p -адическое число

3-адические целые числа с выбранными соответствующими символами на их дуальной группе Понтрягина

В математике , то р -адическая система счисления для любого простого числа  р расширяет обычную арифметику из рациональных чисел в другом пути от расширения рациональной системы счисления к реальным и сложным числовым системам. Расширение достигается за счет альтернативной интерпретации понятия «близость» или абсолютной ценности . В частности, два p -адических числа считаются близкими, если их разность делится на большую степень p : чем выше степень, тем они ближе. Это свойство позволяет p-адические номера для кодирования конгруэнции информации таким образом , что получается иметь мощные приложения в теории чисел - в то числе, например, в знаменитом доказательстве из Великой теоремы Ферма по Эндрю Уайлс . ^[1]

Эти числа были впервые описаны Куртом Хензелем в 1897 году ^[2], хотя, оглядываясь назад, можно сказать, что некоторые из более ранних работ Эрнста Куммера можно интерпретировать как неявно с использованием p -адических чисел. ^{[примечание 1]} р -адические числа были продиктованы в первую очередь попытка объединить идеи и методы степенных рядов методов в теории чисел . Их влияние сейчас выходит далеко за рамки этого. Например, область p -адического анализа по существу предоставляет альтернативную форму исчисления .

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец
Базовые концепты Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частных • Кольцо продукта • Бесплатное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Клеммное кольцо ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} _{1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • кольцо Jordan • Полукругление • Semifield
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Целостная область • Интегрально закрытый домен • домен GCD • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо степенной серии Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентальная теория чисел • Степень трансцендентности p -адическая теория чисел и десятичные дроби • Прямой предел / обратный предел • Нулевое кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • Целые числа по модулю p n ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ • Prüfer p -ring ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ • Основание - круговое кольцо p ${\displaystyle \mathbb {T} }$ • База - p целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • p -адические рациональные числа ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • База - p вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ • p -адические целые числа ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • p -адические числа ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • p -адический соленоид ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра
v т е

Более формально, для данного простого  р , то поле Q _р о р -адических чисел является завершением из рациональных чисел . Поле Q _p также имеет топологию, производную от метрики , которая, в свою очередь, является производной p -адического порядка , альтернативной оценки рациональных чисел. Это метрическое пространство полно в том смысле, что каждая последовательность Коши сходится к точке в Q _p . Это то, что позволяет развивать исчисление на Q _p, и именно взаимодействие этой аналитической и алгебраической структуры придает p -адическим числовым системам их силу и полезность.

Буква p в « p- адическом» является переменной и может быть заменена простым числом (что дает, например, «2-адические числа») или другой переменной-заполнителем (для таких выражений, как «ℓ-адические числа»). «Адик» слова « п -адический» происходит от окончания таких слов, как диадический или триадический .

Введение [ править ]

Этот раздел представляет собой неформальное введение в p -адические числа с использованием примеров из кольца 10-адических (декадных) чисел. Хотя для p -адических чисел p должно быть простым, основание 10 было выбрано, чтобы подчеркнуть аналогию с десятичными числами . Десятичные числа обычно не используются в математике: поскольку 10 не является простым числом или степенью простого числа , десятичные числа не являются полем. Ниже приведены более формальные конструкции и свойства.

В стандартном десятичном представлении , почти все ^{[примечание 2]} действительные числа не имеют завершающие десятичное представление. Например, 1/3 представляется как неограничивающая десятичная дробь следующим образом

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=0.333333\ldots .}$

Неформально, не завершающие десятичные дроби легко понять, потому что ясно, что действительное число может быть аппроксимировано с любой требуемой степенью точности завершающим десятичным разделителем. Если два десятичных разложения различаются только после десятого знака после запятой, они довольно близки друг к другу; а если они отличаются только после 20-го знака после запятой, они еще ближе.

В 10-адических числах используется аналогичное неограниченное расширение, но с другим понятием «близости». В то время как два десятичных разложения близки друг к другу, если их разность составляет большую отрицательную степень 10, два 10-адических разложения близки, если их разность составляет большую положительную степень 10. Таким образом, 4739 и 5739, которые различаются на 10 ³ , равны близко в 10-адическом мире, а 72694473 и 82694473 еще ближе, различаются на 10 ⁷ .

Точнее, каждое положительное рациональное число  r можно однозначно выразить как r =:а/б· 10 ^d , где a и b - положительные целые числа и gcd ( a , b ) = 1, gcd ( b , 10) = 1, gcd ( a , 10) <10 . Пусть 10-адическую «абсолютное значение» ^{[примечание 3]} о  г БЭ

${\displaystyle |r|_{10}:=|10^{d}|_{10}={\frac {1}{10^{d}}}}$ .

Дополнительно мы определяем

${\displaystyle |0|_{10}:=0}$ .

Теперь, взяв a / b = 1 и d = 0,1,2, ..., имеем

| 10 ⁰ | ₁₀ = 10 ⁰ , | 10 ¹ | ₁₀ = 10 ⁻¹ , | 10 ² | ₁₀ = 10 ⁻² , ... ,

со следствием того, что мы имеем

${\displaystyle \lim _{d\rightarrow +\infty }|10^{d}|_{10}=0}$ .

Близость в любой системе счисления определяется метрикой . Используя 10-адическую метрику, расстояние между числами x и y определяется как | х  -  у | ₁₀ . Интересным следствием 10-адической метрики (или p -адической метрики ) является то, что больше нет необходимости в отрицательном знаке. (На самом деле не существует отношения порядка , совместимого с кольцевыми операциями и этой метрикой.) В качестве примера, исследуя следующую последовательность, мы можем увидеть, как 10-адики без знака могут постепенно приближаться к числу −1:

${\displaystyle 9=-1+10}$        так что  .${\displaystyle |9-(-1)|_{10}={\frac {1}{10}}}$

${\displaystyle 99=-1+10^{2}}$       так что  .${\displaystyle |99-(-1)|_{10}={\frac {1}{100}}}$

${\displaystyle 999=-1+10^{3}}$       так что  .${\displaystyle |999-(-1)|_{10}={\frac {1}{1000}}}$

${\displaystyle 9999=-1+10^{4}}$       так что  .${\displaystyle |9999-(-1)|_{10}={\frac {1}{10000}}}$

и доведя эту последовательность до предела, мы можем вывести 10-адическое разложение −1

${\displaystyle |\dots 9999-(-1)|_{10}=0}$ ,

таким образом

${\displaystyle \dots 9999=-1}$ ,

расширение, которое явно является десятичным дополнением .

В этих обозначениях 10-адические разложения могут продолжаться неограниченно влево, в отличие от десятичных разложений, которые могут продолжаться неограниченно вправо. Обратите внимание, что это не единственный способ записи p -адических чисел - альтернативные варианты см. В разделе « Обозначения » ниже.

Более формально 10-адическое число можно определить как

${\displaystyle \sum _{i=n}^{\infty }a_{i}10^{i}}$

где каждый из a _i является цифрой, взятой из набора {0, 1, ..., 9}, а начальный индекс n может быть положительным, отрицательным или 0, но должен быть конечным. Из этого определения ясно, что положительные целые числа и положительные рациональные числа с завершающими десятичными разложениями будут иметь завершающие 10-адические разложения, которые идентичны их десятичным разложениям. Другие числа могут иметь 10-адические расширения без конца.

Можно определить сложение, вычитание и умножение 10-адических чисел согласованным образом, так что 10-адические числа образуют коммутативное кольцо .

Мы можем создать 10-адические разложения для «отрицательных» чисел ^{[примечание 4]} следующим образом

${\displaystyle -100=-1\times 100=\dots 9999\times 100=\dots 9900}$

${\displaystyle \Rightarrow -35=-100+65=\dots 9900+65=\dots 9965}$

${\displaystyle \Rightarrow -\left(3+{\dfrac {1}{2}}\right)={\dfrac {-35}{10}}={\dfrac {\dots 9965}{10}}=\dots 9996.5}$

и дроби, которые имеют бесконечные десятичные разложения, также имеют неограниченные 10-адические разложения. Например

${\displaystyle {\dfrac {10^{6}-1}{7}}=142857;\qquad {\dfrac {10^{12}-1}{7}}=142857142857;\qquad {\dfrac {10^{18}-1}{7}}=142857142857142857}$

${\displaystyle \Rightarrow -{\dfrac {1}{7}}=\dots 142857142857142857}$

${\displaystyle \Rightarrow -{\dfrac {6}{7}}=\dots 142857142857142857\times 6=\dots 857142857142857142}$

${\displaystyle \Rightarrow {\dfrac {1}{7}}=-{\dfrac {6}{7}}+1=\dots 857142857142857143={\overline {285714}}3.}$

Обобщая последний пример, мы можем найти 10-адическое расширение без цифр справа от десятичной точки для любого рационального числа a / b, такого что b взаимно просто с 10; Теорема Эйлера гарантирует, что если b взаимно просто с 10, то существует такое n , что 10 ⁿ - 1 делится на  b . Другие рациональные числа могут быть выражены в виде 10-адических чисел с некоторыми цифрами после десятичной точки.

Как отмечалось выше, у 10-адических чисел есть серьезный недостаток. Можно найти пары ненулевых 10-адических чисел (которые не рациональны, поэтому имеют бесконечное число цифр), произведение которых равно 0. ^{[3] [примечание 5]} Это означает, что 10-адические числа не всегда имеют мультипликативные инверсии, то есть действительные обратные числа, что, в свою очередь, означает, что хотя 10-адические числа образуют кольцо, они не образуют поля , что делает их гораздо менее полезными в качестве аналитического инструмента. Другими словами, кольцо 10-адических чисел не является областью целостности, потому что оно содержит делители нуля . ^{[примечание 5]} Причина этого свойства в том, что 10 - составное число, которое не является степенью простого числа.. Этой проблемы просто можно избежать, используя простое число p или степень простого p ⁿ в качестве основы системы счисления вместо 10, и действительно, по этой причине p в p- адической системе обычно считается простым числом .

дробная часть	исходная десятичная запись	10-адическая запись	дробная часть	исходная десятичная запись	10-адическая запись	дробная часть	исходная десятичная запись	10-адическая запись
${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	0,5	0,5	${\displaystyle {\frac {5}{7}}}$	0. 714285	428571 5	${\displaystyle {\frac {9}{10}}}$	0,9	0,9
${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$	0. 3	6 7	${\displaystyle {\frac {6}{7}}}$	0. 857142	714285 8	${\displaystyle {\frac {1}{11}}}$	0. 09	09 1
${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$	0. 6	3 4	${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$	0,125	0,125	${\displaystyle {\frac {2}{11}}}$	0. 18	18 2
${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	0,25	0,25	${\displaystyle {\frac {3}{8}}}$	0,375	0,375	${\displaystyle {\frac {3}{11}}}$	0. 27	27 3
${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$	0,75	0,75	${\displaystyle {\frac {5}{8}}}$	0,625	0,625	${\displaystyle {\frac {4}{11}}}$	0. 36	36 4
${\displaystyle {\frac {1}{5}}}$	0,2	0,2	${\displaystyle {\frac {7}{8}}}$	0,875	0,875	${\displaystyle {\frac {5}{11}}}$	0. 45	45 5
${\displaystyle {\frac {2}{5}}}$	0,4	0,4	${\displaystyle {\frac {1}{9}}}$	0. 1	8 9	${\displaystyle {\frac {6}{11}}}$	0. 54	54 6
${\displaystyle {\frac {3}{5}}}$	0,6	0,6	${\displaystyle {\frac {2}{9}}}$	0. 2	7 8	${\displaystyle {\frac {7}{11}}}$	0. 63	63 7
${\displaystyle {\frac {4}{5}}}$	0,8	0,8	${\displaystyle {\frac {4}{9}}}$	0. 4	5 6	${\displaystyle {\frac {8}{11}}}$	0. 72	72 8
${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	0,1 6	3, 5	${\displaystyle {\frac {5}{9}}}$	0. 5	4 5	${\displaystyle {\frac {9}{11}}}$	0. 81	81 9
${\displaystyle {\frac {5}{6}}}$	0,8 3	6 7,5	${\displaystyle {\frac {7}{9}}}$	0. 7	2 3	${\displaystyle {\frac {10}{11}}}$	0. 90	09 10
${\displaystyle {\frac {1}{7}}}$	0. 142857	285714 3	${\displaystyle {\frac {8}{9}}}$	0. 8	1 2	${\displaystyle {\frac {1}{12}}}$	0,08 3	6 +0,75
${\displaystyle {\frac {2}{7}}}$	0. 285714	571428 6	${\displaystyle {\frac {1}{10}}}$	0,1	0,1	${\displaystyle {\frac {5}{12}}}$	0,41 6	3 +0,75
${\displaystyle {\frac {3}{7}}}$	0. 428571	857142 9	${\displaystyle {\frac {3}{10}}}$	0,3	0,3	${\displaystyle {\frac {7}{12}}}$	0,58 3	6 7,25
${\displaystyle {\frac {4}{7}}}$	0. 571428	142857 2	${\displaystyle {\frac {7}{10}}}$	0,7	0,7	${\displaystyle {\frac {11}{12}}}$	0,91 6	3 4,25

p -адические расширения [ править ]

При работе с натуральными числами, если p рассматривается как фиксированное простое число, то любое положительное целое число может быть записано как расширение p по основанию  в форме

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}p^{i}}$

где a _i - целые числа из {0, ...,  p  - 1 }. ^[4] Например, двоичное расширение числа 35 равно 1 · 2 ⁵ + 0 · 2 ⁴ + 0 · 2 ³ + 0 · 2 ² + 1 · 2 ¹ + 1 · 2 ⁰ , часто записывается в сокращенной записи 100011 ₂ .

Знакомый подход к расширению этого описания на более широкую область рациональных чисел ^{[5] [6]} (и, в конечном итоге, на действительные числа) заключается в использовании сумм в форме:

${\displaystyle \pm \sum _{i=-\infty }^{n}a_{i}p^{i}.}$

Этим суммам на основе последовательностей Коши с использованием абсолютного значения в качестве метрики придается определенный смысл . Так, например, 1/3 может быть выражено с основанием 5 как предел последовательности 0,1313131313 ... ₅ . В этой формулировке целые числа - это в точности те числа, для которых a _i = 0 для всех i <0.

С другой стороны, с p -адическими числами мы решили расширить базовые  p- разложения по-другому. В отличие от традиционных целых чисел, где величина определяется тем, как далеко они от нуля, «размер» p -адических чисел определяется p -адическими абсолютными значениями , где высокие положительные степени p относительно малы по сравнению с высокими отрицательными степенями. из п .

Рассмотрим бесконечные суммы вида:

${\displaystyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}}$

где k - некоторое (не обязательно положительное) целое число, а каждый коэффициент - такое целое число, что 0 ≤ a _i < p , что можно назвать p -адической цифрой . ^[7] Это определяет р -адические разложения из р -адических чисел. Те p -адические числа, для которых a _i = 0 для всех i <0, также называются p -адическими целыми числами и образуют подмножество p -адических чисел, обычно обозначаемых${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$

В отличие от разложений действительных чисел, которые распространяются вправо как суммы все меньших, все более отрицательных степеней основания p , p -адические числа могут расширяться влево навсегда, свойство, которое часто может быть истинным для p -адических целых чисел. Например, рассмотрим p -адическое разложение 1/3 по основанию 5. Можно показать, что это ... 1313132 ₅ , то есть предел последовательности 2 ₅ , 32 ₅ , 132 ₅ , 3132 ₅ , 13132 ₅ , 313132 ₅ , 1313132 ₅ , ...:

${\displaystyle {\dfrac {5^{2}-1}{3}}={\dfrac {44_{5}}{3}}=13_{5};\,{\dfrac {5^{4}-1}{3}}={\dfrac {4444_{5}}{3}}=1313_{5}}$

${\displaystyle \Rightarrow -{\dfrac {1}{3}}=\dots 1313_{5}}$

${\displaystyle \Rightarrow -{\dfrac {2}{3}}=\dots 1313_{5}\times 2=\dots 3131_{5}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\dfrac {1}{3}}=-{\dfrac {2}{3}}+1=\dots 3132_{5}.}$

Умножение этой бесконечной суммы на 3 по основанию 5 дает ... 0000001 ₅ . Поскольку в этом разложении 1/3 нет отрицательных степеней 5 (то есть нет чисел справа от десятичной точки), мы видим, что 1/3 удовлетворяет определению p -адического целого числа с основанием 5.

Более формально, р -адические разложения могут быть использованы для определения поля Q _р о р -адических чисел , а р -адические целые числа образуют подкольцо из Q _р , обозначаемый Z _р . (Не путать с кольцом целых чисел по модулю  p, которое также иногда пишется Z _p . Чтобы избежать неоднозначности, Z / p Z или Z / ( p ) часто используются для представления целых чисел по модулю  p .)

Хотя можно использовать описанный выше подход для определения p -адических чисел и изучения их свойств, как и в случае вещественных чисел, обычно предпочтительны другие подходы. Следовательно, мы хотим определить понятие бесконечной суммы, которое придает смысл этим выражениям, и это легче всего достигается путем введения p -адической метрики. Два разных, но эквивалентных решения этой проблемы представлены в разделе « Конструкции » ниже.

Обозначение [ править ]

Существует несколько различных соглашений о написании p -адических расширений. До сих пор эта статья использовалась для обозначения р -адических разложений , в которых полномочия по  р увеличения справа налево. При этом справа налево обозначения 3-адическом расширения ¹ / ₅ , например, записывается в виде

${\displaystyle {\dfrac {1}{5}}=\dots 121012102_{3}.}$

При выполнении арифметических действий в этой нотации цифры переносятся влево. Также можно написать p -адические разложения так, чтобы степени p возрастали слева направо, а цифры переносились вправо. С этой левой к правой нотации 3-адическом расширения ¹ / ₅ IS

${\displaystyle {\dfrac {1}{5}}=2.01210121\dots _{3}{\mbox{ or }}{\dfrac {1}{15}}=20.1210121\dots _{3}.}$

p -адические разложения могут быть записаны с другими наборами цифр вместо {0, 1, ...,  p  - 1 }. Так , например, 3-адическое расширение ¹ / ₅ может быть написано с использованием сбалансированных тройных цифр { 1 , 0,1} как

${\displaystyle {\dfrac {1}{5}}=\dots {\underline {1}}11{\underline {11}}11{\underline {11}}11{\underline {1}}_{\text{bal3}}.}$

Фактически любой набор из p целых чисел, которые находятся в различных классах вычетов по модулю p, может использоваться как p -адические цифры. В теории чисел представители Тейхмюллера иногда используются в качестве цифр. ^[8]

Конструкции [ править ]

Аналитический подход [ править ]

Эти действительные числа могут быть определены как классы эквивалентности из последовательностей Коши из рациональных чисел ; это позволяет, например, запись 1 в 1.000 ... = 0,999 ... . Однако определение последовательности Коши зависит от выбранной метрики , поэтому, если мы выберем другую, мы сможем построить числа, отличные от действительных чисел. Обычная метрика, которая дает действительные числа, называется евклидовой метрикой .

Для данного простого числа  p мы определяем p-адическое абсолютное значение в Q следующим образом: для любого ненулевого рационального числа  x существует единственное целое число  n, позволяющее записать x = p ⁿ ( a / b ) , где ни из целых чисел и б это делится на  р . Если числитель или знаменатель  x в младших членах не содержит p в качестве множителя, n будет 0. Теперь определите | х | _п= р ^{- п} . Мы также определяем | 0 | _р = 0 .

Например, с x = 63/550 = 2 ⁻¹ · 3 ² · 5 ⁻² · 7 · 11 ⁻¹

${\displaystyle {\begin{aligned}&|x|_{2}=2\\[6pt]&|x|_{3}=1/9\\[6pt]&|x|_{5}=25\\[6pt]&|x|_{7}=1/7\\[6pt]&|x|_{11}=11\\[6pt]&|x|_{\text{any other prime}}=1.\end{aligned}}}$

Это определение | х | _p приводит к тому, что высокие степени  p становятся «малыми». Согласно основной теореме арифметики для данного ненулевого рационального числа x существует единственный конечный набор различных простых чисел и соответствующая последовательность ненулевых целых чисел, такая что:${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{r}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}$

${\displaystyle |x|=p_{1}^{a_{1}}\ldots p_{r}^{a_{r}}.}$

Отсюда следует, что для всех и для любого другого простого числа${\displaystyle |x|_{p_{i}}=p_{i}^{-a_{i}}}$${\displaystyle 1\leq i\leq r}$${\displaystyle |x|_{p}=1}$${\displaystyle p\notin \{p_{1},\ldots ,p_{r}\}.}$

Р -адическое абсолютное значение определяет метрику d _р на Q с помощью параметра

${\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}}$

Поле Q _р из р -адических чисел , то может быть определен как завершение метрического пространства ( Q , д _р ); его элементы являются классами эквивалентности последовательностей Коши, где две последовательности называются эквивалентными, если их разность сходится к нулю. Таким образом, мы получаем полное метрическое пространство , которое также является полем и содержит Q . При таком абсолютном значении поле Q _p является локальным полем .

