Дзета-функция Сельберга была введена Сельберг ( 1956 ). Это аналог известной дзета-функции Римана.
где - множество простых чисел. Дзета-функция Сельберга использует длины простых замкнутых геодезических вместо простых чисел. Если является подгруппой SL (2, R ) , ассоциированная дзета-функция Сельберга определяется следующим образом:
или же
где p пробегает классы сопряженности простых геодезических (что эквивалентно классам сопряженности примитивных гиперболических элементов ), а N ( p ) обозначает длину p (эквивалентно квадрату большего собственного значения p ).
Для любой гиперболической поверхности конечной площади существует ассоциированная дзета-функция Сельберга ; эта функция является мероморфной функцией, определенной на комплексной плоскости . Дзета-функция определяется в терминах замкнутых геодезических поверхности.
Нули и полюсы дзета-функции Сельберга Z ( s ) могут быть описаны в терминах спектральных данных поверхности.
Нули стоят в следующих точках:
- Для каждой формы возврата с собственным значением существует нуль в точке . Порядок нуля равен размерности соответствующего собственного подпространства. (Форма возврата - это собственная функция оператора Лапласа – Бельтрами, имеющего разложение Фурье с нулевым постоянным членом.)
- Дзета-функция также имеет нуль на каждом полюсе определителя матрицы рассеяния . Порядок нуля равен порядку соответствующего полюса матрицы рассеяния.
Дзета-функция также имеет полюсы в точках и может иметь нули или полюсы .
Дзета - функция Ихары считается р-адических (и теории графов) аналог дзета - функции Сельберга.
Дзета-функция Сельберга для модульной группы [ править ]
Для случая, когда поверхность есть , где - модулярная группа , дзета-функция Сельберга представляет особый интерес. В этом частном случае дзета-функция Сельберга тесно связана с дзета-функцией Римана .
В этом случае определитель матрицы рассеяния определяется выражением:
В частности, мы видим, что если дзета-функция Римана имеет нуль в точке , то определитель матрицы рассеяния имеет полюс в точке , и, следовательно, дзета-функция Сельберга имеет нуль в точке . [ необходима цитата ]
Ссылки [ править ]
- Фишер, Юрген (1987), подход к формуле следа Сельберга с помощью дзета-функции Сельберга , Lecture Notes in Mathematics, 1253 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0077696 , ISBN 978-3-540-15208-8, Руководство по ремонту 0892317
- Хейхал, Деннис А. (1976), Формула следа Сельберга для PSL (2, R). Vol. I , Конспект лекций по математике, Vol. 548, 548 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0079608 , MR 0439755
- Хейхал, Деннис А. (1983), Формула следа Сельберга для PSL (2, R). Vol. 2 , Конспект лекций по математике, 1001 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0061302 , ISBN 978-3-540-12323-1, MR 0711197
- Иванец, Х. Спектральные методы автоморфных форм, Американское математическое общество, второе издание, 2002.
- Сельберг, Атле (1956), "Гармонический анализ и разрывные группы в слабо симметричных римановых пространствах с приложениями к рядам Дирихле", J. Indian Math. Soc. , New Series, 20 : 47–87, MR 0088511.
- Венков, А.Б. Спектральная теория автоморфных функций. Proc. Стеклова. Inst. Математика, 1982.
- Сунада Т. L-функции в геометрии и некоторых приложениях // Тр. Taniguchi Symp. 1985, "Кривизна и топология римановых многообразий", Springer Lect. Примечание по математике. 1201 (1986), 266-284.