Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Ромбические равногранный тетраэдр имеет конгруэнтные грани разностороннего треугольника, и может поместиться по диагонали внутри параллелепипеда . Он имеет три набора длин кромок, существующих в виде противоположных пар.

В геометрии , А равногранный тетраэдр (от греческого sphenoeides, «клиновидность») представляет собой тетраэдр , чьи четыре грани конгруэнтных остроугольные треугольники. [1] Его также можно описать как тетраэдр, в котором каждые два противоположных ребра имеют одинаковую длину. Другие названия той же формы - сфеноид , [2] бисфеноид , [2] равнобедренный тетраэдр , [3] равносторонний тетраэдр , [4] почти правильный тетраэдр , [5] и тетрамоноэдр . [6]

Все телесные углы и фигуры вершин у дисфеноида одинаковы, а сумма углов граней в каждой вершине равна двум прямым углам . Однако дисфеноид не является правильным многогранником , потому что, как правило, его грани не являются правильными многоугольниками , а его ребра имеют три разные длины.

Частные случаи и обобщения [ править ]

Дополнительная информация: Тетраэдр § Изометрии неправильных тетраэдров

Если грани дисфеноида представляют собой равносторонние треугольники , это правильный тетраэдр с тетраэдрической симметрией T d , хотя обычно это не называется дисфеноидом. Когда стороны дисфеноида представляют собой равнобедренные треугольники , он называется тетрагональным дисфеноидом . В этом случае он имеет диэдральную симметрию D 2d . Клиновидная кость с разносторонними треугольниками на гранях называется ромбическим дисфеноидом и имеет диэдральную симметрию D 2 . В отличие от тетрагонального дисфеноида ромбический дисфеноид не имеет симметрии отражения , поэтому он хиральный . [7] И тетрагональные дифеноиды, и ромбические дифеноиды являются изоэдрами : не только конгруэнтны друг другу, но и все их грани симметричны друг другу.

Невозможно построить дисфеноид с прямоугольными или тупыми треугольными гранями. [3] Когда прямоугольные треугольники склеиваются в образе дисфеноида, они образуют плоскую фигуру (прямоугольник с двойным покрытием), не ограничивающую какой-либо объем. [7] Когда тупые треугольники склеиваются таким образом, полученная поверхность может быть сложена в дисфеноид (по теореме единственности Александрова ), но с острыми треугольными гранями и ребрами, которые, как правило, не лежат по краям данного тупого треугольника. треугольники.

Еще два типа тетраэдра обобщают дисфеноид и имеют похожие названия. У двуугольного дифеноида есть грани двух разных форм, оба равнобедренные треугольники, с двумя гранями каждой формы. Филлитовый равногранный тетраэдр аналогично имеет грань с двумя формами разносторонних треугольников.

Дисфеноиды также можно рассматривать как дигональные антипризмы или как чередующиеся четырехугольные призмы .

Характеристики [ править ]

Тетраэдр является дисфеноидом тогда и только тогда, когда его описанный параллелепипед прямоугольный. [8]

Мы также имеем, что тетраэдр является дисфеноидом тогда и только тогда, когда центр в описанной сфере и вписанной сфере совпадают. [9]

Другая характеристика утверждает, что если d 1 , d 2 и d 3 являются общими перпендикулярами AB и CD ; AC и BD ; и AD и BC соответственно в тетраэдре ABCD , то тетраэдр является дисфеноидом тогда и только тогда, когда d 1 , d 2 и d 3 попарно перпендикулярны . [8]

Дифеноиды - единственные многогранники, имеющие бесконечно много несамопересекающихся замкнутых геодезических . На дисфеноиде все замкнутые геодезические не являются самопересекающимися. [10]

Дифеноиды - это тетраэдры, в которых все четыре грани имеют одинаковый периметр , тетраэдры, в которых все четыре грани имеют одинаковую площадь [9], и тетраэдры, в которых угловые дефекты всех четырех вершин равны π . Это многогранники, имеющие сетку в форме острого треугольника, разделенного на четыре одинаковых треугольника отрезками, соединяющими середины ребер. [5]

Формулы показателей [ править ]

Объемом из равногранного тетраэдра с противоположными ребрами длинами л , м и п задается [11]

Описанная сфера имеет радиус [11] ( описанную окружность)

а вписанная сфера имеет радиус [11]

где V - объем дисфеноида, а T - площадь любой грани, которая определяется формулой Герона . Также существует следующее интересное соотношение, связывающее объем и радиус описанной окружности: [11]

Квадраты длин бимедианов равны [11]

Другие свойства [ править ]

Если четыре грани тетраэдра имеют одинаковый периметр, то тетраэдр является дисфеноидом. [9]

Если четыре грани тетраэдра имеют одинаковую площадь, то это дисфеноид. [8] [9]

Центры описанной и вписанной сфер совпадают с центроидом дисфеноида. [11]

Бимедианы перпендикулярны соединяемым ребрам и друг к другу. [11]

Соты и кристаллы [ править ]

Заполняющий пространство тетраэдрический дисфеноид внутри куба. Два ребра имеют двугранные углы 90 °, а четыре ребра имеют двугранные углы 60 °.

Некоторые тетрагональные дифеноиды образуют соты . Дисфеноид, четыре вершины которого - это (-1, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1) и (0, 1, -1), является таким дисфеноидом. [12] [13] Каждая из его четырех граней представляет собой равнобедренный треугольник с длинами сторон √ 3 , √ 3 и 2. Он может разбивать пространство на мозаику, чтобы сформировать дисфеноидную тетраэдрическую соту . Как описывает Гибб (1990) , его можно сложить из одного листа бумаги формата А4, не разрезая и не перекрывая его . [14]

«Дисфеноид» также используется для описания двух форм кристаллов :

  • Клиновидная кристаллическая форма тетрагональной или ромбической системы . Он имеет четыре одинаковых треугольных грани, которые соответствуют по положению чередующимся граням тетрагональной или ромбической дипирамиды . Он симметричен относительно каждой из трех взаимно перпендикулярных осей симметрии диад во всех классах, кроме тетрагонально-дифеноидальной, в которой форма порождается обратной тетрадной осью симметрии.
  • Кристаллическая форма, ограниченная восемью разносторонними треугольниками, расположенными попарно, составляющими тетрагональный скаленоэдр .

Другое использование [ править ]

Шесть тетрагональных дифеноидов, прикрепленных встык в кольцо, образуют калейдоцикл , бумажную игрушку, которая может вращаться на 4 наборах граней в шестиугольнике.

См. Также [ править ]

  • Ортоцентрический тетраэдр
  • Курносый дисфеноид - тело Джонсона с 12 равносторонними треугольными гранями и симметрией D 2d .
  • Треугольный тетраэдр

Ссылки [ править ]

  1. ^ Косетер, HSM (1973), регулярные многогранники (3 - е изд.), Dover Publications, стр. 15 , ISBN 0-486-61480-8
  2. ^ a b Whittaker, EJW (2013), Кристаллография: Введение для студентов-исследователей наук о Земле (и других твердотельных) , Elsevier, стр. 89, ISBN 9781483285566.
  3. ^ Б пиявка, Джон (1950), "Некоторые свойства равнобедренный тетраэдр", Математическая газета , 34 (310): 269-271, DOI : 10,2307 / 3611029 , JSTOR 3611029 , МР 0038667  .
  4. ^ Хаджа, Моваффак; Уокер, Питер (2001), "Equifacial тетраэдров", Международный журнал по математическому образованию в области науки и техники , 32 (4): 501-508, DOI : 10,1080 / 00207390110038231 , MR 1847966 , S2CID 218495301  .
  5. ^ Б Акияма, Джин (2007), "Tile-производители и полуприцепы плиточные-мейкеры", American Mathematical Monthly , 114 (7): 602-609, DOI : 10,1080 / 00029890.2007.11920450 , JSTOR 27642275 , MR 2341323 , S2CID 32897155   .
  6. ^ Demaine, Erik ; О'Рурк, Джозеф (2007), геометрические алгоритмы складывания , Cambridge University Press, стр. 424, ISBN 978-0-521-71522-5.
  7. ^ a b Петижан, Мишель (2015), «Самый хиральный дисфеноид» (PDF) , MATCH Communications in Mathematical and Computer Chemistry , 73 (2): 375–384, MR 3242747  .
  8. ^ a b c Андрееску, Титу; Гелка, Разван (2009), Задачи математической олимпиады (2-е изд.), Birkhäuser, стр. 30–31.
  9. ^ Б с д Браун, BH (апрель 1926 г.), "Теорема Взрыва равнобедренных тетраэдры.", Бакалавриат Математика Клубы: клуб Темы, American Mathematical Monthly , 33 (4): 224-226, DOI : 10,1080 / 00029890.1926.11986564 , JSTOR 2299548 .
  10. ^ Фукс, Дмитрий ; Fuchs, Екатерина (2007), "Замкнутые геодезические на правильных многогранников" (PDF) , Москва математический журнал , 7 (2): 265-279, 350, DOI : 10,17323 / 1609-4514-2007-7-2-265-279 , MR 2337883  .
  11. ^ Б с д е е г пиявка, Джон (1950), "Некоторые свойства равнобедренного тетраэдра", Математический вестник , 34 (310): 269-271, DOI : 10,2307 / 3611029 , JSTOR 3611029 .
  12. ↑ Coxeter (1973 , стр. 71–72).
  13. ^ Сенешаль, Марджори (1981), "которые заполняют пространство тетраэдры?", Математика Magazine , 54 (5): 227-243, DOI : 10,2307 / 2689983 , JSTOR 2689983 , MR 0644075  
  14. ↑ Гибб, Уильям (1990), «Выкройки из бумаги: твердые формы из метрической бумаги», « Математика в школе» , 19 (3): 2–4Перепечатано в Pritchard, Chris, ed. (2003), Изменяющаяся форма геометрии: празднование столетия геометрии и преподавания геометрии , Cambridge University Press, стр. 363–366, ISBN 0-521-53162-4

Внешние ссылки [ править ]

  • Вайсштейн, Эрик В. «Дисфеноид» . MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. "Равнобедренный тетраэдр" . MathWorld .