Локально компактная абелева группа

В некоторых областях математики , включая гармонический анализ , топологию и теорию чисел , локально компактные абелевы группы являются абелевыми группами, имеющими особенно удобную топологию. Например, группа целых чисел (с дискретной топологией ), действительные числа или круг (обе с их обычной топологией) являются локально компактными абелевыми группами.

Определение и примеры [ править ]

Топологическая группа называется локально компактной , если топологическое пространство локально компактно и хаусдорфово ; топологическая группа называется абелевой, если основная группа абелева .

Примеры локально компактных абелевых групп включают:

• ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$для n положительное целое число с векторным сложением как групповой операцией.
• В положительных действительных числах с умножением в качестве операции. Эта группа изоморфна экспоненциальным отображением.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ Displaystyle (\ mathbb {R}, +)}$
• Любая конечная абелева группа с дискретной топологией . По структурной теореме конечных абелевых групп все такие группы являются произведениями циклических групп.
• Сложенные целые числа , опять же с дискретной топологией.${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$
• Группа окружности , обозначенная для тора . Это группа комплексных чисел модуля 1. изоморфна как топологическая группа фактор-группе .${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} / \ mathbb {Z}}$
• Поле из р -адических чисел по сложению, с обычным р -адической топологией.${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$

Двойная группа [ править ]

Если локально компактная абелева группа, характер из является непрерывным групповым гомоморфизм из со значениями в группе окружности . Множество всех символов на может быть сделано в локально компактную абелевую группу, называется двойная группа из и обозначаются . Групповая операция над двойственной группой задается поточечным умножением характеров, обратным символу является его комплексно сопряженный, а топология на пространстве характеров - это равномерная сходимость на компактах (т. Е. Компактно-открытая топология${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$, рассматривая как подмножество пространства всех непрерывных функций от до .). Эта топология, вообще говоря, не метризуема. Однако если группа является сепарабельной локально компактной абелевой группой, то двойственная группа метризуема.${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle G}$

Это аналогично двойственному пространству в линейной алгебре: так же, как для векторного пространства над полем , двойственное пространство , то же самое и двойственная группа . Говоря более абстрактно, это оба примера представимых функторов , представленных соответственно с помощью и .${\displaystyle V}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,K)}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,\mathbb {T} )}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {T} }$

Группа, изоморфная (как топологические группы) своей двойственной группе, называется самодвойственной . В то время как действительные и конечные циклические группы самодвойственны, группа и дуальная группа не изоморфны естественным образом , и их следует рассматривать как две разные группы.

Примеры двойных групп [ править ]

Двойник к изоморфен группе окружности . Персонаж на бесконечной циклической группы целых чисел по сложению определяется его значением в генераторе 1. Таким образом , для любого символа на , . Более того, эта формула определяет символ для любого выбора in . Топология равномерной сходимости на компактах в этом случае есть топология поточечной сходимости . Это топология группы кругов, унаследованная от комплексных чисел.${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \chi (n)=\chi (1)^{n}}$${\displaystyle \chi (1)}$${\displaystyle \mathbb {T} }$

Двойник к канонически изоморфен с . Действительно, персонаж имеет вид на целое число. Поскольку она компактна, топология дуальной группы является топологией равномерной сходимости, которая оказывается дискретной топологией .${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle z\mapsto z^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {T} }$

Группа действительных чисел изоморфна своему двойственному; символы на имеют форму для действительного числа. С этими двойственностями вариант преобразования Фурье, который будет представлен далее, совпадает с классическим преобразованием Фурье на .${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle r\mapsto e^{i\theta r}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Аналогично группа -адических чисел изоморфна своей двойственной. (Фактически, любое конечное расширение также самодвойственно.) Отсюда следует, что адели самодвойственны.${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Понтрягинская двойственность [ править ]

Двойственность Понтрягина утверждает, что функтор

${\displaystyle G\mapsto {\hat {G}}}$

индуцирует эквивалентность категорий между противоположностью категории локально компактных абелевых групп (с непрерывными морфизмами) и самой собой:

${\displaystyle LCA^{op}{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}LCA.}$

Категориальные свойства [ править ]

Клаузен (2017) показывает, что категория LCA локально компактных абелевых групп измеряет, грубо говоря, разницу между целыми и действительными числами. Точнее, спектр алгебраической K-теории категории локально компактных абелевых групп и групп Z и R лежат в гомотопической расслоенной последовательности

${\displaystyle K(\mathbf {Z} )\to K(\mathbf {R} )\to K(LCA).}$

Ссылки [ править ]

• Клаузен, Дастин (2017), K-теоретический подход к картам Артина , arXiv : 1703.07842v2