ограниченная функция реметризации, апредставляет собой последовательность положительных действительных чисел, сумма которых конечна. потом
определяет ограниченную F -полунорму, равномерно эквивалентную[16] Он обладает тем свойством, что для любой сетив X , если и только если для всех [16]является F -нормой тогда и только тогда, когдаотдельные точки на X . [16]
Характеристики
Из (псевдо) метрик, индуцированных (полу) нормами
Псевдометрическая (соответственно метрика) d индуцируется полунормой (соответственно нормой) на векторном пространстве X тогда и только тогда, когда d инвариантен относительно сдвигов и абсолютно однороден , что означает, что для всех скаляров s и всех в этом случае функция, определенная является полунормой (соответственно нормой) и псевдометрика (соответственно метрика), индуцированная p , равна d .
Псевдометризуемых ТВС
Если является топологическим векторным пространством (TVS) (где, в частности, отметим, чтосчитается векторной топологией), то следующие условия эквивалентны: [11]
- X псевдометризуем (т. Е. Векторная топологияиндуцирована псевдометрикой на X ).
- X имеет счетную базу окрестностей в начале координат.
- Топология на X индуцируется трансляционно-инвариантной псевдометрике на X .
- Топология на X индуцирована F -полунормой.
- Топология на X индуцирована паранормой.
Метризуемых ТВС
Если является TVS, то следующие эквиваленты:
- X метризуемо.
- X является Хаусдорф и pseudometrizable.
- X хаусдорфово и имеет счетную базу окрестностей в начале координат. [11] [12]
- Топология на X индуцируется трансляционно-инвариантной метрики на X . [11]
- Топология на X индуцирована F -нормой. [11] [12]
- Топология на X индуцирована монотонной F -нормой. [12]
- Топология на X индуцирована полной паранормой.
Теорема Биркгофа – Какутани - Еслиявляется топологическим векторным пространством, то следующие три условия эквивалентны: [17] [примечание 1]
- Происхождение замкнуто в X , и существует счетный базис окрестностей дляв X .
- является метризуемый (как топологическое пространство).
- Существует перевод-инвариантной метрики на X , что индуцирует на X топологиячто данная топология на X .
По теореме Биркгофа – Какутани следует, что существует эквивалентная метрика , инвариантная относительно сдвигов.
Локально выпуклой псевдометризуемой ТВС
Если является TVS, то следующие условия эквивалентны: [13]
- X является локально выпуклым и pseudometrizable.
- X имеет счетную базу окрестностей в начале координат, состоящую из выпуклых множеств.
- Топология X индуцирована счетным семейством (непрерывных) полунорм.
- Топология X индуцирована счетной возрастающей последовательностью (непрерывных) полунорм(увеличение означает, что для всех i ,
- Топология X индуцируется F -полунормой вида:
Коэффициенты
Пусть M - векторное подпространство топологического векторного пространства
- Если X - псевдометризуемая TVS, то также[11]
- Если X - полное псевдометризуемое TVS и M - замкнутое векторное подпространство в X, тозавершено. [11]
- Если X - метризуемая TVS и M - замкнутое векторное подпространство в X, тометризуемо. [11]
- Если p - F -полунорма на X , то отображение определяется
Примеры и достаточные условия
- Каждое полунормированное пространство псевдометризуем с канонической псевдометрикой, задаваемой формулой для всех [19] .
- Если псевдометрическая TVS с трансляционно-инвариантной псевдометрической тогда определяет паранормальное явление. [20] Однако, еслиявляется трансляционно-инвариантной псевдометрикой на векторном пространстве X (без условия сложения, чтоявляется псевдометрическим TVS ), тоне обязательно быть F -полунормой [21] или паранормальным явлением .
- Если TVS имеет ограниченную окрестность начала координат, то она псевдометризуема; обратное, как правило, неверно. [14]
- Если Хаусдорфова ТВП имеет ограниченную окрестность начала координат, то она метризуема. [14]
- Предполагать является либо DF-пространством, либо LM-пространством . Если X - секвенциальное пространство, то оно либо метризуемо, либо DF-пространство Монтеля .
Если хаусдорфова локально выпуклая ТВП, то с сильной топологией , метризуемо тогда и только тогда, когда существует счетное множество ограниченных подмножеств такой, что каждое ограниченное подмножество X содержится в некотором элементе[22]
Сильное сопряженное пространство метризуемого локально выпуклого пространства (например, пространства Фреше [23] )является DF-пространством . [24] Сильно двойственное DF-пространство - это пространство Фреше . [25] Сильное дуальное к рефлексивному пространству Фреше является борнологическим пространством . [24] Сильное двойственное пространство (т. Е. Сильное двойственное пространство к сильному сопряженному пространству) метризуемого локально выпуклого пространства является пространством Фреше. [26] Если является метризуемым локально выпуклым пространством, то его сильное двойственное обладает одним из следующих свойств, если и только если он обладает всеми этими свойствами: (1) борнологический , (2) инфракционированный , (3) ствольный . [26]
Нормируемость
Топологическое векторное пространство полунормируемо тогда и только тогда, когда оно имеет выпуклую ограниченную окрестность начала координат. Более того, TVS нормируема тогда и только тогда, когда она хаусдорфова и полунормируема. [14] Каждый метризуемый TVS на конечномерном мерном векторном пространстве является нормируемым локально выпуклые полные TVS , будучи TVS-изоморфными в евклидовом пространстве . Следовательно, любая метризуемая TVS, которая не нормируется, должна быть бесконечномерной.
Если - метризуемая локально выпуклая ТВП , обладающая счетной фундаментальной системой ограниченных множеств, тонормируемый. [27]
Если является хаусдорфовым локально выпуклым пространством, то следующие условия эквивалентны:
- является нормируемым .
- имеет (фон Неймана) ограниченную окрестность начала координат.
- сильное сопряженное пространство из нормируемый. [28]
и если это локально выпуклое пространство также метризуемо, то к этому списку можно добавить:
- сильное двойственное пространство метризуемо. [28]
- сильное двойственное пространство является локально выпуклым пространством Фреше – Урысона . [23]
В частности, если метризуемое локально выпуклое пространство (например, пространство Фреше ) не нормируется, то его сильное дуальное пространство не является пространством Фреше – Урысона и, следовательно, это полное хаусдорфово локально выпуклое пространство также не является ни метризуемым, ни нормируемым.
Еще одно следствие этого состоит в том, что если - рефлексивная локально выпуклая ТВП, сильная двойственная метризуемо, то обязательно рефлексивное пространство Фреше, является DF-пространством , оба а также обязательно являются полными хаусдорфовыми ультраборнологически выделенными перепончатыми пространствами , и, более того нормируем тогда и только тогда, когда нормируем тогда и только тогда, когда является Фреше – Урысоном тогда и только тогда, когда метризуемо. В частности, такое пространствоявляется либо банаховым пространством, либо даже не пространством Фреше – Урысона.
Метрически ограниченные множества и ограниченные множества
Предположим, что псевдометрическое пространство и Множество B является метрический ограничен или д -ограничен , если существует действительное число такой, что для всех ; наименьшее такое R затем называется диаметр или d -диаметр из B . [14] Если Б является ограниченным в pseudometrizable TVS X , то она метрический ограничена; обратное, вообще говоря, неверно, но верно для локально выпуклых метризуемых ТВП. [14]
Свойства псевдометризуемых ТВС
Теорема [29] - Все бесконечномерные сепарабельные полные метризуемые ТВП гомеоморфны .
- Любая метризуемая локально выпуклая TVS является квазибаррелевым пространством , [30] борнологическим пространством и пространством Макки .
- Всякая полная псевдометризуемая TVS - это пространство с бочками и пространство Бэра (и, следовательно, не скудное). [31] Однако существуют метризуемые бэровские пространства, которые не являются полными . [31]
- Если X является метризуемым локально выпуклым пространством, то сильный сопряженным X является борнологической тогда и только тогда , когда он стволом , тогда и только тогда , когда она infrabarreled . [26]
- Если X - полное псевдометризуемое TVS и M - замкнутое векторное подпространство в X , тозавершено. [11]
- Сильный сопряженное локально выпуклого метризуемого TVS является перепончатым пространством . [32]
- Если а также являются полными метризуемыми ТВП (т. е. F-пространствами ) и если грубее, чем тогда ; [33] это больше не гарантируется, если любой из этих метризуемых TVS не является полным. [34] Сказано иначе, если а также оба являются F-пространствами, но с разными топологиями, то ни одно из а также содержит другой как подмножество. Одним из конкретных следствий этого является, например, то, что еслиявляется банаховым пространством и - какое-то другое нормированное пространство, индуцированная нормой топология которого тоньше (или, наоборот, грубее) топологии (т.е. если или если для некоторой постоянной ), тогда единственный способ может быть банаховым пространством (т.е. также быть полным), если эти две нормы а также это эквивалентно ; если они не эквивалентны, тоне может быть банаховым пространством. Как еще одно следствие, если является банаховым пространством и является пространством Фреше , то отображение непрерывно тогда и только тогда, когда пространство Фреше являются телевизоры (здесь банахово пространство рассматривается как TVS, что означает, что его норма « забывается », но его топология запоминается).
