Система соседства

В топологии и смежных областях математики , системы окрестностей , полная система окрестностей , ^[1] или окрестности фильтр для точки $х$ есть совокупность всех окрестностей в точке $х$ . ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (х)}$

Определения [ править ]

Открытая окрестность подмножества $S$ из $X$ является любым открытым множеством $V$ таким , что $S \subseteq V$ . Окрестность $S$ в $X$ является любое подмножество $Т \subseteq X$ такое , что $Т$ содержит некоторое открытую окрестность $S$ . Явно это означает, что $T \subseteq X$ является окрестностью $S$ в $X$ тогда и только тогда, когда существует некоторое открытое множество $V$ такое, что $S \subseteq V \subseteq T$ . Система окрестностей для любого непустого множества $S$ представляет собой фильтр называется окрестность фильтр для $S$ . Фильтр соседства для точки $x \in X$ аналогичен фильтру соседства для одноэлементного множества ${x}.$

«Соседство» не обязательно должно быть открытым множеством; те окрестности, которые также являются открытыми множествами, известны как «открытые окрестности». Точно так же те окрестности, которые также являются замкнутыми множествами, называются замкнутыми окрестностями . Есть много других типов окрестностей, которые используются в топологии и связанных областях, таких как функциональный анализ . Семейство всех окрестностей, обладающих определенным «полезным» свойством, часто образует основу соседства, хотя во многих случаях эти районы не обязательно являются открытыми.

Основа [ править ]

База окрестностей или локальный базис (или окрестности базовая или локальная база ) для точки $х$ представляет собой базис фильтра фильтра окрестностей; это означает, что это подмножество

{\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (х) \ substeq {\ mathcal {N}} (х)}

такое, что для всех существует такое, что для любой окрестности мы можем найти окрестность в базисе соседства, который содержится в . ${\ Displaystyle V \ in {\ mathcal {N}} (х)}$ ${\ Displaystyle B \ in {\ mathcal {B}} (х)}$ ${\ Displaystyle B \ substeq V.}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle V}$

Эквивалентно, является локальным базисом в $x$ тогда и только тогда, когда фильтр окрестности может быть восстановлен в том смысле, что выполняется следующее равенство: ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (х)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (х)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (х)}$

{\ displaystyle {\ mathcal {N}} (x) = \ left \ {V \ substeq X ~: ~ B \ substeq V {\ text {для некоторых}} B \ in {\ mathcal {B}} (x) \Правильно\}}

. ^[2]

Subbasis [ править ]

Окрестность подбазис на $й$ представляет собой семейство $𝒮$ подмножеств $X$ , каждый из которых содержит $х$ , такие , что совокупность всех возможных конечных пересечений элементов 𝒮 образует базис в окрестностях $х$ .

Примеры [ править ]

В любом топологическом пространстве система окрестностей точки также является базисом окрестностей точки.
Множество всех открытых окрестностей в точке образует базис соседства в этой точке.
Для пространства $X$ с недискретной топологией система окрестностей для любой точки $x$ содержит только все пространство, ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (х) = \ {X \}}$
В метрическом пространстве для любой точки $x$ последовательность открытых шаров вокруг $x$ с радиусом $1 / n$ образует счетный базис окрестности . Это означает, что каждое метрическое пространство счетно первым . ${\mathcal {B}}(x)=\{B_{1/n}(x);n\in \mathbb {N} ^{*}\}$
В слабой топологии на пространстве мер на пространстве $E$ база окрестностей о задается формулой $\nu$

\left\{\mu \in {\mathcal {M}}(E):\left|\mu f_{i}-\nu f_{i}\right|<\varepsilon _{i},\,i=1,\ldots ,n\right\}

где - непрерывные ограниченные функции от

E

до действительных чисел.

f_{i}

Свойства [ править ]

В полунормированном пространстве , то есть векторном пространстве с топологией, индуцированной полунормой , все системы окрестностей могут быть построены путем перевода системы окрестностей в начало координат,

{\mathcal {N}}(x)={\mathcal {N}}(0)+x.

Это связано с тем, что по предположению сложение векторов отдельно непрерывно в индуцированной топологии. Следовательно, топология определяется системой его окрестностей в начале координат. В более общем смысле это остается верным, когда пространство является топологической группой или топология определяется псевдометрикой .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 41. ISBN 0-486-66352-3.
^ Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Эддисон-Уэсли Паблишинг. (См. Главу 2, раздел 4)

[1] Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 41. ISBN 0-486-66352-3.

[2] Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Эддисон-Уэсли Паблишинг. (См. Главу 2, раздел 4)

[1]