Спектр (функциональный анализ)

В математике , особенно в функциональном анализе , то спектр из ограниченного линейного оператора (или, в более общем смысле , неограниченный линейный оператор ) является обобщением множества собственных значений одного матрицы . В частности, комплексное число λ называется в спектре ограниченного линейного оператора Т , если не обратит , где я есть единичный оператор . Изучение спектров и связанных с ними свойств известно как спектральная теория , которая имеет множество приложений, в первую очередь${\ displaystyle T- \ lambda I}$математическая формулировка квантовой механики .

Спектр оператора в конечномерном векторном пространстве - это в точности набор собственных значений. Однако оператор в бесконечномерном пространстве может иметь дополнительные элементы в своем спектре и может не иметь собственных значений. Например, рассмотрим оператор правого сдвига R в гильбертовом пространстве ℓ ² ,

${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ dots) \ mapsto (0, x_ {1}, x_ {2}, \ dots).}$

У него нет собственных значений, так как если Rx = λ x, то, расширяя это выражение, мы видим, что x ₁ = 0, x ₂ = 0 и т. Д. С другой стороны, 0 находится в спектре, потому что оператор R  - 0 (т.е. R сам) не обратим: он не сюръективен, поскольку любой вектор с ненулевой первой компонентой не входит в его диапазон. Фактически любой линейный ограниченный оператор в комплексном банаховом пространстве должен иметь непустой спектр.

Понятие спектра распространяется на неограниченные операторы . В этом случае говорят, что комплексное число λ находится в спектре оператора, определенного в области определения, если нет ограниченного обратного . Если T - замкнутый оператор (который включает случай, когда T - ограниченный оператор), ограниченность таких обратных операторов следует автоматически, если обратный вообще существует.${\ Displaystyle T: \, от X \ до X}$${\displaystyle D(T)\subset X}$${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}:\,X\to D(T)}$

Пространство линейных ограниченных операторов B ( X ) на банаховом пространстве X является примером унитальной банаховой алгебры . Поскольку в определении спектра не упоминаются какие-либо свойства B ( X ), кроме тех, которые есть в любой такой алгебре, понятие спектра может быть обобщено в этом контексте с использованием того же определения дословно.

Спектр ограниченного оператора [ править ]

Определение [ править ]

Пусть - ограниченный линейный оператор, действующий в банаховом пространстве над комплексным скалярным полем , и - единичный оператор на . Спектр из представляет собой множество всех , для которых оператор не имеет обратного , который является ограниченным линейным оператором.${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle I}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle T-\lambda I}$

Поскольку является линейным оператором, обратный оператор является линейным, если он существует; и по ограниченной обратной теореме он ограничен. Следовательно, спектр состоит как раз из тех скаляров, для которых не биективен .${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle T-\lambda I}$

Спектр данного оператора часто обозначается , а его дополнение, то резольвентное множество , обозначается . ( иногда используется для обозначения спектрального радиуса )${\displaystyle T}$${\displaystyle \sigma (T)}$${\displaystyle \rho (T)=\mathbb {C} \setminus \sigma (T)}$${\displaystyle \rho (T)}$${\displaystyle T}$

Связь с собственными значениями [ править ]

Если - собственное значение , то оператор не является взаимно однозначным, и поэтому его обратный не определен. Однако обратное утверждение неверно: оператор может не иметь обратного, даже если это не собственное значение. Таким образом, спектр оператора всегда содержит все его собственные значения, но не ограничивается ими.${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle T}$${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle \lambda }$

Например, рассмотрим гильбертово пространство , состоящее из всех бибесконечных последовательностей действительных чисел.${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle v=(\ldots ,v_{-2},v_{-1},v_{0},v_{1},v_{2},\ldots )}$

которые имеют конечную сумму квадратов . Двустороннего сдвига оператор просто смещает каждый элемент последовательности на одну позицию; а именно, если тогда для каждого целого числа . Уравнение на собственные значения не имеет решения в этом пространстве, поскольку оно подразумевает, что все значения имеют одинаковое абсолютное значение (если ) или являются геометрической прогрессией (если ); в любом случае сумма их квадратов не будет конечной. Однако оператор не обратим, если . Например, последовательность , которая находится в ; но нет никакой последовательности в таких , что (то есть, для всех ).${\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{+\infty }v_{i}^{2}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle u=T(v)}$${\displaystyle u_{i}=v_{i-1}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle T(v)=\lambda v}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle \vert \lambda \vert =1}$${\displaystyle \vert \lambda \vert \neq 1}$${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle |\lambda |=1}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u_{i}=1/(|i|+1)}$${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle (T-I)v=u}$${\displaystyle v_{i-1}=u_{i}+v_{i}}$${\displaystyle i}$

Основные свойства [ править ]

Спектр ограниченного оператора T всегда является замкнутым , ограниченным и непустым подмножеством комплексной плоскости .

Если бы спектр был пуст, то резольвентная функция

${\displaystyle R(\lambda )=(T-\lambda I)^{-1},\qquad \lambda \in \mathbb {C} ,}$

был бы определен всюду на комплексной плоскости и ограничен. Но можно показать , что резольвенты функция R является голоморфным на своей области. Согласно векторнозначной версии теоремы Лиувилля , эта функция постоянна, поэтому всюду равна нулю, поскольку она равна нулю на бесконечности. Это было бы противоречие.

Ограниченность спектра следует из разложения в ряд Неймана по λ ; спектр σ ( T ) ограничен соотношением || Т ||. Аналогичный результат показывает замкнутость спектра.

Граница || Т || по спектру можно несколько уточнить. Спектральный радиус , г ( Т ), из Т представляет собой радиус наименьшего круга в комплексной плоскости, с центром в начале координат и содержит спектр а ( Т ) внутри него, т.е.

${\displaystyle r(T)=\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (T)\}.}$

Спектральная формула радиуса говорит ^[1] , что для любого элемента из в банаховой алгебре ,${\displaystyle T}$

${\displaystyle r(T)=\lim _{n\to \infty }\|T^{n}\|^{1/n}.}$

Спектр неограниченного оператора [ править ]

Можно расширить определение спектра для неограниченных операторов в банаховом пространстве X , операторов, которые больше не являются элементами банаховой алгебры B ( X ). Действуют аналогично ограниченному случаю.

Определение [ править ]

Пусть X банахово пространство и быть линейным оператором на X , определенный на домене . Комплексное число λ называется резольвентным множеством , т. Е. Дополнением к спектру линейного оператора${\displaystyle T:\,X\to X}$${\displaystyle D(T)\subset X}$

${\displaystyle T:\,D(T)\subset X\to X}$

если оператор

${\displaystyle T-\lambda I:\,D(T)\to X}$

имеет ограниченный обратный, т.е. если существует ограниченный оператор

${\displaystyle S:\,X\rightarrow D(T)}$

такой, что

${\displaystyle S(T-\lambda I)=I_{D(T)},\,(T-\lambda I)S=I_{X}.}$

В этом случае комплексное число λ находится в спектре, если это свойство не выполняется.

Чтобы λ было в резольвенте (то есть не в спектре), как и в ограниченном случае, оно должно быть биективным, так как оно должно иметь двусторонний обратный. Как и раньше, если существует инверсия, то ее линейность сразу же, но в общем случае она не может быть ограниченной, поэтому это условие необходимо проверять отдельно.${\displaystyle T-\lambda I}$

Однако ограниченность обратного делает непосредственно вытекает из его существования , если ввести дополнительное предположение , что T является закрытым ; это следует из теоремы о замкнутом графике . Тогда, как и в ограниченном случае, комплексное число λ лежит в спектре замкнутого оператора T тогда и только тогда, когда он не биективен. Отметим, что в класс замкнутых операторов входят все ограниченные операторы.${\displaystyle T-\lambda I}$

Основные свойства [ править ]

Спектр неограниченного оператора - это, вообще говоря, замкнутое, возможно, пустое подмножество комплексной плоскости. Если оператор T не замкнут , то .${\displaystyle \sigma (T)=\mathbb {C} }$

Классификация точек в спектре [ править ]

Ограниченный оператор T в банаховом пространстве обратим, т. Е. Имеет ограниченный обратный, если и только если T ограничен снизу и имеет плотный диапазон значений. Соответственно, спектр T можно разделить на следующие части:

1. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$если не ограничено снизу. В частности, это так, если не инъективно, то есть λ - собственное значение. Множество собственных значений называется точечный спектр из Т и обозначается через сг _р ( Т ). В качестве альтернативы, они могут быть взаимно однозначными, но все же не ограниченными снизу. Такое λ не является собственным значением , но все еще приближенное собственное значение из Т (собственные значения сами по себе также приближенные собственные значения). Множество приближенных собственных значений (который включает в себя точечный спектр) называется приближенное точечный спектр из Т , обозначаемый сг _ар ( Т ).${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle T-\lambda I}$
2. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$если не имеет плотного диапазона. Множество таких Й называется сжатие спектр из T , обозначается . Если не плотный диапазон , но инъективно, λ называется в остаточном спектре от Т , обозначаемого .${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cp} }(T)}$${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {res} }(T)}$

Обратите внимание, что приблизительный точечный спектр и остаточный спектр не обязательно не пересекаются (однако точечный спектр и остаточный спектр являются).

В следующих подразделах приводится более подробная информация о трех частях σ ( T ), описанных выше.

Точечный спектр [ править ]

Если оператор не инъективен (так что есть некоторые ненулевые й с Т ( х ) = 0), то это, очевидно , не обратимо. Так что если А , является собственным значением из T , один обязательно имеет λ ∈ σ ( Т ). Множество собственных значений Т также называется точечный спектр из Т , обозначим через сг _р ( Т ).

Приблизительный точечный спектр [ править ]

В более общем плане , по обратной теореме ограниченной , Т не является обратимым , если она не ограничена снизу; то есть, если не существует такого c  > 0, что || Tx || ≥  c || х || для всех х ∈ X . Таким образом, спектр включает набор приближенных собственных значений , которые являются такими λ, что T- λ I не ограничено снизу; эквивалентно, это набор λ, для которого существует последовательность единичных векторов x ₁ , x ₂ , ..., для которых

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|Tx_{n}-\lambda x_{n}\|=0}$.

Набор приближенных собственных значений известен как приближенный точечный спектр , обозначаемый .${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ap} }(T)}$

Легко видеть, что собственные значения лежат в приближенном точечном спектре.

Например, рассмотрим сдвиг вправо R на, определяемый формулой${\displaystyle l^{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1},\quad j\in \mathbb {Z} ,}$

где - стандартный ортонормированный базис в . Прямое вычисление показывает, что R не имеет собственных значений, но каждое λ с | λ | = 1 - приблизительное собственное значение; позволяя x _n быть вектором${\displaystyle {\big (}e_{j}{\big )}_{j\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle l^{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}(\dots ,0,1,\lambda ^{-1},\lambda ^{-2},\dots ,\lambda ^{1-n},0,\dots )}$

видно, что || х _п || = 1 для всех n , но

${\displaystyle \|Rx_{n}-\lambda x_{n}\|={\sqrt {\frac {2}{n}}}\to 0.}$

Поскольку R - унитарный оператор, его спектр лежит на единичной окружности. Следовательно, приближенный точечный спектр R - это весь его спектр.

Этот вывод верен и для более общего класса операторов. Унитарный оператор - это нормально . По спектральной теореме ограниченный оператор в гильбертовом пространстве H является нормальным тогда и только тогда, когда он эквивалентен (после отождествления H с пространством L ^ 2) оператору умножения . Можно показать, что приближенный точечный спектр оператора ограниченного умножения равен его спектру.

Непрерывный спектр [ править ]

Множество всех Я , для которых инъективен и имеет плотный диапазон, но не сюръективны, называется непрерывным спектром из Т , обозначим через . Следовательно, непрерывный спектр состоит из тех приближенных собственных значений, которые не являются собственными значениями и не лежат в остаточном спектре. То есть,${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle \sigma _{\mathbb {c} }(T)}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {c} }(T)=\sigma _{\mathrm {ap} }(T)\setminus (\sigma _{\mathrm {r} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T))}$.

