В дифференциальной геометрии теорема трех геодезических , также известный как теорема Люстерника-Шнирельмана , гласит , что каждое риманово многообразие с топологией сферы имеет по крайней мере три замкнутые геодезические которые образуют простые замкнутые кривые (т.е. без самопересечений). [1] [2] Результат также может быть распространен на квазигеодезические на выпуклом многограннике. Теорема точна: хотя каждая риманова 2-сфера содержит бесконечно много различных замкнутых геодезических, только три из них гарантированно не имеют самопересечений. Например, по результату Морзеесли длины трех главных осей эллипсоида различны, но достаточно близки друг к другу, то эллипсоид имеет только 3 простые замкнутые геодезические. [3]
История и доказательства
Геодезическим , на римановой поверхности, является кривой, локально прямо на каждой из его точек. Например, на евклидовой плоскости геодезические представляют собой прямые , а на поверхности сферы геодезические - большие окружности . Кратчайший путь на поверхности между двумя точками всегда является геодезической, но могут существовать и другие геодезические. Геодезическая называется замкнутой геодезической, если она возвращается в свою начальную точку и начальное направление; при этом он может перекреститься несколько раз. Теорема о трех геодезических гласит, что для поверхностей, гомеоморфных сфере, существует не менее трех замкнутых геодезических без самопересечения. Их может быть больше трех, например, сама сфера их бесконечно много.
Этот результат проистекает из математики океанской навигации, где поверхность Земли может быть точно смоделирована эллипсоидом , и из изучения геодезических на эллипсоиде , кратчайших путей для кораблей. В частности, почти сферический трехосный эллипсоид имеет только три простые замкнутые геодезические, свои экваторы. [4] В 1905 году Анри Пуанкаре предположил, что каждая гладкая поверхность, топологически эквивалентная сфере, также содержит по крайней мере три простых замкнутых геодезических [5], а в 1929 году Лазар Люстерник и Лев Шнирельман опубликовали доказательство этой гипотезы, которое позже было установлено. быть ущербным. [6] Доказательство было восстановлено Хансом Вернером Баллманном в 1978 г. [7]
Одно доказательство этой гипотезы исследует гомологии пространства гладких кривых на сфере и использует поток сокращения кривых, чтобы найти простую замкнутую геодезическую, которая представляет каждый из трех нетривиальных классов гомологии этого пространства. [2]
Обобщения
Усиленная версия теоремы утверждает, что на любой римановой поверхности, которая топологически является сферой, обязательно существуют три простые замкнутые геодезические, длина которых не более чем пропорциональна диаметру поверхности. [8]
Число замкнутых геодезических длины не более L на гладкой топологической сфере растет пропорционально L / log L , но не все такие геодезические могут быть гарантированы простыми. [9]
На компактных гиперболических римановых поверхностях существует бесконечно много простых замкнутых геодезических, но только конечное число с заданной границей длины. Они кодируются аналитически дзета-функцией Сельберга . Скорость роста числа простых замкнутых геодезических в зависимости от их длины была исследована Марьям Мирзахани . [10]
Негладкие метрики
Есть ли алгоритм, который может найти простую замкнутую квазигеодезическую на выпуклом многограннике за полиномиальное время?
Также возможно определить геодезические на некоторых поверхностях, которые не везде гладкие, например, на выпуклых многогранниках . Поверхность выпуклого многогранника имеет метрику, которая является локально евклидовой, за исключением вершин многогранника, а кривая, которая избегает вершин, является геодезической, если она следует по прямым отрезкам внутри каждой грани многогранника и остается прямой поперек каждого ребра многогранника. что он пересекает. Хотя некоторые многогранники имеют простые замкнутые геодезические (например, правильный тетраэдр и дифеноиды имеют бесконечно много замкнутых геодезических, все простые) [11] [12], другие нет. В частности, простая замкнутая геодезическая выпуклого многогранника обязательно делит пополам полный угловой дефект вершин, а почти все многогранники не имеют таких биссектрис. [4] [11]
Тем не менее, теорема о трех геодезических может быть распространена на выпуклые многогранники, рассматривая квазигеодезические кривые, геодезические за исключением вершин многогранников и имеющие углы меньше π с обеих сторон в каждой вершине, которую они пересекают. Версия теоремы о трех геодезических для выпуклых многогранников утверждает, что все многогранники имеют по крайней мере три простых замкнутых квазигеодезических; это можно доказать, аппроксимируя многогранник гладкой поверхностью и применяя к этой поверхности теорему о трех геодезических. [13] Это открытый вопрос , можно ли построить любую из этих квазигеодезических за полиномиальное время . [14] [15]
Рекомендации
- ^ Клингенберг, Вильгельм (1985), "Существование трех коротких замкнутых геодезических" , Дифференциальная геометрия и комплексный анализ , Springer, Берлин, стр. 169–179, MR 0780043 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
- ^ а б Грейсон, Мэтью А. (1989), "Укорачивание встроенных кривых" (PDF) , Анналы математики , вторая серия, 129 (1): 71-111, DOI : 10,2307 / 1971486 , JSTOR 1971486 , МР 0979601.
- ^ Ballmann, W .: О длинах замкнутых геодезических на выпуклых поверхностях. Изобретать. Математика. 71, 593–597 (1983)
- ^ а б Гальперин, Г. (2003), «Выпуклые многогранники без простых замкнутых геодезических» (PDF) , Regular & Chaotic Dynamics , 8 (1): 45–58, Bibcode : 2003RCD ..... 8 ... 45G , doi : 10.1070 / RD2003v008n01ABEH000231 , Руководство по ремонту 1963967.
- ^ Пуанкаре, H. (1905), "Sur ле Lignes géodésiques де поверхностей выпуклостей" [Геодезические линии на выпуклых поверхностях], Труды Американского математического общества (на французском языке), 6 (3): 237-274, DOI : 10,2307 / 1986219 , JSTOR 1986219.
- ^ Люстерник, Л .; Шнирельманн, Л. (1929), «Sur le problème de trois géodésiques fermées sur les поверхности жанра 0» [Проблема трех замкнутых геодезических на поверхностях рода 0], Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris (на французском ), 189 : 269–271..
- ^ Баллманн, Вернер (1978), "Der Satz von Lusternik und Schnirelmann", Math. Shriften , 102 : 1–25.
- ^ Лиокумович Евгений; Набутовский, Александр; Ротман, Регина (2014), Длины трех простых периодических геодезических на римановой двумерной сфере , arXiv : 1410.8456 , Bibcode : 2014arXiv1410.8456L.
- ^ Хингстон, Нэнси (1993), «О росте числа замкнутых геодезических на двумерной сфере», Международный математический Исследовательские уведомления , 1993 (9): 253-262, DOI : 10,1155 / S1073792893000285 , МР 1240637 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
- ^ Mirzakhani, Марьям (2008), "Рост числа простых замкнутых геодезических на гиперболических поверхностях", Анналы математики , 168 (1): 97-125, DOI : 10,4007 / annals.2008.168.97 , МР 2415399 , Zbl +1177,37036,
- ^ а б Фукс, Дмитрий ; Fuchs, Екатерина (2007), "Замкнутые геодезические на правильных многогранников" (PDF) , Москва математический журнал , 7 (2): 265-279, 350, DOI : 10,17323 / 1609-4514-2007-7-2-265-279 , MR 2337883 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
- ^ Коттон, Эндрю; Фриман, Дэвид; Гнепп, Андрей; Нг, Тинг; Спивак, Джон; Иодер, Cara (2005), "Изопериметрическая проблема на некоторых особых поверхностей", журнал Австралийской математического общества , 78 (2): 167-197, DOI : 10,1017 / S1446788700008016 , MR 2141875.
- ^ Погорелов А.В. (1949), "Квазигеодезические линии на выпуклой поверхности" , Математический сборник , Н.С., 25 (67): 275–306, MR 0031767 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
- ^ Демейн, Эрик Д .; О'Рурк, Джозеф (2007), «24 геодезических: Люстерник – Шнирельман», геометрические алгоритмы складывания: связи, оригами, многогранники , Кембридж: Cambridge University Press, стр. 372–375, DOI : 10.1017 / CBO9780511735172 , ISBN 978-0-521-71522-5, MR 2354878.
- ^ Ито, Джин-ичи; О'Рурк, Джозеф ; Vîlcu, Костин (2010), "Звезда разворачивание выпуклые многогранники с помощью квазигеодезическая петли", Дискретные и Вычислительная геометрия , 44 (1): 35-54, Arxiv : 0707,4258 , DOI : 10.1007 / s00454-009-9223-х , МР 2639817.