Полярный набор

См. Также полярное множество (теория потенциала) .

В функциональном и выпуклом анализе , связанные с ними дисциплины по математике , то полярное множество ° представляет собой специальный набор выпукл , связанный с любым подмножеством А из в векторном пространстве X , лежащем в сопряженном пространстве . Биполярное подмножества является полярой А ° , но лежит в X (не ). ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle Х ^ {\ прайм \ прайм}}$

Определения [ править ]

Есть по крайней мере три конкурирующих определения полярности множества, берущие свое начало в проективной геометрии и выпуклом анализе. ^{[1] [ править ]} В каждом случае определение описывает двойственность между определенными подмножествами спаривания векторных пространств ⟨ X , Y ⟩ над действительными или комплексными числами ( X и Y часто топологическим векторным пространства (TVSS)).

Функционально-аналитическое определение [ править ]

Абсолютная полярность [ править ]

Предположим, что это пара . Полярный или абсолютный полярная подмножества A из X есть множество: ${\ displaystyle \ left \ langle X, Y \ right \ rangle}$

${\ Displaystyle A ^ {\ circ}: = \ left \ {y \ in Y: \ sup _ {a \ in A} \ left | \ left \ langle a, y \ right \ rangle \ right | \ leq 1 \ right \} = \ left \ {y \ in Y: \ sup \ left | \ left \ langle A, y \ right \ rangle \ right | \ leq 1 \ right \}}$

где . ${\ displaystyle \ left | \ left \ langle A, y \ right \ rangle \ right |: = \ left \ {\ left | \ left \ langle a, y \ right \ rangle \ right |: a \ in A \ right \}}$

Это аффинный сдвиг геометрического определения; у него есть полезная характеристика, заключающаяся в том, что функционально-аналитическая поляра единичного шара (в X ) в точности является единичным шаром (в Y ).

Prepolar или абсолютное prepolar подмножества B из Y представляет собой набор:

${\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X:\sup _{b\in B}\left|\left\langle x,b\right\rangle \right|\leq 1\right\}=\left\{x\in X:\sup \left|\left\langle x,B\right\rangle \right|\leq 1\right\}}$

Очень часто prepolar подмножества B из Y также называют полярную или абсолютное полярным из B и обозначается B ° ; на практике такое повторное использование обозначений и слова «полярный» редко вызывает какие-либо проблемы (например, двусмысленность), и многие авторы даже не используют слово «преполярный».

Биполярное подмножества A из X , часто обозначается через А °° , является множеством ; то есть, ${\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)}$

${\displaystyle A^{\circ \circ }:={}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)=\left\{x\in X:\sup _{y\in A^{\circ }}\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|\leq 1\right\}}$.

Настоящий полярный [ править ]

Реальный полярная подмножества A из X есть множество:

${\displaystyle A^{r}:=\left\{y\in Y:\sup _{a\in A}\operatorname {Re} \left\langle a,y\right\rangle \leq 1\right\}}$

а реальный преполяр подмножества B из Y - это множество:

${\displaystyle {}^{r}B:=\left\{x\in X:\sup _{b\in B}\operatorname {Re} \left\langle x,b\right\rangle \leq 1\right\}}$.

Как и в случае с абсолютным преполярным, настоящий преполярный обычно называют настоящей полярной точкой и также обозначают B ^r . ^[2] Важно отметить , что некоторые авторы (например , [Schaefer 1999]) определяют «полярными» , чтобы означать «реальный полярный» (а не «абсолютного полярный», как это делается в этой статье) и использовать обозначение А ° для него (вместо обозначения A ^r , которое используется в этой статье и в [Narici 2011]).

Реальные биполярные подмножества A из X , иногда обозначаемого A ^{R R} , является множеством ; она равна а ( X , Y ) -замыкание из выпуклой оболочки из A ∪ {0 }. ^[2]${\displaystyle {}^{r}\left(A^{r}\right)}$

Для подмножества A из X , ^г выпукла, σ ( Y , X ) -замкнутых, и содержит А ° . ^[2] В общем, вполне возможно , что ° ≠ ^г , но равенство будет иметь место, если будет сбалансирован . Кроме того, ^∘ = , где BAL ( ^г ) обозначает сбалансированный корпус из A ^г . ^[2]${\displaystyle \left(\operatorname {bal} \left(A^{r}\right)\right)}$

Конкурирующие определения [ править ]

Определение «полярного» множества не является общепринятым. Хотя в этой статье «полярный» определен как «абсолютный полярный», некоторые авторы определяют «полярный» как «настоящий полярный», а другие авторы используют еще другие определения. Независимо от того, как автор определяет «полярный», обозначение A ° почти всегда представляет их выбор определения (поэтому значение обозначения A ° может варьироваться от источника к источнику). В частности, полярность A иногда определяется как:

${\displaystyle A^{|r|}:=\left\{y\in Y:\sup _{a\in A}\left|\operatorname {Re} \left\langle a,y\right\rangle \right|\leq 1\right\}}$

где обозначение A ^{| г |} это не стандартное обозначение.

