Субгармоническая функция

В математике , субгармоническими и супергармонические функции важные классы функций широко используются в дифференциальных уравнений в частных , комплексного анализа и теории потенциала .

Интуитивно субгармонические функции связаны с выпуклыми функциями одной переменной следующим образом. Если график выпуклой функции и линия пересекаются в двух точках, то график выпуклой функции находится ниже линии между этими точками. Таким же образом, если значения субгармонического функции не являются больше , чем значения гармонической функции на границе с с мячом , то значениями субгармонического функции не являются больше , чем значения гармонической функции также внутри шара .

Супергармонические функции можно определить с помощью того же описания, только заменив «не больше» на «не меньше». В качестве альтернативы, супергармоническая функция - это просто отрицательная функция субгармонической функции, и по этой причине любое свойство субгармонических функций может быть легко перенесено на супергармонические функции.

Формальное определение [ править ]

Формально определение можно сформулировать следующим образом. Позвольте быть подмножеством евклидова пространства и пусть${\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {п}}$

${\displaystyle \varphi \colon G\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}}$

- полунепрерывная сверху функция . Тогда, называется субгармонична , если для любого замкнутого шара центра и радиуса , содержащиеся в и каждый реальный значной непрерывная функция на том , что является гармонической в и удовлетворяет всем на границе из нас есть для всех ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\overline {B(x,r)}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle r}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle h}$${\displaystyle {\overline {B(x,r)}}}$${\displaystyle B(x,r)}$${\displaystyle \varphi (y)\leq h(y)}$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \partial B(x,r)}$${\displaystyle B(x,r)}$${\displaystyle \varphi (y)\leq h(y)}$${\displaystyle y\in B(x,r).}$

Обратите внимание, что согласно вышесказанному, функция, которая тождественно −∞ является субгармонической, но некоторые авторы исключают эту функцию по определению.

Функция называется супергармонической, если она субгармоническая.${\displaystyle u}$${\displaystyle -u}$

Свойства [ править ]

• Функция является гармонической тогда и только тогда, когда она одновременно субгармоническая и супергармоническая.
• Если это С ² ( дважды непрерывно дифференцируемых ) на открытом множестве в , то субгармонична тогда и только тогда , когда один имеет на , где это лапласиан .${\displaystyle \phi \,}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$${\displaystyle \phi \,}$${\displaystyle \Delta \phi \geq 0}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Delta }$
• Максимум субгармонической функции не может быть достигнут в интерьере своей области , если функция не является постоянной, это так называемым принцип максимума . Однако минимум субгармонической функции может быть достигнут внутри ее области.
• Субгармонические функции образуют выпуклый конус , т. Е. Линейная комбинация субгармонических функций с положительными коэффициентами также является субгармонической.
• Поточечный максимум двух субгармонических функций субгармоничен.
• Предел убывающей последовательности субгармонических функций субгармоничен (или тождественно равен ).${\displaystyle -\infty }$
• Субгармонические функции не обязательно непрерывны в обычной топологии, однако можно ввести тонкую топологию, которая делает их непрерывными.

Примеры [ править ]

Если есть аналитическая то субгармонично. Можно построить больше примеров, используя перечисленные выше свойства, выбирая максимумы, выпуклые комбинации и пределы. В размерности 1 все субгармонические функции могут быть получены таким образом.${\displaystyle f}$${\displaystyle \log |f|}$

Теорема о представлении Рисса [ править ]

Если является субгармоническим в области , в евклидовом пространстве размерности , является гармоническим в , и , то называется гармонической мажорантой . Если существует гармоническая мажоранта, то существует наименьшая гармоническая мажоранта и${\displaystyle u}$${\displaystyle D}$${\displaystyle n}$${\displaystyle v}$${\displaystyle D}$${\displaystyle u\leq v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle u(x)=v(x)-\int _{D}{\frac {d\mu (y)}{|x-y|^{n-2}}},\quad n\geq 3}$

в то время как в измерении 2,

${\displaystyle u(x)=v(x)+\int _{D}\log |x-y|d\mu (y),}$

где - наименьшая гармоническая мажоранта, а - борелевская мера в . Это называется теоремой Рисса о представлении.${\displaystyle v}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle D}$

Субгармонические функции в комплексной плоскости [ править ]

Субгармонические функции имеют особое значение в комплексном анализе , где они тесно связаны с голоморфными функциями .

Можно показать , что вещественная непрерывная функция комплексного переменного (то есть, из двух действительных переменных) , определенной на множестве субгармонично тогда и только тогда , когда для любого замкнутого круга от центра и радиус один имеет${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$${\displaystyle D(z,r)\subset G}$${\displaystyle z}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle \varphi (z)\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\varphi (z+re^{i\theta })\,d\theta .}$

Интуитивно это означает, что субгармоническая функция в любой точке не превышает среднего значения в круге вокруг этой точки, и этот факт можно использовать для вывода принципа максимума .

