Сбалансированный набор

В линейной алгебре и смежные областях математики сбалансированный набор , закругленная набора или диск в векторном пространстве (над полем с абсолютным значением функцией ) является набор таким образом, что для всех скаляров , удовлетворяющие${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle | \ cdot |}$ ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle aS \ substeq S}$ ${\ displaystyle a}$${\ Displaystyle | а | \ leq 1.}$

Сбалансированный корпус или сбалансированный конверт из набора является наималейшим сбалансированным набором , содержащего The сбалансированного ядро подмножества является самым большим сбалансированным набором , содержащимся в${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S.}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S.}$

Определение [ править ]

Предположим , что векторное пространство над полем из реальных или комплексных чисел. Элементы называются скалярами . ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$

Обозначение : Если - множество, - скаляр, и тогда пусть ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle a}$${\ Displaystyle B \ substeq \ mathbb {K}}$

${\ displaystyle aS: = \ left \ {as: s \ in S \ right \}}$      а также      ${\ displaystyle BS: = \ left \ {bs: b \ in B, s \ in S \ right \}.}$

и для любого пусть ${\ Displaystyle 0 \ Leq г \ Leq \ infty,}$

${\displaystyle {\overline {B_{r}}}:=\left\{a\in \mathbb {K} :|a|\leq r\right\}}$      а также      ${\displaystyle B_{r}:=\left\{a\in \mathbb {K} :|a|<r\right\}}$

обозначают замкнутый шар (соответственно открытый шар) радиуса in с центром в где и Каждое сбалансированное подмножество поля имеет форму или для некоторого${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle B_{0}=\varnothing ,}$ ${\displaystyle {\overline {B_{0}}}=\{0\},}$${\displaystyle B_{\infty }:={\overline {B_{\infty }}}=\mathbb {K} .}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle {\overline {B_{r}}}}$${\displaystyle B_{r}}$${\displaystyle 0\leq r\leq \infty .}$

Подмножество из называется сбалансированным , если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

1. Определение : для всех скаляров удовлетворяющих ;${\displaystyle aS\subseteq S}$${\displaystyle a}$${\displaystyle |a|\leq 1}$
2. ${\displaystyle {\overline {B_{1}}}S\subseteq S,}$где ;${\displaystyle {\overline {B_{1}}}:=\left\{a\in \mathbb {K} :|a|\leq 1\right\}}$
3. ${\displaystyle S={\overline {B_{1}}}S}$; ^[1]
4. Для каждого ;${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle S\cap \mathbb {K} ={\overline {B_{1}}}\left(S\cap \mathbb {K} s\right)}$
   • Если тогда становится вышеупомянутое равенство, которое является в точности предыдущим условием для уравновешивания набора. Таким образом, сбалансировано тогда и только тогда, когда для каждого является сбалансированным набором (согласно любому из предыдущих определяющих условий);${\displaystyle R:=S\cap \mathbb {K} s}$${\displaystyle R={\overline {B_{1}}}R,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {K} s}$
5. Для каждого 1-мерного векторного подпространства в сбалансированный набор ( в соответствии с любым определяющим условием более , чем эта).${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {span} S,}$ ${\displaystyle S\cap Y}$
6. Для каждого существует такой, что или ;${\displaystyle s\in S,}$${\displaystyle 0\leq r\leq \infty }$${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s=B_{r}s}$${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s={\overline {B_{r}}}s}$

Если это выпуклый набор, то этот список можно расширить, включив в него:${\displaystyle S}$

7. ${\displaystyle aS\subseteq S}$для всех скаляров, удовлетворяющих ^[2]${\displaystyle a}$${\displaystyle |a|=1.}$

Если тогда этот список может быть расширен за счет включения:${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$

8. ${\displaystyle S}$является симметричным (значение ) и${\displaystyle -S=S}$${\displaystyle [0,1)S\subseteq S.}$

В уравновешенная оболочка подмножестваизобозначаютсякак определен в любом из следующих эквивалентных способов:${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {bal} S,}$

1. Определение : наименьшее (по отношению к ) сбалансированное подмножество содержащего ;${\displaystyle \operatorname {bal} S}$${\displaystyle \,\subseteq \,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$
2. ${\displaystyle \operatorname {bal} S}$является пересечением всех сбалансированных множеств, содержащих ;${\displaystyle S}$
3. ${\displaystyle \operatorname {bal} S=\bigcup _{|a|\leq 1}(aS)}$;
4. ${\displaystyle \operatorname {bal} S={\overline {B_{1}}}S,}$где ^[1]${\displaystyle {\overline {B_{1}}}:=\left\{a\in \mathbb {K} :|a|\leq 1\right\}.}$