- Метризуемое локально выпуклое пространство нормируемое тогда и только тогда , когда его сильное сопряженное пространство является Фреш-Урысон локально выпуклое пространство. [23]
- Любое произведение полных метризуемых ТВП является пространством Бэра . [31]
- Продукт метризуемых TVS является метризуемым тогда и только тогда, когда все это, но не более чем счетное число из этих TVS имеет размерность [35]
- Произведение псевдометризуемых TVS является псевдометризуемым тогда и только тогда, когда все, но не более чем счетное число этих TVS имеют тривиальную топологию.
- Всякая полная псевдометризуемая TVS - это пространство с бочками и пространство Бэра (и, следовательно, не скудное). [31]
- Размерность полной метризуемой TVS либо конечна, либо несчетна. [35]
Полнота
Каждое топологическое векторное пространство (и, в более общем смысле, топологическая группа ) имеет каноническую равномерную структуру , индуцированную его топологией, которая позволяет применять к нему понятия полноты и равномерной непрерывности. Если Х представляет собой метризуемое ТВС и d представляет собой показатель , который определяет Е «с топологией, то ее возможно , что Х является полной , как ТВС (т.е. относительно ее однородности) , но метрика д является не а полными метрическими существуют (такие метрики даже для). Таким образом, если X - TVS, топология которого индуцирована псевдометрикой d , то понятие полноты X (как TVS) и понятие полноты псевдометрического пространстване всегда эквивалентны. Следующая теорема дает условие, когда они эквивалентны:
Теорема - Если X является pseudometrizable TVS , чья топология индуцируется перевод инвариантной псевдометрики г , то d является полным псевдометрика на X тогда и только тогда , когда X полно как TVS. [36]
Теорема [37] [38] (Кли) - Пусть D будет любой [примечание 2] метрика на векторном пространстве X такой , что топологияиндуцированный d на X, делаетв топологическое векторное пространство. Если полное метрическое пространство, то это полная ТВС.
Теорема - Если X является TVS, топология индуцируется paranorm р , то X является полным тогда и только тогда , когда для любой последовательностив X , если тогда сходится в X . [39]
Если является замкнутым векторным подпространством полной псевдометризуемой ТВП X , то фактор-пространствозавершено. [40] Еслиявляется полным векторным подпространством метризуемой ТВП X и если фактор-пространствополно, то и X тоже . [40] Если X не является полным, тоно не полное, векторное подпространство X .
А Бэр Отделимого топологическая группы метризуемо тогда и только тогда , когда это космическое. [23]
Подмножества и подпоследовательности
- Пусть M - сепарабельное локально выпуклое метризуемое топологическое векторное пространство и C - его пополнение. Если S - ограниченное подмножество C, то существует ограниченное подмножество R в X такое, что[41]
- Всякое вполне ограниченное подмножество локально выпуклой метризуемой ТВП X содержится в замкнутой выпуклой сбалансированной оболочке некоторой последовательности в X , сходящейся к
- В псевдометризуемом TVS каждое рожденное животное является окрестностью происхождения. [42]
- Если d - трансляционно-инвариантная метрика на векторном пространстве X , то для всех и каждое натуральное число n . [43]
- Если является нулевой последовательностью (т. е. сходится к началу координат) в метризуемой TVS, то существует последовательность положительных действительных чисел, расходящихся такой, что [43]
- Подмножество полного метрического пространства замкнуто тогда и только тогда, когда оно полно. Если пространство X не является полным, то X - замкнутое подмножество X , которое не является полным.
