Четко определенный

В математике выражение называется четко определенным или недвусмысленным, если его определение придает ему уникальную интерпретацию или значение. В противном случае говорят, что выражение не является четко определенным , неточным или неоднозначным . ^[1] Функция хорошо определена, если она дает тот же результат, когда представление ввода изменяется без изменения значения ввода. Например, если f принимает действительные числа в качестве входных данных, и если f (0.5) не равно f (1/2), то f не является четко определенным (и, следовательно, не является функцией). ^[2] СрокЧетко определенное также может использоваться, чтобы указать, что логическое выражение однозначно или непротиворечиво. ^[3]

Неопределенная функция - это не то же самое, что неопределенная функция . Например, если Р ( х ) = 1 / х , то тот факт , что F (0) не определен , не означает , что F является не хорошо определен - но это-просто не в области F .

Пример [ править ]

Пусть будут множествами, пусть и «определяют» как будто и если .${\displaystyle A_{0},A_{1}}$${\displaystyle A=A_{0}\cup A_{1}}$${\displaystyle f:A\rightarrow \{0,1\}}$${\displaystyle f(a)=0}$${\displaystyle a\in A_{0}}$${\displaystyle f(a)=1}$${\displaystyle a\in A_{1}}$

Тогда хорошо определено, если . Например, если и , то будут четко определены и равны .${\displaystyle f}$${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}=\emptyset \!}$${\displaystyle A_{0}:=\{2,4\}}$${\displaystyle A_{1}:=\{3,5\}}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle \operatorname {mod} (a,2)}$

Однако, если , то не будет четко определен, потому что это "неоднозначно" для . Например, если и , тогда должны быть и 0, и 1, что делает его неоднозначным. В результате последний не является четко определенным и, следовательно, не является функцией.${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle a\in A_{0}\cap A_{1}}$${\displaystyle A_{0}:=\{2\}}$${\displaystyle A_{1}:=\{2\}}$${\displaystyle f(2)}$${\displaystyle f}$

«Определение» как ожидание определения [ править ]

Чтобы избежать апострофов вокруг слова «определить» в предыдущем простом примере, «определение» можно разбить на два простых логических шага:${\displaystyle f}$

Хотя определение на шаге 1 сформулировано со свободой любого определения и, безусловно, эффективно (без необходимости классифицировать его как «хорошо определенное»), утверждение шага 2 должно быть доказано. То есть является функцией тогда и только тогда , когда и в этом случае - как функция - четко определена. С другой стороны, если , то для an у нас было бы это и , что делает бинарное отношение не функциональным (как определено в Бинарном отношении # Специальные типы бинарных отношений ) и, следовательно, не может быть определено как функция. В просторечии «функция» также называется неоднозначной в определенной точке (хотя согласно определению${\displaystyle f}$${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}=\emptyset }$${\displaystyle f}$${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset }$${\displaystyle a\in A_{0}\cap A_{1}}$${\displaystyle (a,0)\in f}$ ${\displaystyle (a,1)\in f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$никогда не является «неоднозначной функцией»), а исходное «определение» бессмысленно. Несмотря на эти тонкие логические проблемы, довольно часто заранее используется термин «определение» (без апострофов) для «определений» такого рода - по трем причинам:

1. Это удобное сокращение двухэтапного подхода.
2. Соответствующие математические рассуждения (например, шаг 2) одинаковы в обоих случаях.
3. В математических текстах утверждение истинно «до 100%».

Независимость представителя [ править ]

Вопрос о корректности определения функции классически возникает, когда определяющее уравнение функции относится не (только) к самим аргументам, но (также) к элементам аргументов. Это иногда неизбежно, когда аргументы являются смежными классами, а уравнение относится к представителям смежных классов.

Функции с одним аргументом [ править ]

Например, рассмотрим следующую функцию

${\displaystyle {\begin{matrix}f:&\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \\&{\overline {n}}_{8}&\mapsto &{\overline {n}}_{4},\end{matrix}}}$

где и являются целыми числами по модулю т , и обозначает класс конгруэнции из п по модулю т .${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,m\in \{4,8\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\overline {n}}_{m}}$

NB: ссылка на элемент и аргумент .${\displaystyle {\overline {n}}_{4}}$${\displaystyle n\in {\overline {n}}_{8}}$${\displaystyle {\overline {n}}_{8}}$${\displaystyle f}$

Функция четко определена, потому что${\displaystyle f}$

${\displaystyle n\equiv n'{\bmod {8}}\;\Leftrightarrow \;8\mid (n-n')\;\Leftrightarrow \;2\cdot 4\mid (n-n')\;\Rightarrow \;4\mid (n-n')\;\Leftrightarrow \;n\equiv n'{\bmod {4}}.}$

Операции [ править ]

В частности, термин четко определенный используется в отношении (бинарных) операций над смежными классами. В этом случае можно рассматривать операцию как функцию двух переменных, и свойство быть четко определенным такое же, как и для функции. Например, сложение целых чисел по модулю некоторого n можно естественным образом определить в терминах сложения целых чисел.

${\displaystyle [a]\oplus [b]=[a+b]}$

Тот факт, что это правильно определено, следует из того факта, что мы можем написать любой представитель as , где - целое число. Следовательно, ${\displaystyle [a]}$${\displaystyle a+kn}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle [a]\oplus [b]=[a+kn]\oplus [b]=[(a+kn)+b]=[(a+b)+kn]=[a+b];}$

и аналогично для любого представителя , тем самым делая то же самое, независимо от выбора представителя. ^[3]${\displaystyle [b]}$${\displaystyle [a+b]}$

Четкое обозначение [ править ]

Для действительных чисел произведение однозначно, потому что (и, следовательно, обозначение считается хорошо определенным ). ^[1] Это свойство, также известное как ассоциативность умножения, гарантирует, что результат не зависит от последовательности умножений, так что определение последовательности может быть опущено.${\displaystyle a\times b\times c}$${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$

С другой стороны, операция вычитания не ассоциативна. Однако существует соглашение (или определение) о том, что операция понимается как добавление аддитивного обратного , то есть то же самое , что и, и, таким образом, «четко определена».${\displaystyle -}$${\displaystyle a-b-c}$${\displaystyle a+(-b)+(-c)}$

Деление также неассоциативно. Однако в случае с соглашением это не так хорошо установлено, поэтому это выражение считается некорректным .${\displaystyle a/b/c}$${\displaystyle /b:=*b^{-1}}$

В отличие от функций, неоднозначность обозначений можно более или менее легко преодолеть с помощью дополнительных определений (например, правил приоритета , ассоциативности оператора). Например, в языке программирования C оператор -вычитания ассоциативен слева направо , что означает, что a-b-cон определяется как (a-b)-c, а оператор =присваивания является ассоциативным справа налево , что означает, что a=b=cон определяется как a=(b=c). ^[4] В языке программирования APL есть только одно правило: справа налево, но сначала скобки.

Другие варианты использования термина [ править ]

Решение уравнения в частных производных называется хорошо определенным, если оно непрерывно определяется граничными условиями по мере изменения граничных условий. ^[1]

См. Также [ править ]

• Отношение эквивалентности § Правильно определенная по отношению эквивалентности
• Дефиниционизм
• Существование
• Уникальность
• Количественная оценка уникальности
• Неопределенный

Ссылки [ править ]

Заметки [ править ]

Источники [ править ]

• Современная абстрактная алгебра , Джозеф А. Галлиан, 6-е издание, Houghlin Mifflin, 2006, ISBN 0-618-51471-6 . 
• Алгебра: Глава 0 , Паоло Алуффи, ISBN 978-0821847817 . Стр.16. 
• Абстрактная алгебра , Даммит и Фут, 3-е издание, ISBN 978-0471433347 . Страница 1.