В сбалансированное ядро подмножестваизобозначаютсякак определен в любом из следующих эквивалентных способов:${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {balcore} S,}$

1. Определение : является наибольшим (по отношению ) сбалансированным подмножеством ;${\displaystyle \operatorname {balcore} S}$${\displaystyle \,\subseteq \,}$${\displaystyle S}$
2. ${\displaystyle \operatorname {balcore} S}$является объединением всех сбалансированных подмножеств ;${\displaystyle S}$
3. ${\displaystyle \operatorname {balcore} S=\varnothing }$если пока если${\displaystyle 0\not \in S}$${\displaystyle \operatorname {balcore} S=\bigcap _{|a|\geq 1}(aS)}$${\displaystyle 0\in S.}$

Примеры и достаточные условия [ править ]

Достаточные условия

• Замыкание сбалансированного набора сбалансировано.
• Выпуклая оболочка сбалансированного множества выпуклая и уравновешенная (также известная как абсолютно выпуклое множество).
  • Однако сбалансированная оболочка выпуклого множества может не быть выпуклой.
• Сбалансированная оболочка компактного (соответственно вполне ограниченного , ограниченного) множества компактна (соответственно вполне ограничена, ограничена). ^[3]
• Произвольные объединения уравновешенных множеств являются уравновешенным множеством.
• Произвольные пересечения сбалансированных множеств являются сбалансированным множеством.
• Скалярные кратные сбалансированных множеств сбалансированы.
• Сумма Минковского двух сбалансированных множеств сбалансирована.
• Образ сбалансированного множества при линейном операторе снова является сбалансированным множеством.
• Прообраз сбалансированного множества (в области) под действием линейного оператора снова является сбалансированным набором (в области).
• В любом топологическом векторном пространстве внутренность сбалансированной окрестности начала координат снова сбалансирована.

Примеры

• Если есть какое-либо подмножество, а затем - сбалансированный набор.${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle B_{1}:=\left\{a\in \mathbb {K} :|a|<1\right\}}$${\displaystyle B_{1}S}$
  • В частности, если есть какая-либо уравновешенная окрестность начала координат в TVS, то${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Int} U=B_{1}U=\bigcup _{0<|a|<1}aU\subseteq U.}$
• Если поле вещественных или комплексных чисел и является нормированным пространством с обычной евклидовой нормой, то сбалансированные подмножества в точности следующие: ^[4]${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle X=\mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle X}$
  1. ${\displaystyle \varnothing }$
  2. ${\displaystyle X}$
  3. ${\displaystyle \{0\}}$
  4. ${\displaystyle \left\{x\in X:|x|<r\right\}}$ для некоторых настоящих ${\displaystyle r>0}$
  5. ${\displaystyle \left\{x\in X:|x|\leq r\right\}}$ для некоторых настоящих ${\displaystyle r>0.}$
• Открытый и закрытый шары с центром в 0 в нормированном векторном пространстве являются сбалансированными множествами.
• Любое векторное подпространство действительного или комплексного векторного пространства является сбалансированным множеством.
• Если ( является векторным пространством над ), является ли замкнутый единичный шар с центром в начале координат, отличен от нуля, и тогда множество является замкнутой, симметричной и сбалансированной окрестностью начала координат в Более общем случае, если является любым замкнутым подмножеством из такого , что тогда является замкнутым, симметричны и сбалансированными окрестностей начала координат в этом примере может быть обобщенно для любого целого${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\overline {B_{1}}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle L:=\mathbb {R} x_{0},}$${\displaystyle R:={\overline {B_{1}}}\cup L}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle (0,1)C\subseteq C,}$${\displaystyle S:={\overline {B_{1}}}\cup C\cup (-C)}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n\geq 1.}$
• Декартово произведение семейства множеств сбалансированных уравновешивается в продукте пространстве соответствующих векторных пространств (над тем же полем ).${\displaystyle \mathbb {K} }$
• Рассмотрим поле комплексных чисел как одномерное векторное пространство. Сбалансированные наборы - это сам, пустой набор, а также открытый и закрытый диски с центром в нуле. Напротив, в двумерном евклидовом пространстве есть намного больше сбалансированных множеств: подойдет любой отрезок линии со средней точкой в ​​начале координат. В результате и совершенно разные в том, что касается скалярного умножения .${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• Если - полунорма на линейном пространстве, то для любой константы множество сбалансировано.${\displaystyle p}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle \left\{x\in X:p(x)\leq c\right\}}$
• Позвольте и пусть будет объединение отрезка линии между и и отрезка линии между и Then сбалансировано, но не выпукло или поглощает. Тем не мение,${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (-1,0)}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle (0,-1)}$${\displaystyle (0,1).}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \operatorname {span} B=X.}$
• Пусть и для каждого пусть будет любое положительное действительное число и пусть будет (открытый или закрытый) отрезок прямой между точками и Тогда множество сбалансировано и поглощает, но не обязательно выпукло.${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle 0\leq t\leq \pi ,}$${\displaystyle r_{t}}$${\displaystyle B^{t}}$${\displaystyle (\cos t,\sin t)}$${\displaystyle -(\cos t,\sin t).}$${\displaystyle B=\bigcup _{0\leq t<\pi }r_{t}B^{t}}$
• Уравновешенный корпус закрытого комплекта не нужно закрывать. Возьмем, к примеру, график в${\displaystyle xy=1}$${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}.}$