Например, , , , инъективно и имеет плотный ряд, но . Действительно, если с таким, что не обязательно иметь , а то .${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle e_{j}\mapsto e_{j}/j}$${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathrm {Ran} (A)\subsetneq l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle x=\sum _{j\in \mathbb {N} }c_{j}e_{j}\in l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle c_{j}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \sum _{j\in \mathbb {N} }|c_{j}|^{2}<\infty }$${\displaystyle \sum _{j\in \mathbb {N} }|jc_{j}|^{2}<\infty }$${\displaystyle \sum _{j\in \mathbb {N} }jc_{j}e_{j}\not \in l^{2}(\mathbb {N} )}$

Спектр сжатия [ править ]

Набор , для которого не плотно диапазон известен как спектр сжатия от Т и обозначается .${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cp} }(T)}$

Остаточный спектр [ править ]

Набор , для которого инъективен , но не имеет плотно диапазон известен как остаточный спектр из Т и обозначаются :${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)=\sigma _{\mathrm {cp} }(T)\setminus \sigma _{\mathrm {p} }(T).}$

Оператор может быть инъективным, даже ограниченным снизу, но все же не обратимым. Сдвиг вправо на , , , такой пример. Этот оператор сдвига является изометрией , поэтому ограничен снизу числом 1. Но он не обратим, так как не сюръективен ( ) и, более того , не плотен в ( ).${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1},\,j\in \mathbb {N} }$${\displaystyle e_{1}\not \in \mathrm {Ran} (R)}$${\displaystyle \mathrm {Ran} (R)}$${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle e_{1}\not \in {\overline {\mathrm {Ran} (R)}}}$

Периферийный спектр [ править ]

Периферийный спектр оператора определяется как набор точек в его спектре, модуль которых равен его спектральному радиусу. ^[2]

Дискретный спектр [ править ]

Дискретный спектр определен как совокупность нормальных собственных значений . Эквивалентно, его можно охарактеризовать как множество изолированных точек спектра таких, что соответствующий проектор Рисса имеет конечный ранг.

Essential Spectrum [ править ]

Существует пять аналогичных определений существенного спектра замкнутого плотно определенного линейного оператора, удовлетворяющих${\displaystyle A:\,X\to X}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)\subset \sigma (A).}$

Все эти спектры совпадают в случае самосопряженных операторов.${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(A),\ 1\leq k\leq 5}$

1. Существенный спектр определяется как множество точек спектра, не являющихся полуфредгольмовыми . (Оператор является полуфредгольмовым, если его диапазон замкнут и либо его ядро, либо коядро (или оба) конечномерны.) Пример 1: для оператора , (поскольку диапазон этого оператора не замкнут: диапазон не включить все, хотя его закрытие делает). Пример 2: для , для любого (поскольку и ядро, и коядро этого оператора бесконечномерны).${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle A-\lambda I}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle A:\,e_{j}\mapsto e_{j}/j,~j\in \mathbb {N} }$${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(N)}$${\displaystyle N:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle N:\,v\mapsto 0}$${\displaystyle v\in l^{2}(\mathbb {N} )}$
2. Существенный спектр определяется как множество точек спектра, таких что оператор либо имеет бесконечномерное ядро, либо имеет диапазон, который не является замкнутым. Его также можно охарактеризовать в терминах критерия Вейля : существует последовательность в пространстве X такая, что , и такая, которая не содержит сходящейся подпоследовательности . Такая последовательность называется особой последовательностью (или особой последовательностью Вейля ). Пример: для оператора , если j четное и когда j${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(A)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle A-\lambda I}$ ${\displaystyle (x_{j})_{j\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \Vert x_{j}\Vert =1}$${\displaystyle \lim _{j\to \infty }\left\|(A-\lambda I)x_{j}\right\|=0,}$${\displaystyle (x_{j})_{j\in \mathbb {N} }}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(B)}$${\displaystyle B:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle B:\,e_{j}\mapsto e_{j/2}}$${\displaystyle e_{j}\mapsto 0}$нечетно (ядро бесконечномерно; коядро нульмерно). Обратите внимание на это .${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(B)}$
3. Существенный спектр определяется как множество точек спектра, не являющихся фредгольмовыми . (Оператор фредгольмы , если его диапазон закрыт , и оба его ядро и коядро конечномерны.) Пример: для оператора , (ядро нульмерно, Коядро бесконечномерна). Обратите внимание на это .${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(A)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle A-\lambda I}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(J)}$${\displaystyle J:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle J:\,e_{j}\mapsto e_{2j}}$${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(J)}$
4. Существенный спектр определяется как множество точек спектра, не являющихся фредгольмовыми с нулевым индексом. Его также можно охарактеризовать как самую большую часть спектра оператора A, сохраняемую компактными возмущениями. Другими словами ,; здесь обозначает множество всех компактных операторов на X . Пример: где правильный оператор сдвига, , для (его ядро равно нулю, его коядро одномерно). Обратите внимание на это .${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle A-\lambda I}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)=\bigcap _{K\in B_{0}(X)}\sigma (A+K)}$${\displaystyle B_{0}(X)}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(R)}$${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1}}$${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(R)}$
5. Существенный спектр - это объединение всех компонентов , не пересекающихся с резольвентным множеством . Его также можно охарактеризовать как . Пример: Рассмотрим оператор , для , . Так как есть . Для любого с , диапазон плотно , но не закрыт, следовательно, граница единичного круга в первом типе существенного спектра: . Для любого с , имеет замкнутый круг, одномерное ядро и одномерное коядро, так что, хотя для ; таким образом, для . Есть два компонента :${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma (A)}$${\displaystyle \sigma (A)\setminus \sigma _{\mathrm {d} }(A)}$
   ${\displaystyle T:\,l^{2}(\mathbb {Z} )\to l^{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle T:\,e_{j}\mapsto e_{j-1}}$${\displaystyle j\neq 0}$${\displaystyle T:\,e_{0}\mapsto 0}$${\displaystyle \Vert T\Vert =1}$${\displaystyle \sigma (T)\subset {\overline {\mathbb {D} _{1}}}}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\displaystyle |z|=1}$${\displaystyle T-zI}$${\displaystyle \partial \mathbb {D} _{1}\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\displaystyle |z|<1}$${\displaystyle T-zI}$${\displaystyle z\in \sigma (T)}$${\displaystyle z\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)}$${\displaystyle 1\leq k\leq 4}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)=\partial \mathbb {D} _{1}}$${\displaystyle 1\leq k\leq 4}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :\,|z|>1\}}$и . Компонент не имеет пересечения с резольвентным множеством; по определению .${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :\,|z|<1\}}$${\displaystyle \{|z|<1\}}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)=\sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)\cup \{z\in \mathbb {C} :\,|z|<1\}=\{z\in \mathbb {C} :\,|z|\leq 1\}}$

Пример: атом водорода [ править ]

Атом водорода представляет собой пример различных типов спектров. Атом водорода оператора Гамильтон , с областью имеет дискретный набор собственных значений (дискретный спектр , который в данном случае совпадает с точкой спектра , так как нет никаких собственных значений , вложенных в непрерывный спектр) , которые могут быть вычислены по формуле Ридберга . Соответствующие им собственные функции называются собственными состояниями или связанными состояниями . Конечный результат процесса ионизации описывается непрерывной частью спектра (энергия столкновения / ионизации не "квантуется"), представленной как${\displaystyle H=-\Delta -{\frac {Z}{|x|}}}$${\displaystyle Z>0}$${\displaystyle D(H)=H^{1}(\mathbb {R} ^{3})}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(H)}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(H)}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cont} }(H)=[0,+\infty )}$(он также совпадает с существенным спектром, ). ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} }(H)=[0,+\infty )}$

Спектр сопряженного оператора [ править ]

Пусть X банахово пространство и замкнутый линейный оператор с плотной областью . Если X * является сопряженным пространством X , и является эрмитово сопряженный из Т , то${\displaystyle T:\,X\to X}$${\displaystyle D(T)\subset X}$${\displaystyle T^{*}:\,X^{*}\to X^{*}}$

${\displaystyle \sigma (T^{*})={\overline {\sigma (T)}}:=\{z\in \mathbb {C} :{\bar {z}}\in \sigma (T)\}.}$

