Спектральная теория

В математике , спектральная теория является всеобъемлющим термином для теорий , расширяющих собственный вектор и собственное значение теории одной квадратной матрицы к гораздо более широкой теории структуры операторов в различных математических пространств . ^[1] Это результат исследований линейной алгебры и решений систем линейных уравнений и их обобщений. ^[2] Теория связана с теорией аналитических функций, потому что спектральные свойства оператора связаны с аналитическими функциями спектрального параметра. ^[3]

Математические основы [ править ]

Название спектральная теория было введено Дэвидом Гильбертом в его первоначальной формулировке теории гильбертова пространства , которая была выражена в терминах квадратичных форм от бесконечного числа переменных. Оригинальная спектральная теорема , следовательно , была задумана как вариант теоремы о главных осях в качестве эллипсоида , в бесконечномерной обстановке. Позднее открытие квантовой механики, что спектральная теория может объяснить особенности атомных спектровпоэтому был случайным. Сам Гильберт был удивлен неожиданным применением этой теории, отметив, что «я разработал свою теорию бесконечного множества переменных, исходя из чисто математических интересов, и даже назвал ее« спектральным анализом », не предполагая, что позже она найдет применение к реальному спектру переменных. физика ". ^[4]

Было три основных способа сформулировать спектральную теорию, каждый из которых нашел применение в различных областях. После первоначальной формулировки Гильберта последующее развитие абстрактных гильбертовых пространств и спектральная теория одиночных нормальных операторов на них хорошо соответствовали требованиям физики , примером чему служат работы фон Неймана . ^[5] Дальнейшая теория, построенная на этом, касается банаховых алгебр в целом. Это развитие приводит к представлению Гельфанда , которое охватывает коммутативный случай , и далее к некоммутативному гармоническому анализу .

Разницу можно увидеть в связи с анализом Фурье . Преобразование Фурье на вещественной прямой в каком - то смысле спектральная теория дифференциации ква дифференциального оператора . Но для того, чтобы охватить явления, нужно уже иметь дело с обобщенными собственными функциями (например, с помощью оснащенного гильбертова пространства ). С другой стороны, легко построить групповую алгебру , спектр которой отражает основные свойства преобразования Фурье, и это осуществляется с помощью двойственности Понтрягина .

Можно также изучать спектральные свойства операторов в банаховых пространствах . Например, компактные операторы в банаховых пространствах обладают многими спектральными свойствами, аналогичными свойствам матриц .

Физический фон [ править ]

Основы физики колебаний объясняются следующим образом: ^[6]

Спектральная теория связана с исследованием локализованных колебаний множества различных объектов, от атомов и молекул в химии до препятствий в акустических волноводах . У этих колебаний есть частоты , и вопрос состоит в том, чтобы решить, когда возникают такие локализованные колебания и как рассчитывать частоты. Это очень сложная проблема, поскольку каждый объект имеет не только основной тон, но и сложную серию обертонов , которые радикально меняются от тела к телу.

Такие физические идеи не имеют ничего общего с математической теорией на техническом уровне, но есть примеры косвенного участия (см., Например, вопрос Марка Каца « Вы слышите форму барабана?» ). Принятие Гильбертом термина «спектр» было приписано статье 1897 года Вильгельма Виртингера о дифференциальном уравнении Хилла ( Жана Дьедонне ), и его подхватили его ученики в течение первого десятилетия двадцатого века, в том числе Эрхард Шмидт и Герман Вейль . Концептуальная основа гильбертова пространства была разработана на основе идей Гильберта Эрхардом Шмидтом и Фриджесом Риссом.. ^[7]^[8] Почти двадцать лет спустя, когда квантовая механика была сформулирована в терминах уравнения Шредингера , связь была установлена с атомными спектрами ; связь с математической физикой вибрации подозревалась и раньше, как заметил Анри Пуанкаре , но отвергалась по простым количественным причинам из-за отсутствия объяснения ряда Бальмера . ^[9] Более позднее открытие квантовой механикой того, что спектральная теория может объяснить особенности атомных спектров, было поэтому случайным, а не предметом спектральной теории Гильберта.

Определение спектра [ править ]

Рассмотрим ограниченное линейное преобразование T, определенное всюду над общим банаховым пространством . Формируем преобразование:

R_{\zeta }=\left(\zeta I-T\right)^{-1}.