Свойства [ править ]

Свойства сбалансированных множеств

• Множество абсолютно выпукло тогда и только тогда, когда оно выпукло и уравновешено.
• Если сбалансировано, то для любого скаляра${\displaystyle B}$${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle aB=|a|B.}$
• Если сбалансировано, то для любых скаляров и таких, что${\displaystyle B}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle |a|\leq |b|,}$ ${\displaystyle aB\subseteq bB.}$
• Объединение и интерьер сбалансированного набора сбалансированы.${\displaystyle \{0\}}$
• Если это сбалансированное подмножество , то будет абсорбировать в том и только если для всех существует такое , что ^[2]${\displaystyle B}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle x\in rB.}$
• Если это сбалансированное подмножество , то будет абсорбировать в${\displaystyle B}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \operatorname {span} B.}$
• Сумма Минковского двух сбалансированных множеств сбалансирована.
• Каждый сбалансированный набор симметричен .
• Каждый сбалансированный набор связан по пути .
• Допустим , уравновешен. If - 1-мерное векторное подпространство then } выпукло и сбалансировано. Если - 1-мерное векторное подпространство then } также поглощает в${\displaystyle B}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B\cap Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {span} B}$${\displaystyle B\cap Y}$${\displaystyle Y.}$
• Если является сбалансированным, то для любого является выпуклым сбалансированным множеством, содержащим начало координат. Если является окрестностью в, то является выпуклой уравновешенной окрестностью точки в вещественном векторном подпространстве${\displaystyle B\neq \varnothing }$${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle B\cap \mathbb {R} x}$${\displaystyle B}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B\cap \mathbb {R} x}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {R} x.}$

Свойства сбалансированных корпусов

• ${\displaystyle a\operatorname {bal} S=\operatorname {bal} S}$(как) </ математика> для любого подмножества из и любого скаляра${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle a.}$
• ${\displaystyle \operatorname {bal} \left(\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}S\right)=\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}\operatorname {bal} S}$для любого набора подмножеств${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle X.}$
• В любом топологическом векторном пространстве сбалансированная оболочка любой открытой окрестности начала координат снова открыта.
• Если является хаусдорфовым топологическим векторным пространством и если является компактным подмножеством, то сбалансированная оболочка компактна. ^[5]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle K}$

Сбалансированное ядро

• Сбалансированное ядро ​​замкнутого подмножества замкнуто.
• Сбалансированное ядро поглощающего подмножества является поглощающим.

См. Также [ править ]

• Абсолютно выпуклый набор
• Поглощающий набор  - набор, который можно «надуть», чтобы в конечном итоге всегда включать любую заданную точку в пространстве.
• Ограниченное множество (топологическое векторное пространство)
• Выпуклый набор  - в геометрии набор, который пересекает каждую линию в один линейный сегмент.
• Звездный домен
• Симметричный набор
• Топологическое векторное пространство  - Векторное пространство с понятием близости.

Ссылки [ править ]

• Бурбаки, Николас (1987) [1981]. Sur some espaces vectoriels topologiques [ Топологические векторные пространства: главы 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Перевод Eggleston, HG; Мадан, С. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC  17499190 .
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для выпускников по математике . 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908 .
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Джейкоб Т. (1988). Линейные операторы . Чистая и прикладная математика . 1 . Нью-Йорк: Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-60848-6. OCLC  18412261 .
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
• Кете, Готфрид (1969). Топологические векторные пространства I . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159 . Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Руководство по ремонту  0248498 . OCLC  840293704 .
• Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства. II . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 237 . Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC  180577972 .
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Робертсон, Алекс П .; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . 53 . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250 .
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067 .
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .