Собственная функция

Это решение проблемы вибрирующего барабана в любой момент времени является собственной функцией оператора Лапласа на диске.

В математике , собственная функция из линейного оператора D , определенного на некотором пространстве функций являются любой ненулевой функция F в этом пространстве , что при воздействии на D , только умножаются на некотором коэффициенте масштабирования , называемом собственным значением . В виде уравнения это условие можно записать как

{\ displaystyle Df = \ lambda f}

для некоторого скалярного собственного значения λ. ^[1]^[2]^[3] Решения этого уравнения также могут подчиняться граничным условиям, которые ограничивают допустимые собственные значения и собственные функции.

Собственная функция - это тип собственного вектора .

Собственные функции [ править ]

В общем, собственный вектор линейного оператора D, определенного в некотором векторном пространстве, является ненулевым вектором в области определения D, который, когда D действует на него, просто масштабируется некоторым скалярным значением, называемым собственным значением. В частном случае, когда D определяется в функциональном пространстве, собственные векторы называются собственными функциями . То есть функция f является собственной функцией D, если она удовлетворяет уравнению

{\ displaystyle Df = \ lambda f,}

( 1 )

где λ - скаляр. ^[1]^[2]^[3] Решения уравнения ( 1 ) также могут подчиняться граничным условиям. Из-за граничных условий возможные значения λ обычно ограничиваются, например, дискретным набором λ ₁ , λ ₂ , ... или непрерывным набором в некотором диапазоне. Набор всех возможных собственных значений D иногда называют его спектром , который может быть дискретным, непрерывным или сочетанием того и другого. ^[1]

Каждое значение λ соответствует одной или нескольким собственным функциям. Если несколько линейно независимых собственных функций имеют одно и то же собственное значение, собственное значение называется вырожденным, а максимальное количество линейно независимых собственных функций, связанных с одним и тем же собственным значением, является степенью вырождения или геометрической кратностью собственного значения . ^[4]^[5]

Пример производного [ править ]

Широко используемый класс линейных операторов, действующих в бесконечномерных пространствах, - это дифференциальные операторы в пространстве C ^∞ бесконечно дифференцируемых вещественных или комплексных функций действительного или комплексного аргумента t. Например, рассмотрим производный оператор с уравнением на собственные значения ${\ displaystyle {\ tfrac {d} {dt}}}$

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} f (t) = \ lambda f (t).}

Это дифференциальное уравнение можно решить, умножив обе части на и интегрировав. Его решение - экспоненциальная функция ${\ Displaystyle {\ tfrac {dt} {е (т)}}}$

{\ displaystyle f (t) = f_ {0} e ^ {\ lambda t},}

- собственная функция оператора производной, где f ₀ - параметр, зависящий от граничных условий. Обратите внимание, что в этом случае собственная функция сама является функцией связанного с ней собственного значения λ, которое может принимать любое действительное или комплексное значение. В частности, заметим, что при λ = 0 собственная функция f ( t ) является постоянной.

Предположим в примере, что f ( t ) подчиняется граничным условиям f (0) = 1 и = 2. Тогда мы находим, что ${\ displaystyle {\ tfrac {df} {dt}} | _ {t = 0}}$

{\ displaystyle f (t) = e ^ {2t},}

где λ = 2 - единственное собственное значение дифференциального уравнения, которое также удовлетворяет граничному условию.

Ссылка на собственные значения и собственные векторы матриц [ править ]

Собственные функции могут быть выражены как векторы-столбцы, а линейные операторы могут быть выражены как матрицы, хотя они могут иметь бесконечные размеры. В результате многие концепции, связанные с собственными векторами матриц, переносятся на изучение собственных функций.

Определите внутренний продукт в функциональном пространстве, в котором D определяется как

{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {\ Omega} \ f ^ {*} (t) g (t) dt,}

интегрированы по некоторому интересующему диапазону для t, называемому Ω. * Обозначает комплексное сопряжение .

