Выпуклый анализ

Трехмерный выпуклый многогранник. Выпуклый анализ включает не только изучение выпуклых подмножеств евклидовых пространств, но и изучение выпуклых функций на абстрактных пространствах.

Выпуклый анализ - это раздел математики, посвященный изучению свойств выпуклых функций и выпуклых множеств , часто с приложениями в выпуклой минимизации , подобласти теории оптимизации .

Выпуклые множества [ править ]

Подмножество некоторого векторного пространства называется выпуклым, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:${\ Displaystyle C \ substeq X}$ ${\ displaystyle X}$

1. Если реально, а затем ^[1]${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$${\displaystyle x,y\in C}$${\displaystyle rx+(1-r)y\in C.}$
2. Если реально и с то${\displaystyle 0<r<1}$${\displaystyle x,y\in C}$${\displaystyle x\neq y,}$${\displaystyle rx+(1-r)y\in C.}$
3. ${\displaystyle (r+s)C=rC+sC}$для всех положительных вещественных и ^[2]${\displaystyle r>0}$${\displaystyle s>0.}$

Выпуклые функции [ править ]

Выпуклая функция на отрезке.

На всем протяжении будет карта, оцениваемая в расширенных действительных числах, с областью, которая является выпуклым подмножеством некоторого векторного пространства. Карта является выпуклой функцией, если ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ ${\displaystyle \operatorname {domain} f=X}$${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$

${\displaystyle f(rx+(1-r)y)\leq rf(x)+(1-r)f(y)}$

( Выпуклость ≤ )

выполняется для любого действительного числа и любого с Если это остается верным, когда определяющее неравенство ( Выпуклость ≤ ) заменяется строгим неравенством ${\displaystyle 0<r<1}$${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle x\neq y.}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(rx+(1-r)y)<rf(x)+(1-r)f(y)}$

( Выпуклость < )

тогда называется строго выпуклой . ^[1]${\displaystyle f}$

Выпуклые функции связаны с выпуклыми множествами. В частности, функция является выпуклой тогда и только тогда, когда ее надграфик${\displaystyle f}$

Функция (черным цветом) является выпуклой тогда и только тогда, когда ее надграфик, который является областью над ее графиком (зеленым цветом), является выпуклым множеством .

График двумерной выпуклой функции${\displaystyle x^{2}+xy+y^{2}.}$

${\displaystyle \operatorname {epi} f:=\left\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~f(x)\leq r\right\}}$

( Определение эпиграфа )

- выпуклое множество. ^[3] Эпиграфы расширенных действительных функций играют роль в выпуклом анализе, аналогичную роли, которую играют графики вещественнозначных функций в реальном анализе . В частности, эпиграф расширенной функции с действительными значениями обеспечивает геометрическую интуицию, которую можно использовать для формулирования или доказательства гипотез.

Область определения функции обозначается, а ее эффективная область определения - множество ^[3]${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle \operatorname {domain} f}$

${\displaystyle \operatorname {dom} f:=\{x\in X~:~f(x)<\infty \}.}$

( dom f def. )

Функция называется собственно , если и для всех ^[3] С другой стороны , это означает , что существует какой - то в области , в которой и также никогда не равняться В словами, функция собственно , если его область не пуста, она никогда не берет на себя значение, и оно также не тождественно равно Если - правильная выпуклая функция, то существует некоторый вектор и такой, что ${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle \operatorname {dom} f\neq \varnothing }$${\displaystyle f(x)>-\infty }$ ${\displaystyle x\in \operatorname {domain} f.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle -\infty .}$${\displaystyle -\infty ,}$${\displaystyle +\infty .}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)\geq x\cdot b-r}$     для каждого ${\displaystyle x}$

где обозначает скалярное произведение этих векторов.${\displaystyle x\cdot b}$

Выпуклый конъюгат [ править ]

Выпуклая сопряженная расширенной вещественной функции (не обязательно выпуклая) является функцией от (непрерывной) двойного пространства от и ^[4]${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle f^{*}:X^{*}\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X,}$

