Характер (математика)

В математике , А символ представляет собой (наиболее часто) особый вид функции из группы в поле (например, комплексные числа ). Есть как минимум два различных, но пересекающихся значения. ^[1] Другие варианты использования слова «персонаж» почти всегда уточняются.

Мультипликативный символ [ править ]

Мультипликативный характер (или линейный характер , или просто символ ) на группу G является группой гомоморфизм из G в мультипликативную группу поля ( артиновских 1966 ), как правило , поле комплексных чисел . Если G - любая группа, то множество Ch ( G ) этих морфизмов образует абелеву группу при поточечном умножении.

Эта группа называется группой характеров из G . Иногда рассматриваются только унитарные символы (таким образом, изображение находится в единичном круге ); другие такие гомоморфизмы называются квазихарактерами . Символы Дирихле можно рассматривать как частный случай этого определения.

Мультипликативные характеры линейно независимы , т. Е. Если на группе G существуют разные характеры, то из этого следует, что .${\ displaystyle \ chi _ {1}, \ chi _ {2}, \ ldots, \ chi _ {n}}$${\ displaystyle a_ {1} \ chi _ {1} + a_ {2} \ chi _ {2} + \ ldots + a_ {n} \ chi _ {n} = 0}$${\ displaystyle a_ {1} = a_ {2} = \ cdots = a_ {n} = 0}$

Характер представления [ править ]

Характер из представления группового G на конечномерном векторном пространстве V над полем F является след от представления ( Серра 1 977 ), т.е. ${\ displaystyle \ chi: G \ rightarrow F}$${\displaystyle \phi \colon G\to \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \chi _{\phi }(g)=Tr(\phi (g))}$ за ${\displaystyle g\in G}$

В общем случае след не является гомоморфизмом группы, и множество следов не образует группу. Символы одномерных представлений идентичны одномерным представлениям, поэтому указанное выше понятие мультипликативного символа можно рассматривать как частный случай многомерных символов. Изучение представлений с использованием символов называется « теорией персонажей », а одномерные символы также называются «линейными персонажами» в этом контексте.

Альтернативное определение [ править ]

Если ограничиваться конечными абелева группой с представлением в (то есть ), следующее альтернативное определение будет эквивалентно выше (для абелевых групп, каждая матрица представление разлагается в прямую сумму из представлений. Для не абелевых групп, первоначальное определение было бы более общий, чем этот):${\displaystyle 1\times 1}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle GL(V)=GL(1,\mathbb {C} )}$${\displaystyle 1\times 1}$

Характер группы - это отображение такое, что для всех${\displaystyle \chi }$${\displaystyle (G,\cdot )}$${\displaystyle \chi :G\rightarrow \mathbb {C} }$${\displaystyle \chi (x\cdot y)=\chi (x)\chi (y)}$${\displaystyle x,y\in G.}$

Если - конечная абелева группа, характеры играют роль гармоник. Для бесконечных абелевых групп приведенное выше было бы заменено на где - круговая группа .${\displaystyle G}$${\displaystyle \chi :G\rightarrow \mathbb {T} }$${\displaystyle \mathbb {T} }$

См. Также [ править ]

• Dirichlet персонаж
• Harish-Chandra персонаж
• Гекке персонаж
• Бесконечно малый символ
• Чередующийся характер
• Характеристика (математика)
• Понтрягинская двойственность

Ссылки [ править ]

• Артин, Эмиль (1966), Теория Галуа , Математические лекции в Нотр-Даме, номер 2, Артур Нортон Милграм (перепечатанные Dover Publications, 1997), ISBN 978-0-486-62342-9 Лекции, прочитанные в Университете Нотр-Дам
• Серр, Жан-Пьер (1977), Линейные представления конечных групп , Тексты для выпускников по математике , 42 , Перевод второго французского издания Леонарда Л. Скотта, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1 -4684-9458-7 , ISBN 0-387-90190-6, Руководство по ремонту  0450380

Внешние ссылки [ править ]

• "Характер группы" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Характер группового представления» . PlanetMath .