Соседство (математика)

Набор в плоскости окрестность точки , если небольшой диск вокруг содержатся в .${\ displaystyle V}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle V}$

В топологии и смежных областях математики , окрестности (или окрестности ) является одним из основных понятий в топологическом пространстве . Это тесно связано с концепциями открытого набора и интерьера . Интуитивно говоря, окрестность точки - это набор точек, содержащий эту точку, где можно переместиться на некоторое количество в любом направлении от этой точки, не выходя из набора.

Определения [ править ]

Окрестности точки [ править ]

Если это топологическое пространство и является точкой , в окрестностях части является подмножество из , который включает в себя открытый набор , содержащий${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle U}$${\displaystyle p,}$

${\displaystyle p\in U\subseteq V.}$

Это также соответствует точке , принадлежащей к топологическим внутренней части ин${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X.}$

Район должен не быть открытым подмножеством , но когда открыто в то оно называется${\displaystyle V}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$открытый район . ^[1] Известно, что некоторые авторы требуют, чтобы районы были открытыми, поэтому важно соблюдать правила.

У замкнутого прямоугольника нет окрестностей ни в одном из углов или на границе.

Множество, которое является окрестностью каждой из его точек, открыто, поскольку его можно выразить как объединение открытых множеств, содержащих каждую из его точек. Прямоугольник, как показано на рисунке, не является окрестностью всех своих точек; точки на краях или углах прямоугольника не содержатся ни в одном открытом наборе, содержащемся внутри прямоугольника.

Совокупность всех окрестностей точки называется системой окрестностей в точке.

Окрестности множества [ править ]

Если это подмножество топологического пространства затем в окрестностях из представляет собой набор , который включает в себя открытый набор , содержащий . Отсюда следует , что множество V есть окрестность S тогда и только тогда , когда она является окрестностью всех точек в S . Кроме того, V есть окрестность S , если и только если S является подмножеством внутренней части V . Окрестность S , который также открытое множество называется открытая окрестность из S${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle S}$ . Окрестность точки - лишь частный случай этого определения.

В метрическом пространстве [ править ]

Набор в плоскости и равномерная окрестность из .${\displaystyle S}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$

Эпсилон-окрестность числа a на действительной числовой прямой.

В метрическом пространстве множество - это окрестность точки, если существует открытый шар с центром и радиусом , такой что${\displaystyle M=(X,d)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle r>0}$

${\displaystyle B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}}$

содержится в .${\displaystyle V}$

${\displaystyle V}$называются равномерными окрестностями множества , если существует такое положительное число таких , что для всех элементов из ,${\displaystyle S}$${\displaystyle r}$${\displaystyle p}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}}$

содержится в .${\displaystyle V}$

Для получения в -окрестности множества является множество всех точек , которые находятся на расстоянии менее чем от (или , что эквивалентно, является объединением всех открытых шаров радиуса , которые сосредоточены в некоторой точке ):${\displaystyle r>0}$${\displaystyle r}$ ${\displaystyle S_{r}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle r}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$_{${\displaystyle r}$}${\displaystyle r}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S_{r}=\bigcup \limits _{p\in {}S}B_{r}(p).}$

Отсюда непосредственно следует, что -окрестность является однородной окрестностью, и что множество является однородной окрестностью тогда и только тогда, когда оно содержит -окрестность для некоторого значения .${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

Примеры [ править ]

Учитывая набор действительных чисел с обычной евклидовой метрикой и подмножеством, определенным как${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle V}$

${\displaystyle V:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B\left(n\,;\,1/n\right),}$

то есть окрестность для набора из натуральных чисел , но это не единая окрестность этого множества.${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {N} }$

Топология из окрестностей [ править ]

Приведенное выше определение полезно, если понятие открытого множества уже определено. Существует альтернативный способ определения топологии, сначала определяя систему соседства , а затем открывая множества как те множества, которые содержат окрестность каждой из своих точек.

Система соседства на - это присвоение фильтра подмножеств каждого в такой, что${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N(x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

1. точка является элементом каждого в${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$${\displaystyle N(x)}$
2. каждый в содержит некоторые в таких , что для каждого дюйма , в .${\displaystyle U}$${\displaystyle N(x)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle N(x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle N(y)}$

Можно показать, что оба определения совместимы, т. Е. Топология, полученная из системы соседства, определенной с использованием открытых множеств, является исходной, и наоборот, если исходить из системы соседства.

Единообразные районы [ править ]

В едином пространстве , называются равномерная окрестность о , если существует свиту такой , который содержит все точки , которые -близкие до некоторой точки ; то есть для всех .${\displaystyle S=(X,\Phi )}$${\displaystyle V}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U\in \Phi }$${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle P}$${\displaystyle U[x]\subseteq V}$${\displaystyle x\in P}$

Удаленный район [ править ]

Проколотой окрестности из точки (иногда называется проколот окрестности ) является окрестность , без . Например, интервал является окрестностью в прямом , так что множество является проколотыми окрестностями . Удаленная окрестность данной точки на самом деле не является окрестностью точки. Понятие удаленной окрестности встречается в определении предела функции и в определении предельных точек (среди прочего).${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle (-1,1)=\{y:-1<y<1\}}$${\displaystyle p=0}$${\displaystyle (-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)\setminus \{0\}}$${\displaystyle 0}$

См. Также [ править ]

• Система соседства
• Регион (математика)
• Трубчатый район

Ссылки [ править ]

• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
• Бредон, Глен Э. (1993). Топология и геометрия . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.
• Каплански, Ирвинг (2001). Теория множеств и метрические пространства . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2694-8.