Здесь I - тождественный оператор, а ζ - комплексное число . Оператор, обратный к оператору T , то есть T ⁻¹ , определяется следующим образом:

TT^{-1}=T^{-1}T=I.

Если существует обратное, T называется регулярным . Если его не существует, T называется сингулярным .

С помощью этих определений, то резольвентное множество из Т есть множество всех комплексных чисел z , такое , что R _ζ существует и ограничен . Это множество часто обозначается как ρ (T) . Спектр из Т представляет собой множество всех комплексных чисел z , таким образом, что R _ζ не может существовать или не ограничена. Часто спектр оператора T обозначается σ (T) . Функция R _ζ для всех г в р (Т) (то есть, везде , где R _ζ существует как ограниченный оператор) называется резольвентное изT . Спектр из Т , следовательно , является дополнением к резольвентному множеству из Т в комплексной плоскости. ^[10] Каждое собственное значение из Т принадлежит а (Т) , а σ (Т) может содержать не-собственные значения. ^[11]

Это определение применимо к банаховому пространству, но, конечно, существуют и другие типы пространств, например, топологические векторные пространства включают банаховы пространства, но могут быть более общими. ^[12]^[13] С другой стороны, банаховы пространства включают гильбертовы пространства , и именно эти пространства находят наибольшее применение и богатейшие теоретические результаты. ^[14] При подходящих ограничениях можно многое сказать о структуре спектров преобразований в гильбертовом пространстве. В частности, для самосопряженных операторов спектр лежит на вещественной прямой и (в общем случае) представляет собой спектральную комбинацию точечного спектра дискретныхсобственные значения и непрерывный спектр . ^[15]

Кратко о спектральной теории [ править ]

В функциональном анализе и линейной алгебре спектральная теорема устанавливает условия, при которых оператор может быть выражен в простой форме как сумма более простых операторов. Поскольку полная строгость изложения не подходит для этой статьи, мы используем подход, который избегает большей части строгости и удовлетворения формального лечения с целью быть более понятным для неспециалистов.

Эта тема проще всего описать, вводя Бра и кет из Дирака для операторов. ^[16]^[17] В качестве примера очень частный линейный оператор L может быть записан как диадическое произведение : ^[18]^[19]

L=|k_{1}\rangle \langle b_{1}|,

с точки зрения «лифчик» ⟨ $б$ ₁ | и «кет» | $К$ ₁ ⟩. Функция $f$ описывается кетом как | $е$ ⟩. Функция $f (x),$ определенная на координатах , обозначается как $(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )$

f(x)=\langle x,f\rangle

и величина f на

\|f\|^{2}=\langle f,f\rangle =\int \langle f,x\rangle \langle x,f\rangle \,dx=\int f^{*}(x)f(x)\,dx

где обозначение «*» обозначает комплексно сопряженное число . Этот выбор внутреннего продукта определяет очень конкретное внутреннее пространство продукта , ограничивая общность следующих аргументов. ^[14]

Влияние L на функцию f описывается следующим образом:

L|f\rangle =|k_{1}\rangle \langle b_{1}|f\rangle

выражая результат, заключающийся в том, что влияние L на f заключается в создании новой функции, умноженной на внутренний продукт, представленный как . $|k_{1}\rangle$ $\langle b_{1}|f\rangle$

Более общий линейный оператор L может быть выражен как:

L=\lambda _{1}|e_{1}\rangle \langle f_{1}|+\lambda _{2}|e_{2}\rangle \langle f_{2}|+\lambda _{3}|e_{3}\rangle \langle f_{3}|+\dots ,

где скаляры и является основой и взаимным базисом для пространства. Отношения между базисом и взаимным основанием частично описываются: $\{\,\lambda _{i}\,\}$ $\{\,|e_{i}\rangle \,\}$ $\{\,\langle f_{i}|\,\}$

\langle f_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}

Если применяется такой формализм, то есть собственные значения из L и функции являются собственными функциями из L . Собственные значения в спектре из L . ^[20] $\{\,\lambda _{i}\,\}$ $\{\,|e_{i}\rangle \,\}$

Возникают естественные вопросы: при каких обстоятельствах этот формализм работает и для каких операторов L возможны разложения в ряды других операторов, подобных этому? Можно ли выразить любую функцию f через собственные функции (являются ли они базисом Шаудера ) и при каких обстоятельствах возникает точечный спектр или непрерывный спектр? Чем отличаются формализмы для бесконечномерных пространств и конечномерных пространств? Можно ли распространить эти идеи на более широкий класс пространств? Ответы на такие вопросы - это область спектральной теории, которая требует значительных знаний в области функционального анализа и матричной алгебры .

Разрешение личности [ править ]

Этот раздел продолжается в грубой и готовой манере предыдущего раздела с использованием обозначений на скобках и замалчивания многих важных деталей строгого обращения. ^[21] Строгую математическую трактовку можно найти в различных источниках. ^[22] В частности, размерность n пространства будет конечной.

Используя обозначения скобок из предыдущего раздела, тождественный оператор можно записать как:

I=\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|

где предполагается, как и выше, что { } являются базисом, а { } - взаимным базисом для пространства, удовлетворяющего соотношению: $|e_{i}\rangle$ $\langle f_{i}|$

\langle f_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}.

Это выражение операции идентичности называется представлением или разрешением идентичности. ^[21]^,^[22] Это формальное представление удовлетворяет основному свойству тождества:

I^{k}=I\,

справедливо для любого натурального числа k .

Применяя разрешение тождества к любой функции в пространстве , получаем: $|\psi \rangle$

I|\psi \rangle =|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}\ c_{i}|e_{i}\rangle

которое является обобщенным разложением Фурье функции ψ по базисным функциям {e _i }. ^[23] Вот . $c_{i}=\langle f_{i}|\psi \rangle$

Для некоторого операторного уравнения вида:

O|\psi \rangle =|h\rangle

с h в пространстве, это уравнение может быть решено в указанном выше базисе с помощью формальных манипуляций:

O|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}\left(O|e_{i}\rangle \right)=\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|h\rangle ,

\langle f_{j}|O|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}\langle f_{j}|O|e_{i}\rangle =\sum _{i=1}^{n}\langle f_{j}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|h\rangle =\langle f_{j}|h\rangle ,\quad \forall j

который преобразует уравнение оператора к матричному уравнению определения неизвестных коэффициентов гр _J в терминах обобщенных коэффициентов Фурье от ч и матричных элементов оператора O . $\langle f_{j}|h\rangle$ $O_{ji}=\langle f_{j}|O|e_{i}\rangle$

Роль спектральной теории заключается в установлении природы и существования основы и взаимной основы. В частности, базис может состоять из собственных функций некоторого линейного оператора L :

L|e_{i}\rangle =\lambda _{i}|e_{i}\rangle \,;

с { λ _я } собственных значений L от спектра L . Тогда разрешение тождества выше обеспечивает диадное расширение L :

LI=L=\sum _{i=1}^{n}L|e_{i}\rangle \langle f_{i}|=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|.

Оператор резольвента [ править ]

Используя спектральную теорию, резольвентный оператор R :

R=(\lambda I-L)^{-1},\,

может быть оценен с точки зрения собственных функций и собственных значений L , и функция Грина, соответствующая L, может быть найдена.

Применяя R к некоторой произвольной функции в пространстве, скажем , $\varphi$

R|\varphi \rangle =(\lambda I-L)^{-1}|\varphi \rangle =\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\lambda -\lambda _{i}}}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\varphi \rangle .

Эта функция имеет полюсы в комплексной Х - плоскости на каждом собственное значение L . Таким образом, используя исчисление вычетов :

{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}R|\varphi \rangle d\lambda =-\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\varphi \rangle =-|\varphi \rangle ,

где интегральная линия находится над контуром С , который включает в себя все собственных значениях L .

Предположим, что наши функции определены по некоторым координатам { x _j }, а именно:

\langle x,\varphi \rangle =\varphi (x_{1},x_{2},...).

Вводя обозначения

\langle x,y\rangle =\delta (x-y),

где δ (x - y) = δ (x ₁ - y ₁ , x ₂ - y ₂ , x ₃ - y ₃ , ...) - дельта-функция Дирака , ^[24] мы можем записать

\langle x,\varphi \rangle =\int \langle x,y\rangle \langle y,\varphi \rangle dy.