- Если X - метризуемая локально выпуклая ТВП, то для любого ограниченного подмножестваиз X , существует ограниченное дисковое D в X такой , чтои как X, так и вспомогательное нормированное пространство индуцирует ту же топологию подпространства на B . [44]
Теорема Банаха-Сакса [45] - Еслипоследовательность в локально выпуклой метризуемой ТВПкоторый слабо сходится к некоторым тогда существует последовательность в X такое, что в и каждый выпуклая комбинация конечного числа
Счетность состояние Макки [14] - Предположим , что X является локально выпуклым метризуемый TVS исчетное последовательность ограниченных подмножеств X . Тогда существует ограниченное подмножество B в X и последовательность положительных действительных чисел, таких что для всех я .
Линейные карты
Если X - псевдометризуемая TVS и A отображает ограниченные подмножества X в ограниченные подмножества Y , то A непрерывно. [14] Разрывные линейные функционалы существуют на любой бесконечномерной псевдометризуемой TVS. [46] Таким образом, псевдометризуемая TVS конечномерна тогда и только тогда, когда ее непрерывное сопряженное пространство равно ее алгебраическому сопряженному пространству . [46]
Если является линейным отображением между TVS и X метризуемо, то следующие условия эквивалентны:
- F непрерывно;
- Р является (локально) , ограниченной картой (то есть, F отображает (фон Нейман) ограниченные подмножествами из X в ограниченные подмножества Y ); [12]
- Р является последовательно непрерывным ; [12]
- изображение под F каждой нулевой последовательности в X является ограниченным множеством [12], где по определению нулевая последовательность - это последовательность, сходящаяся к началу координат.
- F отображает нулевые последовательности на нулевые последовательности;
- Открытые и почти открытые карты
- Теорема : если X - полная псевдометризуемая TVS, Y - TVS Хаусдорфа и - замкнутая и почти открытая линейная сюръекция, то T - открытое отображение. [47]
- Теорема : если сюръективный линейный оператор из локально выпуклого пространства X на ствольное пространстве Y (например , каждое полное pseudometrizable пространства ствола) , то Т является почти открыто . [47]
- Теорема : если является сюръективным линейным оператором из TVS X на бэровское пространство Y, то T почти открыто. [47]
- Теорема : предположим представляет собой непрерывный линейный оператор из полного pseudometrizable ТВС X в хаусдорфово TVS Y . Если образ T не является скудным в Y, то - сюръективное открытое отображение, а Y - полное метризуемое пространство. [47]
Свойство расширения Хана-Банаха
Векторное подпространство М из TVS X обладает свойством расширения , если любой непрерывный линейный функционал на М может быть распространен на непрерывный линейный функционал на X . [22] Скажите, что TVS X обладает свойством расширения Хана-Банаха ( HBEP ), если каждое векторное подпространство X обладает свойством расширения. [22]
Теорема Хана-Банаха гарантирует, что каждое хаусдорфово локально выпуклое пространство имеет HBEP. Для полных метризуемых TVS существует обратное:
Теорема (Kalton) - каждые полные метризуемые TVS со свойством расширения Хана-Банаха локально выпукло. [22]
Если векторное пространство X имеет несчетную размерность и если мы наделим его лучшей векторной топологией, то это TVS с HBEP, который не является ни локально выпуклым, ни метризуемым. [22]
Смотрите также
- Асимметричная норма - Обобщение понятия нормы
- Полное метрическое пространство - набор с понятием расстояния, где каждая последовательность точек, которые постепенно приближаются друг к другу, будут сходиться.
- Полное топологическое векторное пространство - TVS, где точки, которые постепенно приближаются друг к другу, всегда будут сходиться в точку.
- Теорема о замкнутом графике (функциональный анализ) - Теоремы для вывода непрерывности из графика функции
- Эквивалентность показателей
- F-пространство - Топологическое векторное пространство с полной трансляционно-инвариантной метрикой.
- Пространство Фреше - локально выпуклое топологическое векторное пространство, которое также является полным метрическим пространством.
- Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
- Метрическое пространство - математический набор, определяющий расстояние
- Теорема об открытом отображении (функциональный анализ) - Теорема, дающая условия для того, чтобы непрерывная линейная карта была открытой.
- Псевдометрическое пространство - Обобщение метрических пространств в математике
- Связь норм и показателей
- Семинорм
- Сублинейная функция
- Топологическое векторное пространство - Векторное пространство с понятием близости.
- Равномерное пространство - Топологическое пространство с понятием однородных свойств.
- Теорема Урсеску - теорема, которая одновременно обобщает замкнутый граф, открытое отображение и теоремы Банаха – Штейнгауза.
Заметки
- ^ Фактически, это верно для топологической группы, поскольку доказательство не использует скалярные умножения.
- ^ Не считается инвариантным к трансляции.
Рекомендации
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 1-18.
- ^ a b c Narici & Beckenstein 2011 , стр. 37-40.
- ^ a b Swartz 1992 , стр. 15.
- ^ Wilansky 2013 , стр. 17.
- ^ a b Wilansky 2013 , стр. 40-47.
- ^ Wilansky 2013 , стр. 15.
- ^ a b Schechter 1996 , стр. 689-691.
- ^ a b c d e f g h i j k l m n o Wilansky 2013 , стр. 15-18.
- ^ a b c d Schechter 1996 , стр. 692.
- ^ a b Schechter 1996 , стр. 691.
- ^ a b c d e f g h i j k l Narici & Beckenstein 2011 , стр. 91-95.
- ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t Jarchow 1981 , стр. 38-42.
- ^ a b Narici & Beckenstein 2011 , стр. 123.
- ^ a b c d e f g h Narici & Beckenstein 2011 , стр. 156-175.
- ^ a b c Schechter 1996 , стр. 487.
- ^ a b c Schechter 1996 , стр. 692-693.
- ^ Köthe 1983 , раздел 15.11
- Перейти ↑ Schechter 1996 , p. 706.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 115-154.
- ^ Wilansky 2013 , стр. 15-16.
- ↑ Schaefer & Wolff 1999 , стр. 91-92.
- ^ a b c d e Narici & Beckenstein 2011 , стр. 225-273.
- ^ a b c d Габриелян С.С. «О топологических пространствах и топологических группах с некоторыми локальными счетными сетями» (2014)
- ^ a b Schaefer & Wolff 1999 , стр. 154.
- ↑ Schaefer & Wolff 1999 , стр. 196.
- ^ a b c Schaefer & Wolff 1999 , стр. 153.
- ↑ Schaefer & Wolff 1999 , стр. 68-72.
- ^ a b Trèves 2006 , стр. 201.
- ^ Wilansky 2013 , стр. 57.
- ^ Jarchow 1981 , стр. 222.
- ^ a b c d Narici & Beckenstein 2011 , стр. 371-423.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 459-483.
- ^ Кйте 1969 , стр. 168.
- ^ Wilansky 2013 , стр. 59.
- ^ a b Schaefer & Wolff 1999 , стр. 12-35.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 47-50.
- ↑ Schaefer & Wolff 1999 , стр. 35.
- Перейти ↑ Klee, VL (1952). «Инвариантные метрики в группах (решение проблемы Банаха)» (PDF) . Proc. Амер. Математика. Soc . 3 (3): 484–487. DOI : 10.1090 / s0002-9939-1952-0047250-4 .
- ^ Wilansky 2013 , стр. 56-57.
- ^ a b Narici & Beckenstein 2011 , стр. 47-66.
- Перейти ↑ Schaefer & Wolff 1999 , pp. 190-202.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 172-173.
- ^ а б Рудин 1991 , с. 22.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 441-457.
- Перейти ↑ Rudin 1991 , p. 67.
- ^ a b Narici & Beckenstein 2011 , стр. 125.
- ^ a b c d Narici & Beckenstein 2011 , стр. 466-468.
Библиография
- Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для выпускников по математике. 15 . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401 .
- Бурбаки, Николас (1987) [1981]. Sur some espaces vectoriels topologiques [ Топологические векторные пространства: главы 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Перевод Eggleston, HG; Мадан, С. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
- Бурбаки, Николас (1950). "Sur определенных пространств векторной топологии" . Annales de l'Institut Fourier (на французском языке). 2 : 5–16 (1951). DOI : 10,5802 / aif.16 . Руководство по ремонту 0042609 .
- Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 .
- Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 .
- Ярчоу, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
- Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . 936 . Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 .
- Кете, Готфрид (1983). Топологические векторные пространства I . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159 . Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Руководство по ремонту 0248498 . OCLC 840293704 .
- Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства. II . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 237 . Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC 180577972 .
- Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- Робертсон, Алекс П .; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . 53 . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250 .
- Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .
- Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
- Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .
- Хусейн, Такдир (1978). Бочность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7. OCLC 4493665 .