${\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right)=\sup _{z\in X}\left\{\left\langle x^{*},z\right\rangle -f(z)\right\}}$

где скобки обозначают каноническую двойственность бисопряженным из является карта определяется для каждого If обозначает множество значных функций на том отображении определенного называются преобразованием Лежандр-Фенхель . ${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle x^{*},z\right\rangle :=x^{*}(z).}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{**}=\left(f^{*}\right)^{*}:X\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle f^{**}(x):=\sup _{z^{*}\in X^{*}}\left\{\left\langle x,z^{*}\right\rangle -f\left(z^{*}\right)\right\}}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle \operatorname {Func} (X;Y)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {Func} (X;[-\infty ,\infty ])\to \operatorname {Func} \left(X^{*};[-\infty ,\infty ]\right)}$${\displaystyle f\mapsto f^{*}}$

Субдифференциальный набор [ править ]

Если и тогда Субдифференциал набор является${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\partial f(x):&=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~f(z)\geq f(x)+\left\langle x^{*},z-x\right\rangle {\text{ for all }}z\in X\right\}&&({\text{“}}z\in X{\text{''}}{\text{ can be replaced with: }}{\text{“}}z\in X{\text{ such that }}z\neq x{\text{''}})\\&=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)\geq \left\langle x^{*},z\right\rangle -f(z){\text{ for all }}z\in X\right\}&&\\&=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)\geq \sup _{z\in X}\left\langle x^{*},z\right\rangle -f(z)\right\}&&{\text{ The right hand side is }}f^{*}\left(x^{*}\right)\\&=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)=f^{*}\left(x^{*}\right)\right\}&&{\text{ Taking }}z:=x{\text{ in the }}\sup {}{\text{ gives the inequality }}\leq .\\\end{alignedat}}}$

Например, в важном частном случае, когда - норма на , можно показать ^{[доказательство 1],} что если тогда это определение сводится к следующему:${\displaystyle f=\|\cdot \|}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 0\neq x\in X}$

${\displaystyle \partial f(x)=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~\left\langle x^{*},x\right\rangle =\|x\|{\text{ and }}\left\|x^{*}\right\|=1\right\}}$     а также     ${\displaystyle \partial f(0)=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~\left\|x^{*}\right\|\leq 1\right\}.}$

Для любого и которое называется неравенством Фенхеля-Юнга . Это неравенство является равенством (т.е. ) тогда и только тогда, когда именно таким образом субдифференциальное множество напрямую связано с выпуклым сопряженным${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x^{*}\in X^{*},}$ ${\displaystyle f(x)+f^{*}\left(x^{*}\right)\geq \left\langle x^{*},x\right\rangle ,}$${\displaystyle f(x)+f^{*}\left(x^{*}\right)=\left\langle x^{*},x\right\rangle }$${\displaystyle x^{*}\in \partial f(x).}$${\displaystyle \partial f(x)}$${\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right).}$

Biconjugate [ править ]

Бисопряженных функции является сопряженным конъюгатом, как правило , записывается в виде бисопряженного полезно для показа когда сильное или слабой двойственность удержания ( с помощью функции возмущения ).${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle f^{**}:X\to [-\infty ,\infty ].}$

Для любого неравенство следует из неравенства Фенхеля – Юнга . Для собственных функций , если и только если оно выпукло и полунепрерывно снизу по теореме Фенхеля – Моро . ^{[4] [5]}${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle f^{**}(x)\leq f(x)}$${\displaystyle f=f^{**}}$ ${\displaystyle f}$

Выпуклая минимизация [ править ]

Минимизации выпуклых ( первичная ) проблема является одной из форм

найти, когда заданы выпуклая функция и выпуклое подмножество${\displaystyle \inf _{x\in M}f(x)}$${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle M\subseteq X.}$

Двойная проблема [ править ]

В теории оптимизации принцип двойственности гласит, что проблемы оптимизации можно рассматривать с двух точек зрения: с основной проблемы или с точки зрения двойственности.

В общем случае даны две двойственные пары, разделенные локально выпуклыми пространствами, а затем, учитывая функцию, мы можем определить прямую задачу как нахождение такой, что${\displaystyle \left(X,X^{*}\right)}$${\displaystyle \left(Y,Y^{*}\right).}$${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ],}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \inf _{x\in X}f(x).}$

Если есть условия ограничения, их можно встроить в функцию , указав где - индикаторная функция . Тогда пусть - функция возмущения такая, что ^[6]${\displaystyle f}$${\displaystyle f=f+I_{\mathrm {constraints} }}$${\displaystyle I}$${\displaystyle F:X\times Y\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle F(x,0)=f(x).}$

Двойственная задача по отношению к выбранной функции возмущений задаются

${\displaystyle \sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}\left(0,y^{*}\right)}$

где - выпуклая сопряженная по обеим переменным${\displaystyle F^{*}}$${\displaystyle F.}$

Разрыв двойственности разница правых и левых частей неравенства ^{[7] [6] [8]}

${\displaystyle \sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}\left(0,y^{*}\right)\leq \inf _{x\in X}F(x,0).}$

Этот принцип такой же, как и слабая двойственность . Если две стороны равны друг другу, то говорят, что проблема удовлетворяет сильной двойственности .

Есть много условий для сохранения сильной двойственности, таких как:

• ${\displaystyle F=F^{**}}$где это функция возмущения , связанная с прямыми и двойственными задачами и является бисопряженным из ; ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle F}$${\displaystyle F^{**}}$${\displaystyle F}$
• основная задача - это задача линейной оптимизации ;
• Условие Слейтера для задачи выпуклой оптимизации . ^{[9] [10]}

Двойственность Лагранжа [ править ]

Для выпуклой задачи минимизации с ограничениями-неравенствами

${\displaystyle \min {}_{x}f(x)}$при условии для${\displaystyle g_{i}(x)\leq 0}$${\displaystyle i=1,\ldots ,m.}$

двойственная лагранжева задача

${\displaystyle \sup {}_{u}\inf {}_{x}L(x,u)}$при условии для${\displaystyle u_{i}(x)\geq 0}$${\displaystyle i=1,\ldots ,m.}$

где целевая функция - это двойственная функция Лагранжа, определяемая следующим образом:${\displaystyle L(x,u)}$

${\displaystyle L(x,u)=f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}g_{j}(x)}$

См. Также [ править ]

• Список тем о выпуклости
• Вернер Фенчель

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Баушке, Хайнц Х .; Комбетс, Патрик Л. (28 февраля 2017 г.). Выпуклый анализ и теория монотонных операторов в гильбертовых пространствах . CMS Книги по математике. Springer Science & Business Media . ISBN 978-3-319-48311-5. OCLC  1037059594 .
• Бойд, Стивен ; Ванденберге, Ливен (8 марта 2004 г.). Выпуклая оптимизация . Кембриджская серия по статистической и вероятностной математике. Кембридж, Великобритания Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-83378-3. OCLC  53331084 .
• Хириарт-Уррути, Ж.-Б. ; Лемарешаль, К. (2001). Основы выпуклого анализа . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42205-1.
• Кусраев, АГ; Кутателадзе, Семен Самсонович (1995). Субдифференциалы: теория и приложения . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-94-011-0265-0.
• Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Уетс, Роджер Дж .-Б. (26 июня 2009 г.). Вариационный анализ . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 317 . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313. OCLC  883392544 .
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Певец, Иван (1997). Абстрактный выпуклый анализ . Серия монографий и расширенных текстов Канадского математического общества. Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc., стр. Xxii + 491. ISBN 0-471-16015-6. Руководство по ремонту  1461544 .
• Stoer, J .; Витцгалл, К. (1970). Выпуклость и оптимизация в конечных размерах . 1 . Берлин: Springer. ISBN 978-0-387-04835-2.
• Зэлинеску, Константин (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, штат Нью-Джерси, Лондон: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. Руководство по ремонту  1921556 . OCLC  285163112 .

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с анализом Convex на Викискладе?