Потом:

{\begin{aligned}\left\langle x,{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {\varphi }{\lambda I-L}}d\lambda \right\rangle &={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}d\lambda \left\langle x,{\frac {\varphi }{\lambda I-L}}\right\rangle \\&={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}d\lambda \int dy\left\langle x,{\frac {y}{\lambda I-L}}\right\rangle \langle y,\varphi \rangle \end{aligned}}

Функция G (x, y; λ) определяется следующим образом:

{\begin{aligned}G(x,y;\lambda )&=\left\langle x,{\frac {y}{\lambda I-L}}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\langle x,e_{i}\rangle \left\langle f_{i},{\frac {e_{j}}{\lambda I-L}}\right\rangle \langle f_{j},y\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\langle x,e_{i}\rangle \langle f_{i},y\rangle }{\lambda -\lambda _{i}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {e_{i}(x)f_{i}^{*}(y)}{\lambda -\lambda _{i}}},\end{aligned}}

называется функцией Грина для оператора L и удовлетворяет: ^[25]

{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}G(x,y;\lambda )\,d\lambda =-\sum _{i=1}^{n}\langle x,e_{i}\rangle \langle f_{i},y\rangle =-\langle x,y\rangle =-\delta (x-y).

Операторные уравнения [ править ]

Рассмотрим операторное уравнение:

(O-\lambda I)|\psi \rangle =|h\rangle ;

по координатам:

\int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \langle y,\psi \rangle \,dy=h(x).

Частный случай - λ = 0.

Функция Грина из предыдущего раздела:

\langle y,G(\lambda )z\rangle =\left\langle y,(O-\lambda I)^{-1}z\right\rangle =G(y,z;\lambda ),

и удовлетворяет:

\int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \langle y,G(\lambda )z\rangle \,dy=\int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \left\langle y,(O-\lambda I)^{-1}z\right\rangle \,dy=\langle x,z\rangle =\delta (x-z).

Используя это свойство функции Грина:

\int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle G(y,z;\lambda )\,dy=\delta (x-z).

Затем, умножая обе части этого уравнения на h ( z ) и интегрируя:

\int dz\,h(z)\int dy\,\langle x,(O-\lambda I)y\rangle G(y,z;\lambda )=\int dy\,\langle x,(O-\lambda I)y\rangle \int dz\,h(z)G(y,z;\lambda )=h(x),

что предполагает решение:

\psi (x)=\int h(z)G(x,z;\lambda )\,dz.

То есть функция ψ ( x ), удовлетворяющая операторному уравнению, находится, если мы можем найти спектр O и построить G , например, используя:

G(x,z;\lambda )=\sum _{i=1}^{n}{\frac {e_{i}(x)f_{i}^{*}(z)}{\lambda -\lambda _{i}}}.

Есть много других способов , чтобы найти G , конечно. ^[26] См. Статьи о функциях Грина и интегральных уравнениях Фредгольма . Следует иметь в виду, что приведенная выше математика является чисто формальной, и ее строгое рассмотрение включает в себя довольно сложную математику, включая хорошее базовое знание функционального анализа , гильбертовых пространств , распределений и так далее. Обратитесь к этим статьям и ссылкам для получения более подробной информации.

Спектральная теорема и фактор Рэлея [ править ]

Задачи оптимизации могут быть наиболее полезными примерами о комбинаторной значимости собственных значений и собственных векторов в симметричных матриц, особенно для частного Рэлея по отношению к матрице М .

Теорема Пусть M симметричная матрица , и пусть х будет ненулевой вектор , который максимизирует фактор Рэлея относительно М . Тогда x является собственным вектором M с собственным значением, равным коэффициенту Рэлея . Кроме того, это собственное значение наибольшее собственное значение M .

Доказательство. Предположим, что спектральная теорема. Пусть собственные значения M равны . Поскольку { } образуют ортонормированный базис , любой вектор x может быть выражен в этом базисе как $\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots \leq \lambda _{n}$ $v_{i}$

x=\sum _{i}v_{i}^{T}xv_{i}

Доказать эту формулу довольно просто. А именно,

{\begin{aligned}v_{j}^{T}\sum _{i}v_{i}^{T}xv_{i}\\[4pt]={}&\sum _{i}v_{i}^{T}xv_{j}^{T}v_{i}\\[4pt]={}&(v_{j}^{T}x)v_{j}^{T}v_{j}\\[4pt]={}&v_{j}^{T}x\end{aligned}}

оценить фактор Рэлея по x:

{\begin{aligned}&x^{T}Mx\\[4pt]={}&\left(\sum _{i}(v_{i}^{T}x)v_{i}\right)^{T}M\left(\sum _{j}(v_{j}^{T}x)v_{j}\right)\\[4pt]={}&\left(\sum _{i}(v_{i}^{T}x)v_{i}^{T}\right)\left(\sum _{j}(v_{j}^{T}x)v_{j}\lambda _{j}\right)\\[4pt]={}&\sum _{i,j}(v_{i}^{T}x)v_{i}^{T}(v_{j}^{T}x)v_{j}\lambda _{j}\\[4pt]={}&\sum _{j}(v_{j}^{T}x)(v_{j}^{T}x)\lambda _{j}\\[4pt]={}&\sum _{j}(v_{j}^{T}x)^{2}\lambda _{j}\leq \lambda _{n}\sum _{j}(v_{j}^{T}x)^{2}\\[4pt]={}&\lambda _{n}x^{T}x,\end{aligned}}

где мы использовали личность Парсеваля в последней строке. В итоге получаем, что

{\frac {x^{T}Mx}{x^{T}x}}\leq \lambda _{n}

поэтому коэффициент Рэлея всегда меньше . ^[27] $\lambda _{n}$

См. Также [ править ]

Спектр (функциональный анализ) , формализм резольвент , разложение спектра (функциональный анализ)
Спектральный радиус , Спектр оператора , Спектральная теорема
Спектральная теория компактных операторов
Спектральная теория нормальных C * -алгебр
Функции операторов , Теория операторов
Проектор Рисса
Самосопряженный оператор
Теория Штурма – Лиувилля , Интегральные уравнения , Теория Фредгольма.
Компактные операторы , Изоспектральные операторы, Полнота.
Слабые пары
Спектральная геометрия
Теория спектральных графов
Список тем функционального анализа

Заметки [ править ]