Предположим, что функциональное пространство имеет ортонормированный базис, заданный набором функций { u ₁ ( t ), u ₂ ( t ), ..., u _n ( t )}, где n может быть бесконечным. Для ортонормированного базиса

{\ displaystyle \ langle u_ {i}, u_ {j} \ rangle = \ int _ {\ Omega} \ u_ {i} ^ {*} (t) u_ {j} (t) dt = \ delta _ {ij } = {\ begin {cases} 1 & i = j \\ 0 & i \ neq j \ end {cases}},}

где δ _ij - символ Кронекера, который можно рассматривать как элементы единичной матрицы .

Функции могут быть записаны как линейная комбинация базисных функций,

{\ Displaystyle е (т) = \ сумма _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} u_ {j} (t),}

например, через разложение Фурье функции f ( t ). Коэффициенты Ь _J могут быть уложены в п от 1 вектор - столбец Ь = [ Ь ₁ Ь ₂ ... б _п ] ^T . В некоторых особых случаях, таких как коэффициенты ряда Фурье синусоидальной функции, этот вектор-столбец имеет конечную размерность.

Кроме того, определите матричное представление линейного оператора D с элементами

{\ displaystyle A_ {ij} = \ langle u_ {i}, Du_ {j} \ rangle = \ int _ {\ Omega} \ u_ {i} ^ {*} (t) Du_ {j} (t) dt. }

Мы можем записать функцию Df (t) либо как линейную комбинацию базисных функций, либо как D, действующий на разложение f ( t ),

Df(t)=\sum _{j=1}^{n}c_{j}u_{j}(t)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}Du_{j}(t).

Взяв скалярное произведение каждой части этого уравнения на произвольную базисную функцию u _i ( t ),

{\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}c_{j}\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)dt&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)dt,\\c_{i}&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}A_{ij}.\end{aligned}}

Это матричное умножение Ab = c, записанное в форме суммирования, и является матричным эквивалентом оператора D, действующего на функцию f ( t ), выраженную в ортонормированном базисе. Если f ( t ) - собственная функция оператора D с собственным значением λ, то Ab = λ b .

Собственные значения и собственные функции эрмитовых операторов [ править ]

Многие из операторов, встречающихся в физике, эрмитовы . Предположим, что линейный оператор D действует в функциональном пространстве, которое является гильбертовым пространством с ортонормированным базисом, заданным набором функций { u ₁ ( t ), u ₂ ( t ), ..., u _n ( t )}, где n может быть бесконечным. В этом базисе оператор D имеет матричное представление A с элементами

A_{ij}=\langle u_{i},Du_{j}\rangle =\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t).

проинтегрировано в некотором интересующем диапазоне для t, обозначенного Ω.

По аналогии с эрмитовыми матрицами , D является эрмитами оператора , если _IJ = _ц *, или: ^[6] ${\begin{aligned}\langle u_{i},Du_{j}\rangle &=\langle Du_{i},u_{j}\rangle ,\\\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)&=\int _{\Omega }dt\ u_{j}(t)[Du_{i}(t)]^{*}.\end{aligned}}$

Рассмотрим эрмитов оператор D с собственными значениями λ ₁ , λ ₂ , ... и соответствующими собственными функциями f ₁ ( t ), f ₂ ( t ), .... Этот эрмитов оператор обладает следующими свойствами:

Его собственные значения действительны, λ _i = λ _i * ^[4]^[6]
Его собственные функции подчиняются условию ортогональности, = 0, если i ≠ j ^[6]^[7]^[8] $\langle f_{i},f_{j}\rangle$

Второе условие всегда выполняется при λ _i ≠ λ _j . Для вырожденных собственных функций с одним и тем же собственным значением λ _i всегда можно выбрать ортогональные собственные функции, которые охватывают собственное подпространство, связанное с λ _i , например, с помощью процесса Грама-Шмидта . ^[5] В зависимости от того, является ли спектр дискретным или непрерывным, собственные функции можно нормализовать, установив внутреннее произведение собственных функций равным либо дельте Кронекера, либо дельта-функции Дирака , соответственно. ^[8]^[9]

Для многих эрмитовых операторов, особенно операторов Штурма-Лиувилля , третье свойство

Его собственные функции составляют основу функционального пространства, в котором определяется оператор ^[5]

Как следствие, во многих важных случаях собственные функции эрмитова оператора образуют ортонормированный базис. В этих случаях произвольная функция может быть выражена как линейная комбинация собственных функций эрмитова оператора.

Приложения [ править ]

Вибрирующие струны [ править ]

Форма стоячей волны в закрепленной на ее границах струне является примером собственной функции дифференциального оператора. Допустимые собственные значения регулируются длиной струны и определяют частоту колебаний.

Пусть $ч (х, т)$ обозначает смещение поперечного от нагруженного упругой струны, таких как вибрирующие струны одного струнного инструмента , в зависимости от положения $х$ вдоль струны и по времени $т$ . Применяя законы механики к бесконечно малым частям струны, функция $h$ удовлетворяет уравнению в частных производных

{\frac {\partial ^{2}h}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}},

которое называется (одномерным) волновым уравнением . Здесь $c$ - постоянная скорость, которая зависит от натяжения и массы струны.

Эта проблема решается методом разделения переменных . Если предположить, что $h (x, t)$ можно записать как произведение вида $X (x) T (t)$ , мы можем составить пару обыкновенных дифференциальных уравнений:

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}X=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}X,\qquad {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}T=-\omega ^{2}T.

Каждое из них является уравнением на собственные значения с собственными значениями и $-$ $ω$ $2$ соответственно. При любых значениях $ω$ и $c$ уравнениям удовлетворяют функции $-{\tfrac {\omega ^{2}}{c^{2}}}$

X(x)=\sin \left({\frac {\omega x}{c}}+\varphi \right),\qquad T(t)=\sin(\omega t+\psi ),

где фазовые углы $φ$ и $ψ$ - произвольные действительные постоянные.

Если мы наложим граничные условия, например, что концы струны зафиксированы в $точках x = 0$ и $x = L$ , а именно $X (0) = X (L) = 0$ , и что $T (0) = 0$ , мы ограничим собственные значения. Для этих граничных условий $sin (φ) = 0$ и $sin (ψ) = 0$ , поэтому фазовые углы $φ = ψ = 0$ и

\sin \left({\frac {\omega L}{c}}\right)=0.

Это последнее граничное условие вынуждает $ω$ принимать значение $ω n = ncπ / L$ , где $n$ - любое целое число. Таким образом, зажатая струна поддерживает семейство стоячих волн вида

h(x,t)=\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\sin(\omega _{n}t).

В примере струнного инструмента частота $ω n$ - это частота $n-$ ^й гармоники , которая называется $(n - 1)$ ^-м обертоном .

Уравнение Шредингера [ править ]

В квантовой механике , то уравнение Шредингера

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=H\Psi (\mathbf {r} ,t)

с гамильтоновым оператором

H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)

может быть решена разделением переменных, если гамильтониан не зависит явно от времени. ^[10] В этом случае волновая функция $Ψ (r, t) = φ (r) T (t)$ приводит к двум дифференциальным уравнениям:

H\varphi (\mathbf {r} )=E\varphi (\mathbf {r} ),

( 2 )

i\hbar {\frac {\partial T(t)}{\partial t}}=ET(t).

( 3 )

Оба этих дифференциальных уравнений на собственные значения уравнения с собственным значением $Е$ . Как показано в предыдущем примере, решение уравнения ( 3 ) является экспоненциальным

T(t)=e^{\tfrac {-iEt}{\hbar }}.

Уравнение ( 2 ) - это не зависящее от времени уравнение Шредингера. Собственные функции $φ k$ оператора Гамильтона являются стационарными состояниями квантово-механической системы, каждое с соответствующей энергией $E k$ . Они представляют допустимые энергетические состояния системы и могут быть ограничены граничными условиями.

