Функциональный анализ - это раздел математического анализа , ядро которого составляет изучение векторных пространств, наделенных некоторой структурой, связанной с ограничениями (например, внутренний продукт , норма , топология и т. Д.), И линейных функций, определенных в этих пространствах. и уважая эти структуры в подходящем смысле. Исторические корни функционального анализа лежат в изучении пространств функций и формулировании свойств преобразований функций, таких как преобразование Фурье, как преобразований, определяющих непрерывные , унитарныеи т.д. операторы между функциональными пространствами. Эта точка зрения оказалась особенно полезной при изучении дифференциальных и интегральных уравнений .
Использование слова « функционал» в качестве существительного восходит к вариационному исчислению , подразумевая функцию, аргументом которой является функция . Этот термин впервые был использован в книге Адамара 1910 года по этому вопросу. Однако общее понятие функционала было введено ранее в 1887 году итальянским математиком и физиком Вито Вольтерра . [1] [2] Теория нелинейных функционалов была продолжена учениками Адамара, в частности Фреше и Леви . Адамар также основал современную школу линейного функционального анализа, развитую в дальнейшем Риссом и группой исследователей.Польские математики вокруг Стефана Банаха .
В современных вводных текстах по функциональному анализу предмет рассматривается как исследование векторных пространств, наделенных топологией, в частности бесконечномерных пространств . Напротив, линейная алгебра имеет дело в основном с конечномерными пространствами и не использует топологию. Важной частью функционального анализа является распространение теории меры , интегрирования и вероятности на бесконечномерные пространства, также известное как бесконечномерный анализ .
Нормированные векторные пространства [ править ]
Основным и исторически первым классом пространств, изучаемых в функциональном анализе, являются полные нормированные векторные пространства над действительными или комплексными числами . Такие пространства называются банаховыми . Важным примером является гильбертово пространство , где норма возникает из внутреннего продукта. Эти пространства имеют фундаментальное значение во многих областях, включая математическую формулировку квантовой механики , машинное обучение , уравнения в частных производных и анализ Фурье .
В более общем плане функциональный анализ включает изучение пространств Фреше и других топологических векторных пространств, не наделенных нормой.
Важным объектом изучения функционального анализа являются линейные непрерывные операторы, определенные в банаховом и гильбертовом пространствах. Это естественным образом приводит к определению C * -алгебр и других операторных алгебр .
Гильбертовы пространства [ править ]
Гильбертовые может быть полностью классифицировано: существует единственное гильбертово пространство до изоморфизма для каждой мощности на ортонормированном . [3] Конечномерные гильбертовы пространства полностью понимаются в линейной алгебре , а бесконечномерные сепарабельные гильбертовые пространства изоморфны . Разделимость важна для приложений, поэтому функциональный анализ гильбертовых пространств в основном имеет дело с этим пространством. Одна из открытых проблем функционального анализа - доказать, что каждый ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве имеет собственное инвариантное подпространство . Многие частные случаи этого ℓ 2 ( ℵ 0 ) {\ Displaystyle \ ell ^ {\, 2} (\ алеф _ {0}) \,} проблема инвариантного подпространства уже доказана.
Банаховы пространства [ править ]
Общие банаховы пространства сложнее гильбертовых пространств, и их нельзя классифицировать так просто, как те. В частности, во многих банаховых пространствах отсутствует понятие, аналогичное ортонормированному базису .
Примерами банаховых пространств являются -пространства для любого действительного числа . Принимая во внимание также является мерой по совокупности , то , иногда также обозначается или , имеет в качестве векторов классов эквивалентности из измеримых функций которых абсолютное значение «s -й мощности имеет конечный интеграл, то есть функции , для которых один имеет L п {\ Displaystyle L ^ {\, p}}
- .
Если - счетная мера , то интеграл можно заменить суммой. То есть нам требуется
- .
Тогда нет необходимости иметь дело с классами эквивалентности, и пространство обозначается , проще записывается в случае, когда - множество неотрицательных целых чисел .
В банаховых пространствах большая часть исследования включает двойственное пространство : пространство всех непрерывных линейных отображений из пространства в лежащее в его основе поле, так называемые функционалы. Банахово пространство можно канонически отождествить с подпространством его двузначного числа, которое является двойственным к его двойственному пространству. Соответствующее отображение является изометрией, но, как правило, не на. Общее банахово пространство и его бидуальное пространство не обязательно должны быть каким-либо образом изометрически изоморфны, в отличие от конечномерной ситуации. Это объясняется в статье о двойном пространстве.
Кроме того, понятие производной может быть распространено на произвольные функции между банаховыми пространствами. См., Например, статью о производных Фреше .
Линейный функциональный анализ [ править ]
Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( Август 2020 г. ) |
Основные и основополагающие результаты [ править ]
Важные результаты функционального анализа включают:
Принцип равномерной ограниченности [ править ]
Принцип равномерной ограниченности или теорема Банаха – Штейнхауза - один из фундаментальных результатов функционального анализа. Вместе с теоремой Хана – Банаха и теоремой об открытом отображении она считается одним из краеугольных камней этой области. В своей основной форме он утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов (и, следовательно, ограниченных операторов), область определения которых является банаховым пространством , точечная ограниченность эквивалентна равномерной ограниченности по операторной норме.
Теорема была впервые опубликована в 1927 году Стефаном Банахом и Хьюго Штайнхаусом, но также была независимо доказана Гансом Ханом .
Теорема (принцип равномерной ограниченности). Пусть X - банахово пространство, а Y - нормированное векторное пространство . Предположим , что F представляет собой совокупность непрерывных линейных операторов из X в Y . Если для всех x в X имеется
тогда
Спектральная теорема [ править ]
Есть много теорем, известных как спектральная теорема , но одна, в частности, имеет множество приложений в функциональном анализе.
Теорема: [4] Пусть ограниченный оператор самосопряжен в гильбертовом пространстве H . Тогда существуют пространство с мерой ( X , Σ, μ) и вещественнозначная существенно ограниченная измеримая функция f на X и унитарный оператор U : H → L 2 μ ( X ) такие, что
где T - оператор умножения :
и
Это начало обширной области исследований функционального анализа, называемой теорией операторов ; см. также спектральную меру .
Аналогичная спектральная теорема существует и для ограниченных нормальных операторов в гильбертовых пространствах. Единственная разница в выводе состоит в том, что now может быть комплексным.
Теорема Хана – Банаха [ править ]
Теорема Хана – Банаха - центральный инструмент функционального анализа. Он позволяет расширить ограниченные линейные функционалы, определенные на подпространстве некоторого векторного пространства, на все пространство, а также показывает, что существует «достаточно» непрерывных линейных функционалов, определенных на каждом нормированном векторном пространстве, чтобы сделать изучение двойственного пространства интересным. ".
Теорема Хана-Банаха: [5] Если р : V → R является функцией сублинеен и φ : U → R представляет собой линейный функционал на линейном подпространстве U ⊆ V , который преобладает по р на U , т.е.
то существует линейное расширение ф : V → R из ф на все пространство V , т.е. существует линейный функционал ф такой , что
Теорема об открытом отображении [ править ]
Теорема открытое отображение , также известный как теорема Банаха-Шаудера (имени Стефана Банаха и Юлиуш Шаудером ), является фундаментальным результатом , который гласит , что если непрерывный линейный оператор между банаховых пространств является сюръективны то это открытое отображение . Точнее: [5]
- Теорема об открытом отображении. Если X и Y - банаховы пространства и A : X → Y - сюръективный непрерывный линейный оператор, то A - открытое отображение (т.е. если U - открытое множество в X , то A ( U ) открыто в Y ).
Доказательство использует теорему Бэра о категории , и полнота как X, так и Y важна для теоремы. Утверждение теоремы больше не верно, если любое пространство просто предполагается, что является нормированным пространством , но верно, если X и Y взяты как пространства Фреше .
Теорема о замкнутом графе [ править ]
Замкнутый график теорема утверждает следующее: Если X является топологическим пространством , а Y представляет собой компактное хаусдорфово пространство , то график линейного отображения Т из X к Y замкнуто тогда и только тогда , когда Т является непрерывным . [6]
Другие темы [ править ]
Соображения по основам математики [ править ]
Большинство пространств, рассматриваемых в функциональном анализе, имеют бесконечную размерность. Чтобы показать существование базиса векторного пространства для таких пространств, может потребоваться лемма Цорна . Однако в функциональном анализе обычно более уместна несколько иная концепция, базис Шаудера . Многие очень важные теоремы требуют теоремы Хана – Банаха , обычно доказываемой с использованием выбранной аксиомы , хотя достаточно строго более слабой теоремы о булевом простом идеале . Теорема Бэра о категории , необходимая для доказательства многих важных теорем, также требует определенной формы аксиомы.
Точки зрения [ править ]
Функциональный анализ в его современном виде [update]включает следующие тенденции:
- Абстрактный анализ . Подход к анализу на основе топологических групп , топологических колец и топологических векторных пространств .
- Геометрия банаховых пространств содержит множество тем. Один из них - комбинаторный подход, связанный с Жаном Бургейном ; другой - характеризация банаховых пространств, в которых выполняются различные формы закона больших чисел .
- Некоммутативная геометрия . Разработан Аленом Конном , частично опираясь на более ранние идеи, такие какподход Джорджа Макки к эргодической теории .
