Некоммутативный гармонический анализ

В математике , некоммутативный гармонический анализ является полем , в котором результаты анализа Фурье распространяется на топологические группы , которые не являются коммутативными . ^[1] Поскольку локально компактные абелевы группы имеют хорошо изученную теорию, двойственность Понтрягина , которая включает в себя основные структуры рядов Фурье и преобразований Фурье , основной задачей некоммутативного гармонического анализа обычно считается расширение теории на все группы G , локально компактные . СлучайКомпактные группы понимаются качественно и после теоремы Питера – Вейля 1920-х годов как в целом аналогичные теории конечных групп и их теории характеров .

Таким образом, основная задача - это локально компактный, некомпактный и некоммутативный случай группы G. Интересные примеры включают множество групп Ли , а также алгебраические группы над p-адическими полями . Эти примеры представляют интерес и часто применяются в математической физике и современной теории чисел , особенно в автоморфных представлениях .

Чего ожидать, известно как результат основной работы Джона фон Неймана . Он показал , что если групповая алгебра фон Неймана из G имеет тип I, то L ² ( G ) в виде унитарного представления о G является прямой интеграл неприводимых представлений. Следовательно, он параметризуется унитарным двойственным набором классов изоморфизма таких представлений, которому задана топология ядра-оболочки . Аналог теоремы Планшереля абстрактно дается путем определения меры на унитарном двойственном элементе, меры Планшереля, по которому берется прямой интеграл. (Для двойственности Понтрягина мера Планшереля - это некоторая мера Хаара на группе, двойственной к G , поэтому единственной проблемой является ее нормализация.) Для общих локально компактных групп или даже счетных дискретных групп групповая алгебра фон Неймана не обязательно должна быть типа I. и регулярное представление группы G не может быть записано в терминах неприводимых представлений, даже если оно унитарно и полностью приводимо. Примером, где это происходит, является бесконечная симметрическая группа, где групповая алгебра фон Неймана является гиперконечным фактором типа II ₁ . Дальнейшая теория делит меру Планшереля на дискретную и непрерывную части. Для полупростых групп, и классы разрешимых групп Ли доступна очень подробная теория. ^[2]

См. Также [ править ]

• Формула следа Сельберга
• Программа Langlands
• Теория орбиты Кириллова
• Представление дискретной серии
• Зональная сферическая функция

Ссылки [ править ]

• «Некоммутативный гармонический анализ: в честь Жака Кармона», Жак Кармона, Патрик Делорм, Мишель Вернь; Издатель Springer, 2004 ISBN  0-8176-3207-7 ^[3]
• Юрий Иванович Любич. Введение в теорию банаховых представлений групп . Перевод с русскоязычного издания 1985 г. (Харьков, Украина). Birkhäuser Verlag. 1988 г.

Заметки [ править ]