В математике , то формула следов Сельберга , введенный Сельбергом (1956) , это выражение для характера унитарного представления о G на пространстве L 2 ( G / T) из квадратных интегрируемых функций , где G является группой Ли и Γ кофинитная дискретная группа . Характер дается следом определенных функций на G .
Простейший случай , когда Γ является кокомпактным , когда представление распадается на отдельные слагаемые. Здесь формула следа является расширением формулы Фробениуса для характера индуцированного представления конечных групп. Когда Γ - кокомпактная подгруппа Z действительных чисел G = R , формула следа Сельберга по существу является формулой суммирования Пуассона .
Случай, когда G / Γ некомпактен, сложнее, потому что существует непрерывный спектр , описываемый рядами Эйзенштейна . Сельберг разработал некомпактный случай, когда G - группа SL (2, R ) ; расширением на группы более высокого ранга является формула следа Артура – Сельберга .
Когда Γ является фундаментальной группой римановой поверхности , формула следа Сельберга описывает спектр дифференциальных операторов, таких как лапласиан, в терминах геометрических данных, включающих длины геодезических на римановой поверхности. В этом случае формула следа Сельберга формально аналогична явным формулам, связывающим нули дзета-функции Римана с простыми числами, причем дзета-нули соответствуют собственным значениям лапласиана, а простые числа соответствуют геодезическим. Руководствуясь аналогией, Сельберг ввел дзета-функцию Сельберга для римановой поверхности, аналитические свойства которой кодируются формулой следа Сельберга.
Ранняя история
Случаи , представляющие особый интерес , включают те , для которых пространство является компактной римановой поверхностью S . Первоначальная публикация Атле Сельберга в 1956 году касалась этого случая, его лапласовского дифференциального оператора и его возможностей. Следы степеней лапласиана можно использовать для определения дзета-функции Сельберга . Интерес в этом случае вызвала аналогия между полученной формулой и явными формулами теории простых чисел. Здесь замкнутые геодезические на S играют роль простых чисел.
В то же время интерес к следам операторов Гекке был связан с формулой следа Эйхлера – Сельберга Сельберга и Мартина Эйхлера для оператора Гекке, действующего в векторном пространстве касп-форм заданного веса для заданной подгруппы сравнения. из модулярной группы . Здесь след тождественного оператора - это размерность векторного пространства, то есть размерность пространства модулярных форм данного типа: величина, традиционно вычисляемая с помощью теоремы Римана – Роха .
Приложения
Формула следа имеет приложения к арифметической геометрии [ править ] и теории чисел . Например, используя теорему о следе, Эйхлер и Шимура вычислили L-функции Хассе – Вейля, ассоциированные с модулярными кривыми ; Методы Горо Шимуры обошли анализ, включенный в формулу следа. Развитие параболических когомологий (из когомологий Эйхлера ) обеспечило чисто алгебраический подход, основанный на групповых когомологиях , с учетом каспов, характерных для некомпактных римановых поверхностей и модулярных кривых.
Формула следа имеет также чисто дифференциально-геометрические приложения. Так , например, по результату Buser, то спектр длин из римановой поверхности является изоспектральной инвариант, по существу , по формуле следа.
Позже работа
Общая теория рядов Эйзенштейна была в значительной степени мотивирована требованием выделения непрерывного спектра [ необходима цитата ] , что характерно для некомпактного случая.
Формула следа часто приводится для алгебраических групп над аделями, а не для групп Ли, потому что это превращает соответствующую дискретную подгруппу Γ в алгебраическую группу над полем, с которой технически легче работать.
Современными преемниками теории являются формула следов Артура – Сельберга, применяемая к случаю общей полупростой G , и многочисленные исследования формулы следов в философии Ленглендса (касающиеся технических вопросов, таких как эндоскопия ). Формула следа Сельберга может быть получена из формулы следа Артура – Сельберга с некоторыми усилиями.
Формула следа Сельберга для компактных гиперболических поверхностей
Компактную гиперболическую поверхность X можно записать как пространство орбит
где Γ является подгруппой PSL (2, R ) , а Н является верхней полуплоскости и Γ действует на H с помощью дробно - линейных преобразований .
Формула следа Сельберга для этого случая проще, чем общий случай, потому что поверхность компактна, поэтому нет непрерывного спектра, а группа Γ не имеет параболических или эллиптических элементов (кроме единицы).
Тогда спектр оператора Лапласа – Бельтрами на X дискретен и вещественен, поскольку оператор Лапласа самосопряжен с компактной резольвентой ; это
где собственные значения μ n соответствуют Γ -инвариантным собственным функциям u в C ∞ ( H ) лапласиана; другими словами
Использование подстановки переменных
собственные значения помечены
Тогда формула следа Сельберга имеет вид
Правая часть представляет собой сумму по классам сопряженности группы Γ , причем первый член соответствует единице, а остальные члены образуют сумму по другим классам сопряженности { T } (которые в данном случае являются гиперболическими). Функция h должна удовлетворять следующему:
- аналитична на | Im ( r ) | ≤1/2+ δ ;
- h (- r ) = h ( r ) ;
- существуют такие положительные постоянные δ и M , что:
Функция g является преобразованием Фурье функции h , т. Е.
Рекомендации
- Фишер, Юрген (1987), подход к формуле следа Сельберга с помощью дзета-функции Сельберга , Lecture Notes in Mathematics, 1253 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0077696 , ISBN 978-3-540-15208-8, Руководство по ремонту 0892317
- Гельфанд И.М .; Граев, М.И.; Пятецкий-Шапиро, И.И. (1990), Теория представлений и автоморфные функции , Обобщенные функции, 6 , Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-279506-0, Руководство по ремонту 1071179
- Hejhal, Деннис А. (1976), "Формула следа Сельберга и дзета - функции Римана" , Герцога математический журнал , 43 (3): 441-482, DOI : 10,1215 / S0012-7094-76-04338-6 , ISSN 0012 -7094 , Руководство по ремонту 0414490
- Хейхал, Деннис А. (1976), Формула следа Сельберга для PSL (2, R). Vol. I , Конспект лекций по математике, Vol. 548, 548 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / BFb0079608 , ISBN 978-3-540-07988-0, Руководство по ремонту 0439755
- Хейхал, Деннис А. (1983), Формула следа Сельберга для PSL (2, R). Vol. 2 , Конспект лекций по математике, 1001 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / BFb0061302 , ISBN 978-3-540-12323-1, MR 0711197
- Маккин, HP (1972), "Формула следа Сельберга применительно к компактной римановой поверхности", коммуникации по чистой и прикладной математике , 25 (3): 225-246, DOI : 10.1002 / cpa.3160250302 , ISSN 0010-3640 , MR 0473166
- Сельберг, Атле (1956), "Гармонический анализ и разрывные группы в слабо симметричных римановых пространствах с приложениями к рядам Дирихле", J. Indian Math. Soc. , New Series, 20 : 47–87, MR 0088511. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Сунада, Тошиказу (1991), Формулы следов в спектральной геометрии , Proc. ICM-90 Киото, Springer-Verlag, стр. 577–585. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
Внешние ссылки
- Страница ресурсов формулы трассировки Сельберга