^ Жан Александр Дьедонне (1981). История функционального анализа . Эльзевир. ISBN 0-444-86148-3.
^ Уильям Арвесон (2002). «Глава 1: спектральная теория и банаховы алгебры». Краткий курс спектральной теории . Springer. ISBN 0-387-95300-0.
↑ Виктор Антонович Садовничий (1991). «Глава 4: Геометрия гильбертова пространства: спектральная теория операторов» . Теория операторов . Springer. п. 181 и след . ISBN 0-306-11028-8.
^ Стин, Линн Артур. «Основные моменты истории спектральной теории» (PDF) . Колледж Святого Олафа . Колледж Святого Олафа. Архивировано из оригинального (PDF) 4 марта 2016 года . Проверено 14 декабря 2015 года .
^ Джон фон Нейман (1996). Математические основы квантовой механики; Том 2 в серии Princeton Landmarks in Mathematics(Перепечатка перевода оригинала изд. 1932 г.). Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02893-1.
^ Э. Брайан Дэвис , цитируется на веб-сайте аналитической группы Королевского колледжа Лондона «Исследования в аналитической группе» .
^ Николас Янг (1988). Введение в гильбертово пространство . Издательство Кембриджского университета. п. 3. ISBN 0-521-33717-8.
↑ Жан-Люк Дориер (2000). Об обучении линейной алгебре; Vol. 23 библиотеки математического образования . Springer. ISBN 0-7923-6539-9.
^ Ср. Спектры в математике и физике. Архивировано 27 июля 2011 г.на Wayback Machine Джин Мохин, стр. 4 и 10-11.
↑ Эдгар Раймонд Лорч (2003). Spectral Theory (Перепечатка Oxford 1962 ed.). Издатели учебников. п. 89. ISBN 0-7581-7156-0.
^ Николас Янг (1988-07-21).op. cit. п. 81. ISBN 0-521-33717-8.
Перейти ↑ Helmut H. Schaefer, Manfred PH Wolff (1999). Топологические векторные пространства (2-е изд.). Springer. п. 36. ISBN 0-387-98726-6.
^ Дмитрий Петрович Желобенко (2006). Основные структуры и методы теории представлений . Американское математическое общество. ISBN 0821837311.
^ a b Эдгар Раймонд Лорч (2003). «Глава III: Гильбертово пространство».op. соч.. п. 57. ISBN 0-7581-7156-0.
↑ Эдгар Раймонд Лорч (2003). «Глава V: Структура самосопряженных преобразований».op. соч.. п. 106 сл . ISBN 0-7581-7156-0.
^ Бернард Фридман (1990). Принципы и методы прикладной математики (переиздание изд. Wiley 1956 г.). Dover Publications. п. 26. ISBN 0-486-66444-9.
^ Дирак (1981). Принципы квантовой механики (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета. п. 29 сл . ISBN 0-19-852011-5.
^ Jürgen Audretsch (2007). «Глава 1.1.2: Линейные операторы в гильбертовом пространстве» . Запутанные системы: новые направления в квантовой физике . Wiley-VCH. п. 5. ISBN 978-3-527-40684-5.
^ RA Хоулэнд (2006). Промежуточная динамика: линейно-алгебраический подход (2-е изд.). Birkhäuser. п. 69 сл . ISBN 0-387-28059-6.
^ Бернард Фридман (1990). «Глава 2: Спектральная теория операторов». op. соч . п. 57. ISBN 0-486-66444-9.
^ a b См. обсуждение в упомянутой выше книге Дирака и Милана Вуичича (2008). Линейная алгебра подробно объяснена . Springer. п. 274. ISBN 978-3-540-74637-9.
^ a b См., например, основной текст Джона фон Неймана (1955).op. cit. ISBN 0-691-02893-1.и Арч В. Нейлор, Джордж Р. Селл (2000). Теория линейных операторов в технике и науке; Vol. 40 прикладных математических наук . Springer. п. 401. ISBN. 0-387-95001-X., Стивен Роман (2008). Продвинутая линейная алгебра (3-е изд.). Springer. ISBN 978-0-387-72828-5., Югрий Макарович Березанский (1968). Разложения по собственным функциям самосопряженных операторов; Vol. 17 в Переводах математических монографий . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1567-9.
^ См., Например, Джеральд Б. Фолланд (2009). «Сходимость и полнота» . Анализ Фурье и его приложения (Перепечатка Wadsworth & Brooks / Cole 1992 ed.). Американское математическое общество. стр. 77 и далее . ISBN 978-0-8218-4790-9.
^ Дирак (1981).op. cit. п. 60 сл . ISBN 0-19-852011-5.
^ Бернард Фридман (1956).op. cit. п. 214, уравнение. 2.14. ISBN 0-486-66444-9.
^ Например, см. Садри Хассани (1999). «Глава 20: Функции Грина в одном измерении» . Математическая физика: современное введение в ее основы . Springer. п. 553 и след . ISBN 0-387-98579-4.и Цин-Хуа Цинь (2007). Функция Грина и граничные элементы многополевых материалов . Эльзевир. ISBN 978-0-08-045134-3.
^ Спилман, Дэниел А. «Лекционные заметки по теории спектральных графов» Йельского университета (2012) http://cs.yale.edu/homes/spielman/561/ .

Ссылки [ править ]

Эдвард Брайан Дэвис (1996). Спектральная теория и дифференциальные операторы; Том 42 в Кембриджских исследованиях по высшей математике . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-58710-7.
Нельсон Данфорд; Джейкоб Т. Шварц (1988). Линейные операторы, спектральная теория, самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве (часть 2) (переиздание в мягкой обложке изд. 1967 г.). Вайли. ISBN 0-471-60847-5.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Нельсон Данфорд; Джейкоб Т. Шварц (1988). Линейные операторы, спектральные операторы (часть 3) (переиздание в мягкой обложке изд. 1971 г.). Вайли. ISBN 0-471-60846-7.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Садри Хассани (1999). «Глава 4: Спектральное разложение» . Математическая физика: современное введение в ее основы . Springer. ISBN 0-387-98579-4.
"Спектральная теория линейных операторов" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Шмуэль Канторовиц (1983). Спектральная теория операторов банахова пространства; . Springer.
Арч В. Нейлор, Джордж Р. Селл (2000). «Глава 5, Часть B: Спектр» . Теория линейных операторов в технике и науке; Том 40 прикладных математических наук. Springer. п. 411. ISBN 0-387-95001-X.
Джеральд Тешл (2009). Математические методы в квантовой механике; С приложениями к операторам Шредингера . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4660-5.
Вальтер Моретти (2018). Спектральная теория и квантовая механика; Математические основы квантовых теорий, симметрий и введение в алгебраические формулировки 2-е издание . Springer. ISBN 978-3-319-70705-1.

