Полунепрерывность

В математическом анализе , Полунепрерывность (или Полунепрерывность ) является свойством расширенных реальных -значных функций , которые слабее , чем непрерывности . Расширенная вещественнозначная функция является полунепрерывной сверху (соответственно нижней ) полунепрерывной в точке, если, грубо говоря, значения функции для аргументов near не намного больше (соответственно ниже), чем${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle f \ left (x_ {0} \ right).}$

Функция является непрерывной тогда и только тогда, когда она полунепрерывна как сверху, так и снизу. Если мы возьмем непрерывную функцию и увеличим ее значение в определенной точке до (для некоторой положительной константы ), то результат будет полунепрерывным сверху; если мы уменьшим его значение до, то результат будет полунепрерывным снизу.${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle f \ left (x_ {0} \ right) + c}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle f \ left (x_ {0} \ right) -c}$

Формальное определение [ править ]

Предположим, что это топологическое пространство , является точкой в и является расширенной вещественной функцией.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, \ infty \}}$

Функция называется верхним полунепрерывным на , если для любого существует окрестность из таких , что для всех , когда и стремится , как правило , в стороне , когда${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle f (x) \ leq f \ left (x_ {0} \ right) + \ epsilon}$${\ Displaystyle х \ в U}$${\ displaystyle f \ left (x_ {0} \ right)> - \ infty,}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle - \ infty}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle f \ left (x_ {0} \ right) = - \ infty.}$

Для частного случая метрического пространства это можно выразить как

${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f\left(x_{0}\right)}$

где lim sup - верхний предел (функции в точке ). (Для неметрических пространств может быть дано эквивалентное определение с использованием сетей .)${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$

Функция называется полунепрерывной сверху, если она полунепрерывна сверху в каждой точке своей области определения . ${\displaystyle f}$

Функция называется полунепрерывным снизу на , если для каждого существует окрестность из таких , что для всех в когда , и имеет тенденцию к , как правило , в стороне , когда .${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f(x)\geq f\left(x_{0}\right)-\epsilon }$${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right)<+\infty }$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=+\infty }$

Точно так же в случае метрического пространства это можно выразить как

${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f\left(x_{0}\right)}$

где - нижний предел функции в точке${\displaystyle \liminf }$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}.}$

Функция называется полунепрерывной снизу, если она полунепрерывна снизу в каждой точке своей области определения. ^[1]${\displaystyle f}$

Характеристики [ править ]

Функция является полунепрерывной сверху (соответственно полунепрерывной снизу) тогда и только тогда, когда (соответственно ) является открытым множеством для каждого. В качестве альтернативы функция является полунепрерывной снизу тогда и только тогда, когда все ее множества нижнего уровня (также называемые подуровнями или траншеями ) закрыты . Функция полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда она полунепрерывна сверху. ^[2]${\displaystyle \{x\in X:f(x)<y\}}$${\displaystyle \{x\in X:f(x)>y\}}$${\displaystyle y\in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq y\}}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle -f}$

Функция полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда ее надграфик (множество точек, лежащих на ее графике или выше ) замкнут . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

Функция из некоторого топологического пространства полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда она непрерывна относительно топологии Скотта на${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Потому что является подосновой евклидовой топологии функции непрерывно тогда и только тогда, когда и открыты для всех. Эту характеристику можно рассматривать как мотивирующую определения полунепрерывности сверху и снизу. ^[2] Более того, функция непрерывна в том и только в том случае, если она полунепрерывна сверху и снизу. ^[2] Следовательно, полунепрерывность может использоваться для доказательства непрерывности.${\displaystyle \{(-\infty ,r):r\in \mathbb {R} \}\cup \{(r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f^{-1}((-\infty ,r))}$${\displaystyle f^{-1}((r,\infty ))}$${\displaystyle r\in \mathbb {R} .}$${\displaystyle x_{0}}$

Примеры [ править ]

Полунепрерывная сверху функция. Сплошная синяя точка указывает${\displaystyle f\left(x_{0}\right).}$

Рассмотрим функцию, кусочно определенную:${\displaystyle f,}$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}x<0,\\1&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}}$

Эта функция является полунепрерывной сверху, но не полунепрерывной снизу.${\displaystyle x_{0}=0,}$

Полунепрерывная снизу функция. Сплошная синяя точка указывает${\displaystyle f\left(x_{0}\right).}$

Индикаторная функция из замкнутого множества является полунепрерывно сверху, тогда как функция индикатора открытого множества ниже полунепрерывная. Функция пола , которая возвращает наибольшее целое число, меньшее или равное заданному действительному числу , везде полунепрерывна сверху. Точно так же функция потолка является полунепрерывной снизу.${\displaystyle f(x)=\lfloor x\rfloor }$${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f(x)=\lceil x\rceil }$

Функция может быть полунепрерывной сверху или снизу, но не непрерывной слева или справа . Например, функция

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&{\mbox{if }}x<1,\\2&{\mbox{if }}x=1,\\1/2&{\mbox{if }}x>1,\end{cases}}}$

является полунепрерывным сверху в точке , так как его значение там выше, чем значение в его окрестности. Однако он не является непрерывным ни слева, ни справа: предел слева равен 1, а предел справа равен 1/2, оба из которых отличаются от значения функции 2. Если изменяется, например, путем установки то полунепрерывно снизу${\displaystyle x=1,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(1)=0}$