Теперь мы кратко обсудим, как эти различные определения соотносятся друг с другом и когда они эквивалентны.

У нас всегда есть A ° ⊆ A ^{| г |} ⊆ ^г и если ⟨•, •⟩ вещественнозначна (или , что эквивалентно, если Х и Y представляют собой векторные пространства над ℝ ) , то ° = ^{| г |} .

Если является симметричным (то есть - = или , что эквивалентно, - ⊆ ) , то ^{| г |} = A ^r где, если вдобавок ⟨•, • вещественнозначно, то A ° = A ^{| г |} = А ^р .

Если X и Y являются векторными пространствами над ℂ (так что ⟨•, •⟩ является комплекснозначными) , и если мкА ⊆ (где отмечают , что это означает , - = и мкА = ), то

A ° ⊆ A ^{| г |} = A ^r ⊆ (1/√ 2 А ) °

где если дополнительно A ⊆ A для всех действительных r, то A ^∘ = A ^r . ^[2]${\displaystyle e^{ir}}$

Таким образом , для всех этих определений полярного множества А для согласования, достаточно , чтобы să ⊆ для всех скаляров S из единичной длины ^{[NB 1]} (где это эквивалентно să = А для всех единицы длиной скалярной ы ). В частности, все определения полярности A согласуются, когда A является сбалансированным множеством (что часто, но не всегда так), поэтому часто, какое из этих конкурирующих определений используется, не имеет значения. Однако эти различия в определениях «полярного» множества Aиногда вносят тонкие или важные технические различия, когда А не обязательно сбалансировано.

Специализация на канонической двойственности [ править ]

Предположим, что X - топологическое векторное пространство (TVS) с непрерывным сопряженным пространством . Мы рассматриваем важный частный случай, когда Y  : = и скобки представляют каноническое отображение (т.е. ). Таково каноническое спаривание . ${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}$${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$

Поляра подмножества A ⊆ X :

${\displaystyle A^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|\leq 1\right\}=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup \left|x^{\prime }(A)\right|\leq 1\right\}}$

Если A удовлетворяет sA ⊆ A для всех скаляров s единичной длины, то можно заменить знаки абсолютного значения на (оператор действительной части) так, чтобы: ${\displaystyle \operatorname {Re} }$

${\displaystyle A^{\circ }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{a\in A}\operatorname {Re} x^{\prime }(a)\leq 1\right\}=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup \operatorname {Re} x^{\prime }(A)\leq 1\right\}}$.

Prepolar подмножества B из IS:${\displaystyle Y=X^{\prime }}$

${\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X:\sup _{b^{\prime }\in B}\left|b^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}=\left\{x\in X:\sup \left|B(x)\right|\leq 1\right\}}$

Если B удовлетворяет sB ⊆ B для всех скаляров s единичной длины, то можно заменить знаки абсолютного значения на так, чтобы: ${\displaystyle \operatorname {Re} }$

${\displaystyle {}^{\circ }B=\left\{x\in X:\sup _{b^{\prime }\in B}\operatorname {Re} b^{\prime }(x)\leq 1\right\}=\left\{x\in X:\sup \operatorname {Re} B(x)\leq 1\right\}}$

где B ( x ): = . ${\displaystyle \left\{b^{\prime }(x):b^{\prime }\in B\right\}}$

Биполярная теорема характеризует биполярное подмножество топологического векторного пространства.

Если X - нормированное пространство, а S - открытый или замкнутый единичный шар в X (или даже любое подмножество замкнутого единичного шара, которое содержит открытый единичный шар), то S ^∘ - замкнутый единичный шар в непрерывном двойственном пространстве, когда наделено с его канонической двойственной нормой .${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$

Геометрическое определение конусов [ править ]

Полярный конус выпуклого конуса A ⊆ X есть множество

${\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}\langle x,y\rangle \leq 0\right\}}$

Это определение дает двойственность точек и гиперплоскостей, записывая последнюю как пересечение двух противоположно ориентированных полупространств. Полярная гиперплоскость точки x ∈ X - геометрическое место ; двойное отношение для Гиперплоскости доходности , что полярных точки гиперплоскости в. ^{[3] [ необходима ссылка ]}${\displaystyle \{y:\langle y,x\rangle =0\}}$

Некоторые авторы (что сбивает с толку) называют дуальный конус полярным конусом; мы не будем следовать этому соглашению в этой статье. ^[4]

Свойства [ править ]

Если не указано иначе, мы в дальнейшем будем предполагать , что ⟨ X , Y ⟩ является спаривание . Заметим , что σ ( Y , X ) является слабейший- * топология на Y , а σ ( X , Y ) является слабая топология на X . Для любого множества A }, ^г обозначает реальную поляру А и ° обозначает абсолютную поляру A . Под «полярным» мы подразумеваем абсолютный полярный.