Внешние ссылки [ править ]

Эванс М. Харрелл II : Краткая история теории операторов
Грегори Х. Мур (1995). «Аксиоматизация линейной алгебры: 1875-1940». Historia Mathematica . 22 (3): 262–303. DOI : 10.1006 / hmat.1995.1025 .
Стин, Лос-Анджелес (апрель 1973 г.). «Основные моменты истории спектральной теории». Американский математический ежемесячник . 80 (4): 359. DOI : 10,2307 / 2319079 .

[Dieudonné-1] Жан Александр Дьедонне (1981). История функционального анализа . Эльзевир. ISBN 0-444-86148-3.

[Arveson-2] Уильям Арвесон (2002). «Глава 1: спектральная теория и банаховы алгебры». Краткий курс спектральной теории . Springer. ISBN 0-387-95300-0.

[Sadovnichiĭ-3] Виктор Антонович Садовничий (1991). «Глава 4: Геометрия гильбертова пространства: спектральная теория операторов» . Теория операторов . Springer. п. 181 и след . ISBN 0-306-11028-8.

[4] Стин, Линн Артур. «Основные моменты истории спектральной теории» (PDF) . Колледж Святого Олафа . Колледж Святого Олафа. Архивировано из оригинального (PDF) 4 марта 2016 года . Проверено 14 декабря 2015 года .

[vonNeumann-5] Джон фон Нейман (1996). Математические основы квантовой механики; Том 2 в серии Princeton Landmarks in Mathematics(Перепечатка перевода оригинала изд. 1932 г.). Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02893-1.

[Davies-6] Э. Брайан Дэвис , цитируется на веб-сайте аналитической группы Королевского колледжа Лондона «Исследования в аналитической группе» .

[Young-7] Николас Янг (1988). Введение в гильбертово пространство . Издательство Кембриджского университета. п. 3. ISBN 0-521-33717-8.

[Dorier-8] Жан-Люк Дориер (2000). Об обучении линейной алгебре; Vol. 23 библиотеки математического образования . Springer. ISBN 0-7923-6539-9.

[9] Ср. Спектры в математике и физике. Архивировано 27 июля 2011 г.на Wayback Machine Джин Мохин, стр. 4 и 10-11.

[Lorch-10] Эдгар Раймонд Лорч (2003). Spectral Theory (Перепечатка Oxford 1962 ed.). Издатели учебников. п. 89. ISBN 0-7581-7156-0.

[Young2-11] Николас Янг (1988-07-21).op. cit. п. 81. ISBN 0-521-33717-8.

[Wolff-12] Перейти ↑ Helmut H. Schaefer, Manfred PH Wolff (1999). Топологические векторные пространства (2-е изд.). Springer. п. 36. ISBN 0-387-98726-6.

[Zhelobenko-13] Дмитрий Петрович Желобенко (2006). Основные структуры и методы теории представлений . Американское математическое общество. ISBN 0821837311.

[Lorch2-14] Эдгар Раймонд Лорч (2003). «Глава III: Гильбертово пространство».op. соч.. п. 57. ISBN 0-7581-7156-0.

[Lorch3-15] Эдгар Раймонд Лорч (2003). «Глава V: Структура самосопряженных преобразований».op. соч.. п. 106 сл . ISBN 0-7581-7156-0.

[Friedman-16] Бернард Фридман (1990). Принципы и методы прикладной математики (переиздание изд. Wiley 1956 г.). Dover Publications. п. 26. ISBN 0-486-66444-9.

[Dirac-17] Дирак (1981). Принципы квантовой механики (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета. п. 29 сл . ISBN 0-19-852011-5.

[Audretsch-18] Jürgen Audretsch (2007). «Глава 1.1.2: Линейные операторы в гильбертовом пространстве» . Запутанные системы: новые направления в квантовой физике . Wiley-VCH. п. 5. ISBN 978-3-527-40684-5.

[Howland-19] RA Хоулэнд (2006). Промежуточная динамика: линейно-алгебраический подход (2-е изд.). Birkhäuser. п. 69 сл . ISBN 0-387-28059-6.

[Friedman2-20] Бернард Фридман (1990). «Глава 2: Спектральная теория операторов». op. соч . п. 57. ISBN 0-486-66444-9.

[Vujičić-21] См. обсуждение в упомянутой выше книге Дирака и Милана Вуичича (2008). Линейная алгебра подробно объяснена . Springer. п. 274. ISBN 978-3-540-74637-9.

[rigor-22] См., например, основной текст Джона фон Неймана (1955).op. cit. ISBN 0-691-02893-1.и Арч В. Нейлор, Джордж Р. Селл (2000). Теория линейных операторов в технике и науке; Vol. 40 прикладных математических наук . Springer. п. 401. ISBN. 0-387-95001-X., Стивен Роман (2008). Продвинутая линейная алгебра (3-е изд.). Springer. ISBN 978-0-387-72828-5., Югрий Макарович Березанский (1968). Разложения по собственным функциям самосопряженных операторов; Vol. 17 в Переводах математических монографий . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1567-9.

[Folland-23] См., Например, Джеральд Б. Фолланд (2009). «Сходимость и полнота» . Анализ Фурье и его приложения (Перепечатка Wadsworth & Brooks / Cole 1992 ed.). Американское математическое общество. стр. 77 и далее . ISBN 978-0-8218-4790-9.

[Dirac3-24] Дирак (1981).op. cit. п. 60 сл . ISBN 0-19-852011-5.

[Friedman3-25] Бернард Фридман (1956).op. cit. п. 214, уравнение. 2.14. ISBN 0-486-66444-9.

[Green-26] Например, см. Садри Хассани (1999). «Глава 20: Функции Грина в одном измерении» . Математическая физика: современное введение в ее основы . Springer. п. 553 и след . ISBN 0-387-98579-4.и Цин-Хуа Цинь (2007). Функция Грина и граничные элементы многополевых материалов . Эльзевир. ISBN 978-0-08-045134-3.

[27] Спилман, Дэниел А. «Лекционные заметки по теории спектральных графов» Йельского университета (2012) http://cs.yale.edu/homes/spielman/561/ .

[1]

vтеСпектральная теория и * -алгебры
Базовые концепты	Инволюция / * - алгебра Банахова алгебра B * -алгебра C * -алгебра Некоммутативная топология Прогнозно-оценочная мера Спектр Спектр C * -алгебры Спектральный радиус Операторское пространство
Основные результаты	Теорема Гельфанда – Мазура. Теорема Гельфанда – Наймарка. Представительство Гельфанда Полярное разложение Разложение по сингулярным числам Спектральная теорема Спектральная теория нормальных C * -алгебр
Специальные элементы / операторы	Изоспектральный Нормальный оператор Эрмитов / самосопряженный оператор Унитарный оператор Единица измерения
Спектр	Теорема Крейна – Рутмана. Нормальное собственное значение Спектр C * -алгебры Спектральный радиус Спектральная асимметрия Спектральный промежуток
Разложение спектра	( Непрерывный Точка Остаточный ) Примерная точка Сжатие Дискретный Спектральная абсцисса
Спектральная теорема	Функциональное исчисление Бореля Теорема мин-макс Прогнозно-оценочная мера Проектор Рисса Оснащенное гильбертово пространство Спектральная теорема Спектральная теория компактных операторов Спектральная теория нормальных C * -алгебр
Специальные алгебры	Аменабельная банахова алгебра С приблизительной идентичностью Банахова функциональная алгебра Дисковая алгебра Равномерная алгебра
Конечномерный	Граница Алон – Боппана Теорема Бауэра – Фике. Числовой диапазон Теорема Шура – Хорна
Обобщения	Спектр Дирака Основной спектр Псевдоспектр Структурное пространство ( граница Шилова )
Разное	Абстрактная индексная группа Когомологии банаховой алгебры Теорема факторизации Коэна – Хьюитта Расширения симметричных операторов Принцип ограничения поглощения Неограниченный оператор
Примеры	Винеровская алгебра
Приложения	Оператор почти Матье Теорема короны Слушание формы барабана ( собственное значение Дирихле ) Тепловое ядро Формула следа Кузнецова Слабая пара Функция прото-значения График Рамануджана Неравенство Рэлея – Фабера – Крана. Спектральная геометрия Спектральный метод Спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений Теория Штурма – Лиувилля Сверхсильное приближение Оператор трансфера Теория трансформации Закон Вейля