Четность перестановки
В математике , когда X является конечным множеством, состоящим как минимум из двух элементов, перестановки X ( т. е. биективные функции от X до X ) делятся на два класса одинакового размера: четные перестановки и нечетные перестановки . Если какой - либо общий порядок X фиксирован, четность ( нечетность или четность ) перестановки X может быть определена как четность числа инверсий для σ, т. е. пар элементов x , y из X таких, что x < y и σ ( x ) > σ ( y ) .
Знак , сигнатура или сигнум перестановки σ обозначается sgn( σ ) и определяется как +1, если σ четно, и −1, если σ нечетно . Сигнатура определяет знакопеременный характер симметрической группы Sn . Другое обозначение знака перестановки дается более общим символом Леви-Чивиты ( ε σ ), который определен для всех карт из X в X и имеет нулевое значение для небиективных карт .
В качестве альтернативы знак перестановки σ можно определить из ее разложения на произведение транспозиций как
где m — количество транспозиций в разложении. Хотя такое разложение не уникально, четность количества транспозиций во всех разложениях одинакова, что означает, что знак перестановки четко определен . [1]
Рассмотрим перестановку σ множества {1, 2, 3, 4, 5}, определяемую и В однострочной записи эта перестановка обозначается 34521. Она может быть получена из тождественной перестановки 12345 тремя перестановками: сначала поменять местами числа 2 и 4, затем поменять местами 3 и 5 и, наконец, поменять местами 1 и 3. Это показывает, что данная перестановка σ нечетна. Следуя методу статьи с обозначением цикла , это можно было бы написать, составляя слева направо, как
Перестановка тождества является четной перестановкой. [1] Четная перестановка может быть получена как композиция четного числа и только четного числа обменов (называемых транспозициями ) двух элементов, в то время как нечетная перестановка может быть получена (только) нечетным числом транспозиций.