Теорема для ограниченного (или, в более общем случае , замкнут и плотно определен) оператора Т , .${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)\subset {\overline {\sigma _{\mathrm {p} }(T^{*})}}\subset \sigma _{\mathrm {r} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T)}$

Мы также получаем следующее рассуждение: X изометрически вкладывается в X ** . Следовательно, для каждого ненулевого элемента в ядре существует ненулевой элемент в X **, который обращается в нуль на . Таким образом не может быть плотным.${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(T)\subset {\overline {\sigma _{\mathrm {r} }(T^{*})\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T^{*})}}}$${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle \mathrm {Ran} (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)}$${\displaystyle \mathrm {Ran} (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)}$

Более того, если X рефлексивно, мы имеем .${\displaystyle {\overline {\sigma _{\mathrm {r} }(T^{*})}}\subset \sigma _{\mathrm {p} }(T)}$

Спектры отдельных классов операторов [ править ]

Компактные операторы [ править ]

Если T - компактный оператор или, в более общем смысле, несущественный оператор , то можно показать, что спектр счетный, что ноль - единственная возможная точка накопления и что любое ненулевое λ в спектре является собственным значением.

Квазинильпотентные операторы [ править ]

Ограниченный оператор является квазинильпотентным , если , как (другими словами, если спектральный радиус А равен нулю). Такие операторы можно эквивалентно охарактеризовать условием${\displaystyle A:\,X\to X}$${\displaystyle \Vert A^{n}\Vert ^{1/n}\to 0}$${\displaystyle n\to \infty }$

${\displaystyle \sigma (A)=\{0\}}$.

Пример такого оператора , для .${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle e_{j}\mapsto e_{j+1}/2^{j}}$${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$

Самосопряженные операторы [ править ]

Если X - гильбертово пространство, а T - самосопряженный оператор (или, в более общем смысле, нормальный оператор ), то замечательный результат, известный как спектральная теорема, дает аналог теоремы диагонализации для нормальных конечномерных операторов (эрмитовых матриц , Например).

Для самосопряженных операторов спектральные меры можно использовать для определения разложения спектра на абсолютно непрерывную, чистую точечную и сингулярную части.

Спектр реального оператора [ править ]

Определения резольвенты и спектра могут быть расширены до любого непрерывного линейного оператора, действующего в банаховом пространстве над вещественным полем (вместо комплексного поля ) посредством его комплексификации . В этом случае мы определяем резольвентное множество как множество всего такого, что обратимо как оператор, действующий в комплексифицированном пространстве ; тогда мы определяем .${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \rho (T)}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle T_{\mathbb {C} }-\lambda I}$${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \sigma (T)=\mathbb {C} \setminus \rho (T)}$

Реальный спектр [ править ]

Вещественный спектр линейного непрерывного оператора , действующего на вещественном банаховом пространстве , обозначенном , определяется как множество всех , для которых не может быть обратимым в вещественной алгебре ограниченных линейных операторов , действующих на . В этом случае у нас есть . Обратите внимание, что реальный спектр может совпадать, а может и не совпадать со сложным спектром. В частности, реальный спектр может быть пустым.${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma _{\mathbb {R} }(T)}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma (T)\cap \mathbb {R} =\sigma _{\mathbb {R} }(T)}$

Спектр унитальной банаховой алгебры [ править ]

Пусть B - комплексная банахова алгебра, содержащая единицу e . Тогда мы определим спектр а ( х ) (или более явно сг _В ( х )) элемента х из B называется множество тех комплексных чисел А , для которых λ е  -  х не обратим в В . Это расширяет определение ограниченных линейных операторов B ( X ) в банаховом пространстве X , поскольку B ( X ) - банахова алгебра.

См. Также [ править ]

• Основной спектр
• Дискретный спектр (математика)
• Самосопряженный оператор
• Псевдоспектр
• Набор резольвент

Ссылки [ править ]

• Дейлс и др., Введение в банаховы алгебры, операторы и гармонический анализ , ISBN 0-521-53584-0 
• "Спектр оператора" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]