Аналогично функция

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin(1/x)&{\mbox{if }}x\neq 0,\\1&{\mbox{if }}x=0,\end{cases}}}$

является полунепрерывным сверху в точке, в то время как пределы функции слева или справа в нуле даже не существуют.${\displaystyle x=0}$

Если это евклидово пространство (или, в более общем смысле, метрическое пространство) и это пространство кривых в (с расстоянием супремума, то функционал длины, который присваивает каждой кривой ее длину, полунепрерывен снизу.${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \Gamma =C([0,1],X)}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d_{\Gamma }(\alpha ,\beta )=\sup _{t}\ d_{X}(\alpha (t),\beta (t)),}$${\displaystyle L:\Gamma \to [0,+\infty ],}$${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L(\alpha ),}$

Индикаторная функция любого открытого множества снизу. Индикаторная функция замкнутого множества полунепрерывна сверху. Однако в выпуклом анализе термин «индикаторная функция» часто относится к характеристической функции , и характеристическая функция любого замкнутого набора является полунепрерывной снизу, а характеристическая функция любого открытого набора полунепрерывна сверху.

Позвольте быть пространством меры и обозначить множество положительно измеримых функций, наделенных топологией сходимости по мере относительно . Тогда по лемме Фату интеграл, рассматриваемый как оператор из в, полунепрерывен снизу.${\displaystyle (X,\mu )}$${\displaystyle L^{+}(X,\mu )}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle L^{+}(X,\mu )}$${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$

Достаточные условия [ править ]

Если и - две действительные функции, которые являются полунепрерывными сверху в точке, то так и есть. Если обе функции неотрицательны, то функция произведения также будет полунепрерывной сверху в точке. То же самое верно и для функций, полунепрерывных снизу в точке ^{[ 3]}${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x_{0},}$${\displaystyle f+g.}$${\displaystyle fg}$${\displaystyle x_{0}.}$${\displaystyle x_{0}.}$

Состав верхних пола-непрерывных функций и не обязательно полунепрерывен сверху, но если также не убывает, а затем сверху полунепрерывный. ^[4]${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\circ g}$

Умножение положительной полунепрерывной сверху функции на отрицательное число превращает ее в полунепрерывную снизу функцию.

Предположим, что это полунепрерывная снизу функция для каждого индекса в непустом множестве и определяется как поточечный супремум ; это,${\displaystyle f_{i}:X\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle i}$${\displaystyle I,}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)=\sup _{i\in I}f_{i}(x)}$ для каждого ${\displaystyle x\in X.}$

Тогда полунепрерывно снизу. ^{[5] [2]} Даже если все непрерывны, они не обязательно должны быть непрерывными; действительно, каждая полунепрерывная снизу функция на однородном пространстве (например, метрическом пространстве ) возникает как верхняя грань последовательности непрерывных функций. Точно так же поточечная нижняя грань произвольного набора полунепрерывных сверху функций полунепрерывна сверху.${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f}$

Предположим, что есть неотрицательные полунепрерывные снизу функции, индексированные такими, что для каждого Then является полунепрерывным снизу. ^[2] Если к тому же каждое непрерывно, то обязательно непрерывно. ^[2]${\displaystyle f_{i}:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle i\in I\neq \varnothing }$${\displaystyle g(x):=\sum _{i\in I}f_{i}(x):=\sup \left\{\sum _{i\in F}f_{i}(x)~:~F\subseteq I{\text{ is finite }}\right\}<\infty }$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle g:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle g}$

Максимум и минимум конечного числа полунепрерывных сверху функций полунепрерывны сверху, то же самое верно и для полунепрерывных снизу функций.

Свойства [ править ]

Если это компактное пространство (например , замкнутое , ограниченное интервальной ) и сверху полунепрерывного, то есть максимум на аналогичное утверждение для (- ] -значная полунепрерывного снизу функции и минимумы также верно (Смотрите статью. по теореме о крайнем значении для доказательства.)${\displaystyle C}$ ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f:C\to [-\infty ,\infty )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C.}$${\displaystyle \infty ,\infty }$

Любое полунепрерывны сверху на произвольном топологическом пространстве локально постоянен на некоторое плотное открытом подмножестве из${\displaystyle f:X\to \mathbb {N} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

См. Также [ править ]

• Непрерывная функция  - математическая функция без резких изменений значения
• Направленная непрерывность
• Полунепрерывная многозначная функция

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Бенесова, Б .; Крузик, М. (2017). «Слабая полунепрерывность снизу интегральных функционалов и приложения». SIAM Обзор . 59 (4): 703–766. arXiv : 1601.00390 . DOI : 10.1137 / 16M1060947 .
• Бурбаки, Николас (1998). Элементы математики: общая топология, 1–4 . Springer. ISBN 0-201-00636-7.
• Бурбаки, Николас (1998). Элементы математики: общая топология, 5–10 . Springer. ISBN 3-540-64563-2.
• Gelbaum, Bernard R .; Олмстед, Джон MH (2003). Контрпримеры в анализе . Dover Publications. ISBN 0-486-42875-3.
• Хайерс, Дональд Х .; Исак, Джордж; Рассиас, Фемистокл М. (1997). Темы нелинейного анализа и приложений . World Scientific. ISBN 981-02-2534-2.