- Связь с квантовой механикой . Либо в узком смысле, как в математической физике , либо в широком смысле, например, Израилем Гельфандом , как включающий большинство типов теории представлений .
См. Также [ править ]
- Список тем функционального анализа
- Спектральная теория
Ссылки [ править ]
- ^ acsu.buffalo.edu
- ^ История математических наук ISBN 978-93-86279-16-3 с. 195
- ^ Рис, Фриджес; Szkefalvi-Nagy, Béla (1990). Функциональный анализ (Dover ed.). Нью-Йорк: Dover Publications. С. 195–199. ISBN 978-0-486-66289-3.
- ^ Холл, Британская Колумбия (2013), Квантовая теория для математиков , Springer, стр. 147
- ^ a b Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . McGraw-Hill Наука / Инженерия / Математика. ISBN 978-0-07-054236-5.
- ^ Манкрес, Джеймс (2000), Топология (2 - е изд.), Upper Saddle River: Prentice Hall , стр 163-172,. ISBN 0-13-181629-2, п. 171
Дальнейшее чтение [ править ]
- Алипрантис, CD, Граница, KC: Анализ бесконечных измерений: Путеводитель автостопом , 3-е изд., Springer 2007, ISBN 978-3-540-32696-0 . Online doi : 10.1007 / 3-540-29587-9 (по подписке)
- Бахман, Г., Наричи, Л .: Функциональный анализ , Academic Press, 1966. (перепечатка Dover Publications)
- Банах С. Теория линейных операций . Том 38, Математическая библиотека Северной Голландии, 1987, ISBN 0-444-70184-2
- Брезис, Х .: Анализируйте Fonctionnelle , Dunod ISBN 978-2-10-004314-9 или ISBN 978-2-10-049336-4
- Конвей, Дж. Б .: Курс функционального анализа , 2-е издание, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5
- Данфорд, Н. и Шварц, JT : линейные операторы, общая теория, John Wiley & Sons и другие 3 тома, включая диаграммы визуализации
- Эдвардс, RE: Функциональный анализ, теория и приложения , Холд, Райнхарт и Уинстон, 1965.
- Эйдельман, Юлий, Виталий Мильман и Антонис Цоломитис: Функциональный анализ: Введение , Американское математическое общество, 2004.
- Фридман, А .: Основы современного анализа , Dover Publications, издание в мягкой обложке, 21 июля 2010 г.
- Джайлз, младший: Введение в анализ нормированных линейных пространств , Cambridge University Press, 2000
- Хирш Ф., Лакомб Г. - «Элементы функционального анализа», Springer, 1999.
- Хатсон, В., Пим, Дж. С., Облако М.Дж.: Приложения функционального анализа и теории операторов , 2-е издание, Elsevier Science, 2005, ISBN 0-444-51790-1
- Канторовиц, С., Введение в современный анализ , Oxford University Press, 2003, 2-е изд., 2006.
- А. Н. Колмогоров, А. Н. и Фомин, С. В. : Элементы теории функций и функционального анализа , Dover Publications, 1999
- Крейсциг, Э .: Введение в функциональный анализ с приложениями , Wiley, 1989.
- Лакс, П .: Функциональный анализ , Wiley-Interscience, 2002, ISBN 0-471-55604-1
- Лебедев Л.П., Ворович II: Функциональный анализ в механике , Springer-Verlag, 2002.
- Мишель, Энтони Н. и Чарльз Дж. Херже: прикладная алгебра и функциональный анализ , Довер, 1993.
- Питч, Альбрехт: История банаховых пространств и линейных операторов , Birkhäuser Boston Inc., 2007, ISBN 978-0-8176-4367-6
- Рид, М. , Саймон, Б .: "Функциональный анализ", Academic Press, 1980.
- Рис, Ф. и С.-Надь, Б .: Функциональный анализ , Dover Publications, 1990.
- Рудин, В .: Функциональный анализ , McGraw-Hill Science, 1991.
- Сакс, Карен: Начало функционального анализа , Springer, 2001
- Шехтер, М .: Принципы функционального анализа , AMS, 2-е издание, 2001 г.
- Шилов, Георгий Э .: Элементарный функциональный анализ , Довер, 1996.
- Соболев, С.Л .: Приложения функционального анализа в математической физике , АМН, 1963 г.
- Фогт, Д., Мейсе, Р .: Введение в функциональный анализ , Oxford University Press, 1997.
- Йосида, К .: Функциональный анализ , Springer-Verlag, 6-е издание, 1980 г.
Внешние ссылки [ править ]
- "Функциональный анализ" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- «Темы реального и функционального анализа » Джеральда Тешля , Венский университет.
- Конспект лекций по функциональному анализу Евгения Виленского, Нью-Йоркский университет.
- Лекция видео на функциональном анализе по Greg Morrow из Университета Колорадо Колорадо - Спрингс