Можно показать, что в Q _p каждый элемент x может быть записан уникальным образом как

${\displaystyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}}$

где k - некоторое целое число такое, что a _k ≠ 0 и каждый a _i находится в {0, ...,  p  - 1  }. Этот ряд сходится к x относительно метрики d _p . Р -адические целые числа Z _р являются элементами , где K является неотрицательным. Следовательно, Q _p изоморфен Z [1 / p] + Z _p . ^[9]

Теорема Островского утверждает, что каждое абсолютное значение на Q эквивалентно либо евклидову абсолютному значению, тривиальному абсолютному значению , либо одному из p -адических абсолютных значений для некоторого простого  p . Каждое абсолютное значение (или метрический) приводит к различным завершению Q . (С тривиальным абсолютным значением Q уже является полным.)

Алгебраический подход [ править ]

В алгебраическом подходе мы сначала определяем кольцо целых p -адических чисел, а затем строим поле частных этого кольца, чтобы получить поле p -адических чисел.

Начнем с обратного предела колец Z / p ⁿ Z (см. Модулярную арифметику ): p -адическое целое число m тогда представляет собой последовательность ( a _n ) _{n ≥1} такую, что a _n принадлежит Z / p ⁿ Z , и если n ≤ l , то a _n ≡ a _l (mod p ⁿ ) .

Каждое натуральное число m определяет такую ​​последовательность ( a _n ) как a _n ≡ m (mod p ⁿ ) и, следовательно, может рассматриваться как p -адическое целое число. Например, в этом случае 35 как 2-адическое целое число будет записано как последовательность (1, 3, 3, 3, 3, 35, 35, 35, ...).

Операторы кольца сводятся к поточечному сложению и умножению таких последовательностей. Это хорошо определено, потому что сложение и умножение коммутируют с оператором " mod "; см. модульную арифметику .

Более того, каждая последовательность ( a _n ) _{n ≥1} с первым элементом a ₁ ≢ 0 (mod p ) имеет мультипликативную обратную. В этом случае для каждого п , _п и р являются взаимно простыми , и поэтому в _п и р ^п взаимно просты. Следовательно, каждое a _n имеет обратный mod p ⁿ , и последовательность этих обратных значений, ( b _n ) , является искомой обратной по отношению к ( a_п ). Например, рассмотримp-адическое целое число, соответствующее натуральному числу 7; как 2-адическое число, это будет записано (1, 3, 7, 7, 7, 7, 7, ...). Обратное к этому объекту будет записано как постоянно возрастающая последовательность, которая начинается (1, 3, 7, 7, 23, 55, 55, 183, 439, 439, 1463 ...). Естественно, этому 2-адическому целому не соответствует натуральное число.

В качестве альтернативы каждую такую ​​последовательность можно записать как серию . Например, в 3-адиках последовательность (2, 8, 8, 35, 35, ...) может быть записана как 2 + 2 · 3 + 0 · 3 ² + 1 · 3 ³ + 0 · 3 ⁴ + ... в частичных суммах этой последней серии являются элементами данной последовательности.

Кольцо р -адических чисел не имеет делителей нуля, так что мы можем взять поле дробей , чтобы получить поле Q _р о р -адических чисел. Обратите внимание, что в этом поле дробей каждое нецелое p -адическое число может быть однозначно записано как p ^{- n}  u с натуральным числом n и единицей u в p -адических целых числах. Это означает, что

${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}=\operatorname {Quot} \left(\mathbf {Z} _{p}\right)=(p^{\mathbf {N} })^{-1}\mathbf {Z} _{p}=\mathbf {Z} _{p}{\cup }(p^{\mathbf {N} })^{-1}\mathbf {Z} _{p}^{\times }.}$

Заметит , что S ^-1  , где есть мультипликативное подмножество (содержит единицу и замкнуто относительно умножения) коммутативного кольца (с единицей) , является алгебраической конструкция называется кольцом частных или локализация из пути .${\displaystyle S=p^{\mathbf {N} }=\{p^{n}:n\in \mathbf {N} \}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S}$

Свойства [ править ]

Мощность [ править ]

Z _p - обратный предел конечных колец Z / p ^k Z , который неисчислим ^[10] - фактически, имеет мощность континуума . Соответственно, поле Q _p несчетное. Кольцо эндоморфизмов из прюферовым р -группы ранга п , обозначается Z ( р ^∞ ) ^п , является кольцом п × п матриц над Z _р ; это иногда называютМодуль Тейт .

Число p -адических чисел с завершающимися p -адическими представлениями счетно бесконечно . И, если стандартные цифры будут приняты, их значение и представление совпадает в Z _р и R .${\displaystyle \{0,\ldots ,p-1\}}$

Топология [ править ]

Определим топологию на Z _p , взяв за основу открытых множеств все множества вида

${\displaystyle U_{a}(n)=\left\{n+\lambda p^{a}:\lambda \in \mathbf {Z} _{p}\right\}.}$

где a - неотрицательное целое число, а n - целое число из [1, p ^a ]. Например, в диадических целых числах U ₁ (1) - это набор нечетных чисел. U _a ( n ) - это множество всех p -адических целых чисел, разность которых от n имеет p -адическое абсолютное значение меньше p ^{1− a} . Тогда Z _р является компактификацией из Z , в соответствии с полученной топологией (это не компактификация Z с обычной дискретной топологией). Вотносительная топология на Z как подмножества Z _р называется р -адической топология на Z .

Топология Z _p - это топология канторова множества . ^[11] Например, мы можем сделать непрерывное отображение 1 к 1 между двоичными целыми числами и множеством Кантора, выраженным в базе 3 как${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}\ni \cdots d_{2}d_{1}d_{0}\longmapsto 0.e_{0}e_{1}e_{2}\cdots _{3}\in {\mathcal {C}},}$

куда ${\displaystyle e_{n}=2d_{n}.}$

Топология Q _p - это топология канторовского множества без какой-либо точки. ^{[ Править ]} В частности, Z _р является компактным , а Q _р не является; он компактен только локально . В метрических пространствах , как Z _р и Q _р являются полным . ^[12]

Метрические дополнения и алгебраические замыкания [ править ]

Q _p содержит Q и является полем характеристики 0 .Это поле нельзя превратить в упорядоченное поле .

R имеет только одно собственное алгебраическое расширение : C ; другими словами, это квадратичное расширение уже алгебраически замкнуто . В противоположность, алгебраическое замыкание из Q _р , обозначаетсяимеет бесконечную степень, ^[13] , то есть Q _р имеет бесконечно много неэквивалентных алгебраических расширений. Также противоположность случаю действительных чисел, хотя существует уникальное распространение p -адической оценкина последнее, не является (метрически) полным. ^{[14] [15]} Его (метрическое) пополнение называется C _p или Ω _p${\displaystyle {\overline {\mathbf {Q} _{p}}},}$${\displaystyle {\overline {\mathbf {Q} _{p}}},}$. ^{[15] [16]} Здесь достигнут конец, поскольку C _p алгебраически замкнуто. ^{[15] [17]} Однако, в отличие от C, это поле не является локально компактным. ^[16]

C _p и C изоморфны как кольца, поэтому мы можем рассматривать C _p как C, наделенное экзотической метрикой. Доказательство существования такого изоморфизма полей опирается на выбранную аксиому и не дает явного примера такого изоморфизма (то есть, он не является конструктивным ).

Если К есть конечное расширение Галуа из Q _р , то группа Галуа является разрешимой . Таким образом, группа Галуа является проразрешимой .${\displaystyle {\text{Gal}}\left(\mathbf {K} /\mathbf {Q} _{p}\right)}$${\displaystyle {\text{Gal}}\left({\overline {\mathbf {Q} _{p}}}/\mathbf {Q} _{p}\right)}$

Мультипликативная группа Q _p [ править ]

В _р содержит в н -й круговое поле ( п > 2 ) тогда и только тогдакогда п | п - 1 . ^[18] Например, n-е круговое поле является подполем Q ₁₃ тогда и только тогда, когда n = 1, 2, 3, 4, 6 или 12 . В частности, не существует мультипликативная р - кручение в Q _р , если р > 2 . Кроме того, −1 - единственный нетривиальный элемент кручения в Q ₂ .

Для натурального числа k индекс мультипликативной группы k -й степени ненулевых элементов Q _p in конечен.${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}^{\times }}$

Число e , определенное как сумма обратных факториалов , не является членом какого-либо p -адического поля; но e ^p ∈ Q _p ( p ≠ 2) . При p = 2 нужно брать хотя бы четвертую степень. ^[19] (Таким образом, число со свойствами, аналогичными e, а именно корень p -й степени из e ^p, является членом для всех p .)${\displaystyle {\overline {\mathbf {Q} _{p}}}}$

Рациональная арифметика [ править ]

Эрик Хенер и Найджел Хорспул в 1979 году предложили использовать p -адическое представление рациональных чисел на компьютерах ^{[20], которое} называется кавычками . Основное преимущество такого представления состоит в том, что сложение, вычитание и умножение могут выполняться простым способом, аналогичным аналогичным методам для двоичных целых чисел; а деление еще проще, оно напоминает умножение. Однако у него есть недостаток, заключающийся в том, что представления могут быть намного больше, чем просто сохранение числителя и знаменателя в двоичном формате (подробнее см. Обозначение кавычек § Пробел ).

Обобщения и связанные концепции [ править ]

Действительные числа и p -адические числа являются дополнениями рациональных чисел; аналогичным образом можно также заполнить другие поля, например поля общих алгебраических чисел . Это будет описано сейчас.

Предположим, что D - дедекиндова область, а E - ее поле дробей . Выберите ненулевой простой идеал P из D . Если х является ненулевым элементом Е , то XD является дробным идеалом и может быть однозначно учтен как произведение положительных и отрицательных степеней ненулевого простых идеалов D . Мы пишем ord _P ( x ) для показателя степени P в этой факторизации, и для любого выбора числа c больше 1 мы можем установить

${\displaystyle |x|_{P}=c^{-\operatorname {ord} _{P}(x)}.}$

Завершение по абсолютному значению |. | _P дает поле E _P , собственное обобщение поля p -адических чисел для этой установки. Выбор c не меняет завершения (разные варианты дают одно и то же понятие последовательности Коши, а значит, одно и то же завершение). Это удобно, когда поле вычетов Д / Р конечна, взять для с размером D / P .

Например, когда E - числовое поле , теорема Островского утверждает, что каждое нетривиальное неархимедово абсолютное значение на E возникает как некоторое |. | _P . Остальные нетривиальные абсолютные значения на E возникают в результате различных вложений E в действительные или комплексные числа. (Фактически, неархимедовы абсолютные значения можно рассматривать как просто различные вложения E в поля C _p , тем самым помещая описание всех нетривиальных абсолютных значений числового поля на общую основу.)

Часто необходимо одновременно отслеживать все вышеупомянутые завершения, когда E является числовым полем (или, в более общем смысле, глобальным полем ), которые рассматриваются как кодирующие «локальную» информацию. Это достигается кольцами аделей и группами иделей .

р -адических целые числа могут быть распространены на р -адических соленоиды таким же образом , что целые числа могут быть продлены до действительных чисел, как прямое произведение на окружности кольца и р -адических чисел${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Локально-глобальный принцип [ править ]

Гельмут Хассе «s локально глобальный принцип называется трюм для уравнения , если она может быть решена более рациональных чисел тогда и только тогда , когда она может быть решена за действительных чисел и над р -адических чисел для каждого простого  р . Этот принцип выполняется, например, для уравнений, заданных квадратичными формами , но не работает для полиномов более высокого порядка от нескольких неопределенностей.

См. Также [ править ]

Сноски [ править ]

Примечания [ править ]

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме P-адических чисел .

• Вайсштейн, Эрик В. «p-адическое число» . MathWorld .
• p -адическое число в онлайн-энциклопедии математики Springer
• Завершение алгебраического закрытия - он-лайн лекционные заметки Брайана Конрада
• Введение в p- адические числа и p- адический анализ - онлайн-лекции Эндрю Бейкера, 2007 г.
• Эффективная p-адическая арифметика (слайды)
• Введение в p-адические числа