• (Абсолютная) полярность множества выпуклая и сбалансированная . ^[5]
• Действительная полярность A ^r подмножества A множества X является выпуклой, но не обязательно сбалансированной; A ^r будет сбалансировано, если A сбалансировано. ^[6]
• Если sA ⊆ A для всех скаляров s единичной длины, то A ° = A ^r .
• ° будет закрыт в Y при слабом - * - топологии на Y . ^[3]
• Подмножество S из X слабо ограничено (т.е. σ ( X , Y ) -ограничен) тогда и только тогда , когда S ° является поглощающей в Y . ^[2]
• Для двойственной пары ( X , X « ) , где Х представляет собой ТВС и Х » является его непрерывным сопряженным пространством, если B ⊆ X ограничено , то Б ° будет абсорбировать в X ' . ^[5] Если X локально выпукло и Б ° поглощает в X ' , то Б ограничена в X . Более того, подмножество S в X слабо ограничено тогда и только тогда, когда S °это поглощает в X ' .
• Биполярное °° из множества A является σ ( X , Y ) - замкнутая выпуклая оболочка из A ∪ {0 }, то есть наименьшее σ ( X , Y ) -замкнутых и выпуклое множество , содержащее как A и 0.
  • Аналогичным образом , бидуальный конус конуса A является σ ( X , Y ) -замкнутого конический корпус из A . ^[7]
• Если ℬ - база в начале координат ТВП X , то X  ' =∪B ∈ ℬ B ° . ^[8]
• Если Х является локально выпуклыми ТВС затем поляры (берутся по ) любым базовым формам 0-окрестностей фундаментального семейства эквинепрерывных подмножеств X ' (т.е. при любом ограниченное подмножество Н из , существует окрестность S , равные 0 в X такое, что H ⊆ S ° ). ^[6]${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$
  • И наоборот, если Х является локально выпуклые ТВС затем поляры (берется по ⟨ X , X ^# ⟩ ) любого фундаментального семейства эквинепрерывных подмножеств X ' образуют базу окрестностей нуля в X . ^[6]
• Пусть X - ТВП с топологией 𝜏 . Тогда τ локально выпуклая топология TVS тогда и только тогда , когда τ является топологией равномерной сходимости на эквинепрерывных подмножеств X ' . ^[6] Последние два результата объясняют, почему равностепенно непрерывные подмножества непрерывного двойственного пространства играют такую ​​важную роль в современной теории функционального анализа: потому что равностепенные подмножества инкапсулируют всю информацию об исходной топологии локально выпуклого пространства X.

Установить отношения

• ∅ ° = ∅ ^{| г |} = ∅ ^r = X и X ° = X ^{| г |} = X ^r = {0   }. ^[6]
• Для всех скаляров s ≠ 0 , ( sA ) ° =1/s( °) и для всех вещественных т ≠ 0 ,   ( TĀ ) ^{| г |} знак равно1/т( A ^{| r |} ) и ( tA ) ^r =1/т( ^Г ) .
• А °°° = А ° . Однако для реальной поляры A ^{r rr} ⊆ A ^r . ^[6]
• Для любого конечного набора множеств A ₁ , ..., A _n ,

  ( A ₁ ) ∩ ··· ∩ A _n ) ° = ( A ₁ °) ∪ ··· ∪ ( A _n °) .

• Если A ⊆ B, то B ° ⊆ A ° , B ^r ⊆ B ^r и B ^{| г |} ⊆ B ^{| г |} .
  • Непосредственным следствием является то, что ; равенство обязательно выполняется, когда I конечно, и может не выполняться, если I бесконечно.${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\left(A_{i}^{\circ }\right)\subseteq \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)^{\circ }}$
• ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}\left(A_{i}^{\circ }\right)=\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{\circ }}$и .${\displaystyle \bigcap _{i\in I}\left(A_{i}^{r}\right)=\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{r}}$
• Если С является конусом в X , то С ° = { у ∈ Y  : ⟨ с , у ⟩ = 0 для всех C ∈ C   }. ^[5]
• Если - семейство 𝜎 ( X , Y ) -замкнутых подмножеств X, содержащее 0 ∈ X , то вещественная поляра является замкнутой выпуклой оболочкой . ^[6]${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle \cap _{i\in I}S_{i}}$${\displaystyle \cup _{i\in I}\left(S_{i}^{r}\right)}$
• Если 0 ∈ A ∩ B,  то   A ° ∩ B ° ⊆ 2 [( A + B ) °] ⊆ 2 ( A ° ∩ B °) . ^[9]
• Для замкнутого выпуклого конуса С в реальном векторном пространстве X , то полярный конус является полярой C ; то есть,

  С ° = { у ∈ Y  : SUP ⟨ С , у ⟩ & le ; 0  },

  то есть, С ° = { у ∈ Y  : вир {⟨ с , у ⟩: C ∈ C } ≤ 0 }. ^[1]

См. Также [ править ]

• Биполярная теорема  - теорема в выпуклом анализе
• Полярный конус
• Полярная топология  - топология двойного пространства с равномерной сходимостью на некотором поднаборе ограниченных подмножеств
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Топологическое векторное пространство  - Векторное пространство с понятием близости.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
• Кете, Готфрид (1969). Топологические векторные пространства I . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159 . Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Руководство по ремонту  0248498 . OCLC  840293704 .
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Робертсон, Алекс П .; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . 53 . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250 .
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .