В функциональном анализе и смежных областях математики , множество в топологическом векторном пространстве называется ограниченным или фон Нейман ограничена , если каждая окрестность от нулевого вектора может быть завышена , чтобы включить набор. Неограниченное множество называется неограниченным .
Ограниченные множества - это естественный способ определения локально выпуклых полярных топологий на векторных пространствах в двойственной паре , поскольку поляра ограниченного множества является абсолютно выпуклым и поглощающим множеством . Впервые концепция была представлена Джоном фон Нейманом и Андреем Колмогоровым в 1935 году.
Определение
- Обозначение : Для любого набора и скаляр позволять
Определение : задано топологическое векторное пространство (TVS).над полем подмножество из называется ограниченным по фон Нейману или просто ограниченным в если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:
- для каждого района происхождения существует реальный такой, что для всех скаляров удовлетворение ; [1]
- Это определение ввел Джон фон Нейман в 1935 году [1].
- будет поглощен каждым окрестности начала координат; [2]
- для каждого района начала координат существует скаляр такой, что ;
- для каждого района происхождения существует реальный такой, что для всех скаляров удовлетворение ; [1]
- Любое из вышеперечисленных 4 условий, но с заменой слова «окрестность» любым из следующих: « сбалансированная окрестность», «открытая сбалансированная окрестность», «замкнутая сбалансированная окрестность», «открытая окрестность», «замкнутая окрестность»;
- например, Условие 2 может стать: ограничен тогда и только тогда, когда поглощается каждой уравновешенной окрестностью начала координат. [1]
- для каждой последовательности скаляров который сходится к 0 и каждая последовательность в последовательность сходится к 0 в ; [1]
- Это было определение «ограниченного», которое Андрей Колмогоров использовал в 1934 году, что совпадает с определением, введенным Станиславом Мазуром и Владиславом Орличем в 1933 году для метризуемых TVS. Колмогоров использовал это определение, чтобы доказать, что TVS полунормируема тогда и только тогда, когда она имеет ограниченную выпуклую окрестность нуля. [1]
- для каждой последовательности в последовательность в ; [3]
- каждое счетное подмножествоограничен (согласно любому определяющему условию, кроме этого). [1]
в то время как если является локально выпуклым пространством, топология которого определяется семействомнепрерывных полунорм , то мы можем добавить к этому списку:
- ограничен для всех [1]
- существует последовательность ненулевых скаляров такой, что для каждой последовательности в последовательность ограничен в (в соответствии с любым определяющим условием, кроме этого). [1]
- для всех ограничено (в соответствии с любым определяющим условием, отличным от этого) в полунормированном пространстве
в то время как если полунормированное пространство с полунормой (обратите внимание, что каждое нормированное пространство является полунормированным пространством, а каждая норма - полунормой), то мы можем добавить к этому списку:
- Существует настоящая что для всех [1]
в то время как если - векторное подпространство ТВП тогда мы можем добавить к этому списку:
- содержится в закрытии [1]
Неограниченное подмножество называется неограниченным .
Борнология и фундаментальные системы ограниченных множеств
Совокупность всех ограниченных множеств на топологическом векторном пространстве называется борнология фон Неймана или ( канонический ) борнология из.
Базовая или фундаментальная система ограниченных множеств из это набор ограниченных подмножеств такой, что любое ограниченное подмножество является подмножеством некоторых [1] Множество всех ограниченных подмножеств тривиально образует фундаментальную систему ограниченных множеств
Примеры
В любой локально выпуклой TVS множество замкнутых и ограниченных дисков является базой ограниченного множества. [1]
Свойства устойчивости
Позволять любое топологическое векторное пространство (TVS) (не обязательно хаусдорфово или локально выпуклое).
- В любом TVS конечные объединения, конечные суммы, скалярные кратные, подмножества, замыкания, внутренности и сбалансированные оболочки ограниченных множеств снова ограничены. [1]
- В любой локально выпуклой TVS выпуклая оболочка ограниченного множества снова ограничена. Это может не быть правдой, если пространство не является локально выпуклым. [1]
- Образ ограниченного множества при непрерывном линейном отображении является ограниченным подмножеством области. [1]
- Подмножество произвольного произведения TVS ограничено тогда и только тогда, когда все его проекции ограничены.
- Если - векторное подпространство ТВП и если тогда ограничен в тогда и только тогда, когда он ограничен в [1]
Примеры и достаточные условия
- В любом топологическом векторном пространстве (TVS) конечные множества ограничены. [1]
- Всякое вполне ограниченное подмножество TVS ограничено. [1]
- Каждый относительно компактный набор в топологическом векторном пространстве ограничен. Если пространство оснащено слабой топологией, верно и обратное.
- Множество точек последовательности Коши ограничено, множество точек Коши чистой потребности не могут быть ограничены.
- В любой TVS каждое подмножество замыкания ограничен.
Не примеры
- В любом TVS любое векторное подпространство, не содержащееся в замыкании неограничен (то есть не ограничен).
- Существует пространство Фреше имеющий ограниченное подмножество а также плотное векторное подпространство такой, что это не содержится в замыкании (в) любого ограниченного подмножества [4]
Характеристики
- Конечные объединения , конечные суммы, замыкания , внутренности и сбалансированные оболочки ограниченных множеств ограничены.
- Образ ограниченного множества при непрерывном линейном отображении ограничен.
- В локально выпуклом пространстве выпуклая оболочка ограниченного множества ограничена.
- Без локальной выпуклости это неверно, поскольку пространства L p для не имеют нетривиальных открытых выпуклых подмножеств.
- Локально выпуклое топологическое векторное пространство имеет ограниченную окрестность нуля тогда и только тогда , когда его топология может быть определена одним полунорме .
- Поляра ограниченного множества - это абсолютно выпуклое и поглощающее множество.
Условие счетности Макки ( [1] ) - Предположим, чтоявляется метризуемой локально выпуклой ТВП и что - счетная последовательность ограниченных подмножеств Тогда существует ограниченное подмножество из и последовательность положительных действительных чисел, таких что для всех
Обобщение
Определение ограниченных множеств можно обобщить на топологические модули . Подмножество топологического модуля над топологическим кольцом ограничен, если для любой окрестности из существует район из такой, что
Смотрите также
- Роядный набор - набор, который может поглотить любое ограниченное подмножество.
- Ограниченная функция - Математическая функция
- Ограниченный оператор - линейный оператор, который переводит ограниченные подмножества в ограниченные подмножества.
- Граничная точка - математическая концепция, относящаяся к подмножествам векторных пространств.
- Компактное пространство - Топологические представления о том, что все точки "близки"
- Локальная ограниченность
- Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
- Полностью ограниченное пространство
- Топологическое векторное пространство - Векторное пространство с понятием близости.
Рекомендации
- ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t Narici & Beckenstein 2011 , стр. 156-175.
- Перейти ↑ Schaefer 1970 , p. 25.
- ^ Wilansky 2013 , стр. 47.
- ^ Wilansky 2013 , стр. 57.
Библиография
- Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. 639 . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003 .
- Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для выпускников по математике. 15 . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401 .
- Бурбаки, Николас (1987) [1981]. Sur some espaces vectoriels topologiques [ Топологические векторные пространства: главы 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Перевод Eggleston, HG; Мадан, С. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
- Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для выпускников по математике . 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 .
- Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 .
- Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 .
- Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
- Кете, Готфрид (1983). Топологические векторные пространства I . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159 . Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Руководство по ремонту 0248498 . OCLC 840293704 .
- Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Робертсон, AP; WJ Робертсон (1964). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике. 53 . Издательство Кембриджского университета . С. 44–46.
- Робертсон, Алекс П .; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . 53 . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250 .
- Шефер, HH (1970). Топологические векторные пространства . GTM . 3 . Springer-Verlag . С. 25–26. ISBN 0-387-05380-8.
- Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .