Алгебраическая группа

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В алгебраической геометрии , алгебраическая группа (или группа , многообразие ) представляет собой группу , которая представляет собой алгебраическое многообразие , так что операции умножения и инверсии определяются обычные карты на многообразии.

В терминах теории категорий алгебраическая группа - это групповой объект в категории алгебраических многообразий.

Классы [ править ]

Несколько важных классов групп представляют собой алгебраические группы, в том числе:

• Конечные группы
• GL ( п , Р ), то линейная группа из обратимых матриц над полем F , и его алгебраические подгруппы.
• Группы реактивных двигателей
• Эллиптические кривые и их обобщения как абелевы многообразия

Существуют и другие алгебраические группы, но структурная теорема Шевалле утверждает, что каждая алгебраическая группа является расширением абелевого многообразия с помощью линейной алгебраической группы . Точнее, если K - совершенное поле , а G - алгебраическая группа над K , существует единственная нормальная замкнутая подгруппа H в G , такая что H - линейная алгебраическая группа, а G / H - абелево многообразие.

Согласно другой основной теореме ^{[ какая? ]} , любая группа, которая также является аффинным многообразием, имеет точное конечномерное линейное представление : она изоморфна матричной группе , определяемой полиномиальными уравнениями .

Над полями действительных и комплексных чисел каждая алгебраическая группа также является группой Ли , но обратное неверно.

Групповая схема является обобщением алгебраической группы , что позволяет, в частности, работает над коммутативным кольцом вместо поля.

Алгебраическая подгруппа [ править ]

Алгебраическая подгруппа алгебраической группы является Зарискому-замкнутой подгруппой . Обычно они считаются связанными (или неприводимыми как разновидность).

Другой способ выразить условие - это подгруппа, которая также является подмногообразием .

Это также можно обобщить, разрешив схемы вместо разновидностей. Основным эффектом этого на практике, помимо допуска подгрупп, в которых связная компонента имеет конечный индекс> 1, является допуск нередуцированных схем в характеристике p .

Группы Кокстера [ править ]

Существует ряд аналогичных результатов между алгебраическими группами и группами Кокстера - например, количество элементов симметрической группы равно , а количество элементов общей линейной группы над конечным полем равно q -факториалу ; таким образом, симметричная группа ведет себя так, как если бы она была линейной группой над «полем с одним элементом». Это формализуется полем с одним элементом , которое рассматривает группы Кокстера как простые алгебраические группы над полем с одним элементом.${\ displaystyle n!}$ ${\ displaystyle [n] _ {q}!}$

Словарь алгебраических групп [ править ]

Существует ряд математических понятий для изучения и классификации алгебраических групп.

В дальнейшем G обозначает алгебраическую группу над полем k .

понятие	объяснение	пример	примечания
линейная алгебраическая группа	Замкнутая подгруппа Зарисского для некоторого n${\ displaystyle {\ rm {GL}} _ {n}}$	S L п {\ displaystyle {\ rm {SL}} _ {n}}	Каждая аффинная алгебраическая группа изоморфна линейной алгебраической группе, и наоборот.
аффинная алгебраическая группа	Алгебраическая группа, являющаяся аффинным многообразием	грамм L п {\ displaystyle {\ rm {GL}} _ {n}} , не пример: эллиптическая кривая	Понятие аффинной алгебраической группы подчеркивает независимость от любого вложения в ${\ displaystyle {\ rm {GL}} _ {n}}$
коммутативный	Основная (абстрактная) группа абелева .	${\displaystyle {\mathbb {G} }_{a}}$( аддитивная группа ), ( мультипликативная группа ), [1] любая полная алгебраическая группа (см. абелево многообразие )${\displaystyle {\mathbb {G} }_{m}}$
диагонализуемая группа	Замкнутая подгруппа , группа диагональных матриц (размер п матрицы с размерностью п )${\displaystyle (\mathbb {G} _{m})^{n}}$
простая алгебраическая группа	Связная группа, не имеющая нетривиальных связных нормальных подгрупп	${\displaystyle {\rm {SL}}_{n}}$
полупростая группа	Аффинная алгебраическая группа с тривиальным радикалом	${\displaystyle {\rm {SL}}_{n}}$, ${\displaystyle {\rm {SO}}_{n}}$	В нулевой характеристике алгебра Ли полупростой группы является полупростой алгеброй Ли
восстановительная группа	Аффинная алгебраическая группа с тривиальным унипотентным радикалом	Любая конечная группа, ${\displaystyle {\rm {GL}}_{n}}$	Любая полупростая группа редуктивна
унипотентная группа	Аффинная алгебраическая группа такая, что все элементы унипотентны	Группа верхних треугольного п матрицы с размерностью п матриц со всеми диагональными элементами , равные 1	Любая унипотентная группа нильпотентна
тор	Группа , которая становится изоморфным при переходе к алгебраическому замыканию в к .${\displaystyle (\mathbb {G} _{m})^{n}}$	${\displaystyle {\rm {SO}}_{2}}$	Говорят, что G расщепляется некоторым большим полем k ' , если G становится изоморфной G m n как алгебраическая группа над k'.
группа характеров X ∗ ( G )	Группа характеров, т. Е. Гомоморфизмы групп ${\displaystyle G\rightarrow {\mathbb {G} }_{m}}$	${\displaystyle X^{*}(\mathbb {G} _{m})\cong \mathbb {Z} }$
Алгебра Ли Lie ( G )	Касательное пространство из G в единице.	${\displaystyle {\rm {Lie}}({\rm {GL}}_{n})}$это пространство всех N матрицы с размерностью п матриц	Эквивалентно пространство всех левоинвариантных дифференцирований .

См. Также [ править ]

• Алгебраическая топология (объект)
• Подгруппа Бореля
• Приручить группу
• Ранг Морли
• Гипотеза Черлина – Зильбера.
• Адельная алгебраическая группа
• Псевдоредуктивная группа

Ссылки [ править ]

• Chevalley, Claude, ed. (1958), Séminaire C. Chevalley, 1956-1958. Classification des groupes de Lie algébriques , 2 vols, Paris: Secrétariat Mathématique, MR  0106966 , перепечатано как том 3 собрания сочинений Шевалле., Заархивировано из оригинала 30 августа 2013 г. , извлечено 25 июня 2012 г.
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Линейные алгебраические группы , Тексты для выпускников по математике , 21 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90108-4, MR  0396773
• Ланг, Серж (1983), абелевы разновидности , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90875-5
• Милн Дж. С. Схемы аффинных групп; Алгебры Ли; Группы Ли; Редуктивные группы; Арифметические подгруппы
• Мамфорд, Дэвид (1970), абелевы разновидности , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC  138290
• Спрингер, Тонни А. (1998), Линейные алгебраические группы , Progress in Mathematics, 9 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4021-7, Руководство по ремонту  1642713
• Уотерхаус, Уильям К. (1979), Введение в аффинные групповые схемы , Тексты для выпускников по математике, 66 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90421-4
• Weil, André (1971), Courbes algébriques et varétés abéliennes , Париж: Hermann, OCLC  322901

Дальнейшее чтение [ править ]

• Алгебраические группы и их алгебры Ли Дэниела Миллера