Гамильтонов оператор $H$ является примером эрмитова оператора, собственные функции которого образуют ортонормированный базис. Когда гамильтониан не зависит явно от времени, общие решения уравнения Шредингера представляют собой линейные комбинации стационарных состояний, умноженные на колебательное $T (t)$ , ^[11] или, для системы с непрерывным спектром, $\Psi (\mathbf {r} ,t)=\sum _{k}c_{k}\varphi _{k}(\mathbf {r} )e^{\tfrac {-iE_{k}t}{\hbar }}$

\Psi (\mathbf {r} ,t)=\int dEc_{E}\varphi _{E}(\mathbf {r} )e^{\tfrac {-iEt}{\hbar }}.

Успех уравнения Шредингера в объяснении спектральных характеристик водорода считается одним из величайших триумфов физики 20-го века.

Сигналы и системы [ править ]

При изучении сигналов и систем собственной функцией системы является сигнал $f (t),$ который при вводе в систему дает ответ $y (t) = λf (t)$ , где $λ$ - комплексное скалярное собственное значение. ^[12]

См. Также [ править ]

Собственные значения и собственные векторы
Теорема Гильберта – Шмидта
Спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений
Комбинатор с фиксированной точкой
Собственные функции преобразования Фурье

Примечания [ править ]

Цитаты [ править ]

^ a b c Давыдов 1976 , с. 20.
^ a b Kusse & Westwig 1998 , стр. 435.
^ а б Вассерман 2016 .
^ а б Давыдов 1976 , с. 21.
^ a b c Kusse & Westwig 1998 , стр. 437.
^ a b c Kusse & Westwig 1998 , стр. 436.
↑ Давыдов 1976 , с. 24.
^ а б Давыдов 1976 , с. 29.
↑ Давыдов 1976 , с. 25.
↑ Давыдов 1976 , с. 51.
↑ Давыдов 1976 , с. 52.
^ Жиро, Rabenstein & Stenger 2001 , стр. 49.

Цитированные работы [ править ]

Курант, Ричард; Гильберт, Дэвид. Методы математической физики . Том 1. Wiley. ISBN 047150447-5.(Том 2: ISBN 047150439-4 )
Давыдов А.С. (1976). Квантовая механика . Переведено, отредактировано и с дополнениями Д. тер Хаара (2-е изд.). Оксфорд: Pergamon Press. ISBN 008020438-4.
Жирод, Бернд ; Рабенштейн, Рудольф; Стенгер, Александр (2001). Сигналы и системы (2-е изд.). Вайли. ISBN 047198800-6.
Кусс, Брюс; Вествиг, Эрик (1998). Математическая физика . Нью-Йорк: Wiley Interscience. ISBN 047115431-8.
Вассерман, Эрик В. (2016). «Собственная функция» . MathWorld . Wolfram Research . Проверено 12 апреля 2016 года .

Внешние ссылки [ править ]

Больше изображений (без GPL) в Atom in a Box

[FOOTNOTEDavydov197620-1] Давыдов 1976 , с. 20.

[FOOTNOTEKusseWestwig1998435-2] Kusse & Westwig 1998 , стр. 435.

[FOOTNOTEWasserman2016-3] а б Вассерман 2016 .

[FOOTNOTEDavydov197621-4] а б Давыдов 1976 , с. 21.

[FOOTNOTEKusseWestwig1998437-5] Kusse & Westwig 1998 , стр. 437.

[FOOTNOTEKusseWestwig1998436-6] Kusse & Westwig 1998 , стр. 436.

[FOOTNOTEDavydov197624-7] Давыдов 1976 , с. 24.

[FOOTNOTEDavydov197629-8] а б Давыдов 1976 , с. 29.

[FOOTNOTEDavydov197625-9] Давыдов 1976 , с. 25.

[FOOTNOTEDavydov197651-10] Давыдов 1976 , с. 51.

[FOOTNOTEDavydov197652-11] Давыдов 1976 , с. 52.

[FOOTNOTEGirodRabensteinStenger200149-12] Жиро, Rabenstein & Stenger 2001 , стр. 49.

[1]