Закрытая геодезическая

В дифференциальной геометрии и динамических систем , А замкнутой геодезической на риманова многообразия является геодезической , которая возвращается в исходную точку с тем же направлении касательной. Его можно формализовать как проекцию замкнутой орбиты геодезического потока на касательное пространство многообразия.

Определение [ править ]

В римановом многообразии ( M , g ) замкнутая геодезическая - это кривая , являющаяся геодезической для метрики g и периодическая.${\ displaystyle \ gamma: \ mathbb {R} \ rightarrow M}$

Замкнутые геодезические можно охарактеризовать с помощью вариационного принципа. Обозначая пространством гладких 1-периодических кривых на M , замкнутые геодезические периода 1 - это в точности критические точки функции энергии , определяемой равенством${\ displaystyle \ Lambda M}$${\ Displaystyle E: \ Lambda M \ rightarrow \ mathbb {R}}$

${\displaystyle E(\gamma )=\int _{0}^{1}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,\mathrm {d} t.}$

Если является замкнутым геодезическим периодом р , то репараметризационным кривым является замкнутым геодезическим периодом 1, и , следовательно , это критическая точка Е . Если - критическая точка E , то репараметризованные кривые для каждой из них определяются как . Таким образом , всякая замкнутая геодезическая на М приводит к бесконечной последовательности критических точек энергии Е .${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle t\mapsto \gamma (pt)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma ^{m}}$${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \gamma ^{m}(t):=\gamma (mt)}$

Примеры [ править ]

На единичной сфере со стандартной круглой римановой метрикой каждая большая окружность является примером замкнутой геодезической. Таким образом, на сфере все геодезические замкнуты. На гладкой поверхности, топологически эквивалентной сфере, это может быть неверно, но всегда есть по крайней мере три простых замкнутых геодезических; это теорема о трех геодезических . ^[1] Многообразия, все геодезические которых замкнуты, подробно исследованы в математической литературе. На компактной гиперболической поверхности , фундаментальная группа которой не имеет кручения, замкнутые геодезические находятся во взаимно однозначном соответствии с нетривиальными классами сопряженности элементов фуксовой группы${\displaystyle S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}}$ поверхности.

См. Также [ править ]

• Теорема Люстерника – Фета.
• Кривая сокращения потока
• Формула следа Сельберга
• Дзета-функция Сельберга
• Zoll поверхность

Ссылки [ править ]

• Бесс, А .: «Многообразия, все геодезические которых замкнуты», Ergebisse Grenzgeb. Математика. , нет. 93, Шпрингер, Берлин, 1978.
• Клингенберг, В .: "Лекции по замкнутой геодезической", Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Vol. 230. Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк, 1978. x + 227 стр. ISBN 3-540-08393-6