Если - голоморфная функция, то ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \varphi (z)=\log \left|f(z)\right|}$

является субгармонической функцией, если мы определим значение в нулях функции равным −∞. Следует, что${\displaystyle \varphi (z)}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \psi _{\alpha }(z)=\left|f(z)\right|^{\alpha }}$

субгармоничен для любого α  > 0. Это наблюдение играет роль в теории пространств Харди , особенно для изучения H ^p, когда 0 < p  <1.

В контексте комплексной плоскости связь с выпуклыми функциями также может быть реализована благодаря тому факту, что субгармоническая функция в области, которая постоянна в мнимом направлении, является выпуклой в действительном направлении и наоборот.${\displaystyle f}$${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$

Гармонические мажоранты субгармонических функций [ править ]

Если субгармонична в области комплексной плоскости, и является гармонической на , то есть гармоническая мажоранта из в случае ≤ в . Такое неравенство можно рассматривать как условие роста . ^[1]${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle h}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle h}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle u}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle u}$

Субгармонические функции в единичном диске. Радиальная максимальная функция [ править ]

Пусть φ субгармонична, непрерывна и неотрицательна в открытом подмножестве Ω комплексной плоскости, содержащем замкнутый единичный круг D (0, 1). Радиальная функция максимальны для функции ф (ограничиваются единичным кругом) определяются на единичной окружности по

${\displaystyle (M\varphi )(e^{i\theta })=\sup _{0\leq r<1}\varphi (re^{i\theta }).}$

Если P _r обозначает ядро Пуассона , то из субгармоничности следует, что

${\displaystyle 0\leq \varphi (re^{i\theta })\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r}\left(\theta -t\right)\varphi \left(e^{it}\right)\,\mathrm {d} t,\ \ \ r<1.}$

Можно показать , что последний интеграл меньше , чем значение при е  ^{я θ} из Харди-Литтлвуда функции максимальной ф ^* сужения ф на единичной окружности Т ,

${\displaystyle \varphi ^{*}(e^{i\theta })=\sup _{0<\alpha \leq \pi }{\frac {1}{2\alpha }}\int _{\theta -\alpha }^{\theta +\alpha }\varphi \left(e^{it}\right)\,\mathrm {d} t,}$

так что 0 ≤ M  φ  ≤ φ ^∗ . Известно, что оператор Харди – Литтлвуда ограничен на L p ( T ), когда 1 < p  <∞. Отсюда следует , что для некоторой универсальной константы С ,

${\displaystyle \|M\varphi \|_{L^{2}(\mathbf {T} )}^{2}\leq C^{2}\,\int _{0}^{2\pi }\varphi (e^{i\theta })^{2}\,\mathrm {d} \theta .}$

Если f - функция, голоморфная в Ω и 0 < p  <∞, то предыдущее неравенство применяется к φ  = | f  | ^{п / 2} . Из этих фактов можно вывести, что любая функция F в классическом пространстве Харди H ^p удовлетворяет 

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\Bigl (}\sup _{0\leq r<1}|F(re^{i\theta })|{\Bigr )}^{p}\,\mathrm {d} \theta \leq C^{2}\,\sup _{0\leq r<1}\int _{0}^{2\pi }|F(re^{i\theta })|^{p}\,\mathrm {d} \theta .}$

После дополнительных работ можно показать, что F имеет радиальные пределы F (e  ^{i θ} ) почти всюду на единичной окружности и (по теореме о доминируемой сходимости ), что F _r , определяемый формулой F _r (e  ^{i θ} ) = F ( r  e  ^{i θ} ) стремится к F в L ^p ( T ).

Субгармонические функции на римановых многообразиях [ править ]

Субгармонические функции можно определить на произвольном римановом многообразии .

Определение: Пусть M риманово многообразие и полунепрерывно сверху функция. Предположу , что для любого открытого подмножества , и любая гармоническая функция F ₁ на U , такая , что на границе U , выполняется неравенство имеет место на всех U . Тогда f называется субгармонической .${\displaystyle f:\;M\to {\mathbb {R} }}$${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle f_{1}\geq f}$${\displaystyle f_{1}\geq f}$

Это определение эквивалентно приведенному выше. Также для дважды дифференцируемых функций субгармоничность эквивалентна неравенству , где - обычный лапласиан . ^[2]${\displaystyle \Delta f\geq 0}$${\displaystyle \Delta }$

См. Также [ править ]

• Плюрисубгармоническая функция - обобщение на несколько комплексных переменных
• Классическая тонкая топология

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Конвей, Джон Б. (1978). Функции одной комплексной переменной . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3.
• Кранц, Стивен Г. (1992). Теория функций нескольких комплексных переменных . Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Publishing. ISBN 0-8218-2724-3.
• Дуб, Джозеф Лео (1984). Классическая теория потенциала и ее вероятностный аналог . Берлин Гейдельберг Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 3-540-41206-9.

• Розенблюм, Марвин; Ровняк, Джеймс (1994). Темы в классах Харди и однолистных функциях . Birkhauser Advanced Texts: Базельские учебники. Базель: Birkhauser Verlag.

Эта статья включает в себя материал из функций субгармоники и супергармоники на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .