В математике , в области классической теории потенциала , полярные множества - это «пренебрежимо малые множества», подобно тому, как множества нулевой меры являются пренебрежимо малыми множествами в теории меры .
Определение
Множество в (где ) является полярным множеством, если существует непостоянная субгармоническая функция
- на
такой, что
Обратите внимание, что существуют другие (эквивалентные) способы определения полярных множеств, например, путем замены «субгармоники» на «супергармоники» и от в определении выше.
Характеристики
Наиболее важные свойства полярных наборов:
- Синглтон установлен в полярный.
- Счетный набор в полярный.
- Объединение счетного набора полярных множеств полярно.
- Полярное множество имеет нулевую меру Лебега в
Почти везде
Свойство выполняется почти всюду в множестве S, если оно выполняется на S - E, где E - борелевское полярное множество. Если P выполняется почти везде, то оно выполняется почти везде . [1]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Рансфорд (1995) стр.56
- Дуб, Джозеф Л. (1984). Классическая теория потенциала и ее вероятностный аналог . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 262 . Берлин Гейдельберг Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 3-540-41206-9. Zbl 0549.31001 .
- Хелмс, LL (1975). Введение в теорию потенциала . RE Krieger. ISBN 0-88275-224-3.
- Рэнсфорд, Томас (1995). Теория потенциала в комплексной плоскости . Тексты студентов Лондонского математического общества. 28 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-46654-7. Zbl 0828.31001 .