В дифференциальной геометрии , то оператор Лапласа-Бельтрами является обобщением оператора Лапласа для функций , определенных на подмногообразиях в евклидовом пространстве и, даже в более общем плане , на римановой и псевдоримановых многообразий . Он назван в честь Пьера-Симона Лапласа и Эухенио Бельтрами .
Для любой дважды дифференцируемой вещественнозначной функции f, определенной на евклидовом пространстве R n , оператор Лапласа (также известный как лапласиан ) переводит f в дивергенцию его градиентного векторного поля, которое является суммой n вторых производных от f с относительно каждого вектора ортонормированного базиса для R n . Как и лапласиан, оператор Лапласа – Бельтрами определяется как дивергенция градиента и является линейным операторомпреобразование функций в функции. Оператор может быть расширен для работы с тензорами как дивергенция ковариантной производной. В качестве альтернативы оператор может быть обобщен для работы с дифференциальными формами с использованием дивергенции и внешней производной . Результирующий оператор называется оператором Лапласа – де Рама (назван в честь Жоржа де Рама ).
Подробности
Оператор Лапласа-Бельтрами, как лапласиана, является расходимость от градиента :
Возможна явная формула в локальных координатах .
Предположим сначала, что M - ориентированное риманово многообразие . Ориентация позволяет задать определенную форму объема на M , заданную в ориентированной системе координат x i формулой
где | г | : = | det ( g ij ) | это абсолютное значение в определителе из метрического тензора , а дй я являюсь 1-формой , образующая двойной раму к раме
касательного пучка а также является клиновидным продуктом .
Дивергенция векторного поля X на многообразии тогда определяется как скалярная функция со свойством
где L Х представляет собой производную Ли вдоль векторного поля X . В локальных координатах получаем
где подразумевается обозначение Эйнштейна , так что повторяющийся индекс i суммируется.
Градиент скалярной функции ƒ - это векторное поле grad f, которое может быть определено через внутреннее произведение на многообразии, как
для всех векторов v х якорь в точке х в касательное пространство Т х М многообразия в точке х . Здесь d ƒ - внешняя производная функции; это 1-форма, принимающая аргумент v x . В локальных координатах
где г IJ являются компонентами обратной метрического тензора, так что г IJ г JK = δ я к с δ я K в Кронекера .
Комбинируя определения градиента и дивергенции, формула для оператора Лапласа – Бельтрами, примененная к скалярной функции, имеет вид в локальных координатах
Если M не ориентирован, то приведенный выше расчет выполняется точно так, как представлено, за исключением того, что форма объема должна быть заменена элементом объема ( плотностью, а не формой). На самом деле ни градиент, ни расходимость не зависят от выбора ориентации, поэтому сам оператор Лапласа – Бельтрами не зависит от этой дополнительной структуры.
Формальная самосопряженность
Внешняя производная d и −∇. являются формальными сопряженными в том смысле, что для ƒ функция с компактным носителем
где последнее равенство является применением теоремы Стокса . Дуализация дает
( 2 )
для всех функций и h с компактным носителем . Наоборот, ( 2 ) полностью характеризует оператор Лапласа – Бельтрами в том смысле, что это единственный оператор с таким свойством.
Как следствие, оператор Лапласа-Бельтрами отрицательно и формально самосопряженный, а это означает , что для финитных функций ƒ и ч ,
Поскольку оператор Лапласа – Бельтрами, как он определен таким образом, является скорее отрицательным, чем положительным, часто он определяется с противоположным знаком.
Собственные значения оператора Лапласа – Бельтрами (теорема Лихнеровича – Обаты)
Обозначим через M компактное риманово многообразие без края. Мы хотим рассмотреть уравнение на собственные значения,
где - собственная функция, связанная с собственным значением. Используя доказанную выше самосопряженность, можно показать, что собственные значениянастоящие. Компактность многообразия M позволяет показать, что собственные значения дискретны и, кроме того, векторное пространство собственных функций, связанных с данным собственным значением, т.е. все собственные подпространства конечномерны. Обратите внимание, что, взяв постоянную функцию в качестве собственной функции, мы получаем- собственное значение. Кроме того, поскольку мы рассмотрели интеграция по частям показывает, что . Точнее, если мы умножим собственное значение eqn. через собственную функциюи проинтегрируем полученное уравнение. на получаем (используя обозначения )
Выполнение интегрирования по частям или что то же самое, что использование теоремы о расходимости для члена слева, и поскольку не имеет границ, мы получаем
Соединяя два последних уравнения вместе, получаем
Из последнего уравнения заключаем, что .
Фундаментальный результат Андре Лихнеровича [1] гласит, что: Для компактного n -мерного риманова многообразия без края с. Предположим, что кривизна Риччи удовлетворяет нижней границе:
где - метрический тензор и - любой касательный вектор на многообразии . Тогда первое положительное собственное значение уравнения на собственные значения удовлетворяет нижней оценке:
Эта нижняя граница точна и достигается на сфере . Фактически на собственное подпространство для трехмерен и натянут на ограничение координатных функций из к . Использование сферических координат, на двумерная сфера, набор
мы легко видим из формулы для сферического лапласиана, показанной ниже, что
Таким образом, нижняя оценка в теореме Лихнеровича достигается по крайней мере в двух измерениях.
Наоборот, Морио Обата доказал [2], что если n- мерное компактное риманово многообразие без края таково, что для первого положительного собственного значения надо,
то многообразие изометрично n -мерной сфере, сфера радиуса . Доказательства всех этих утверждений можно найти в книге Исаака Чавела. [3] Аналогичные точные оценки также верны для других геометрий и для некоторых вырожденных лапласианов, связанных с этими геометриями, например лапласиана Кона (по Джозефу Дж. Кона ) на компактном CR-многообразии . Имеются приложения к глобальному вложению таких CR-многообразий в [4]
Тензорный лапласиан
Оператор Лапласа – Бельтрами может быть записан с использованием следа (или сжатия) повторной ковариантной производной, связанной со связностью Леви-Чивиты. Гессиан (тензор) функции симметричный 2-тензор
- , ,
где df обозначает (внешнюю) производную функции f .
Пусть X i - базис касательных векторных полей (не обязательно индуцированных системой координат). Тогда компоненты Гесса f задаются формулами
Легко видеть, что это преобразование тензорно, поскольку оно линейно по каждому из аргументов X i , X j . Тогда оператор Лапласа – Бельтрами является следом (или сжатием ) гессиана относительно метрики:
- .
Точнее, это означает
- ,
или с точки зрения метрики
В абстрактных индексах оператор часто пишется
при условии, что неявно понимается, что этот след на самом деле является следом тензора Гессе .
Поскольку ковариантная производная канонически продолжается на произвольные тензоры , оператор Лапласа – Бельтрами, определенный на тензоре T формулой
четко определено.
Оператор Лапласа – де Рама
В более общем смысле, можно определить лапласов дифференциальный оператор на сечениях расслоения дифференциальных форм на псевдоримановом многообразии . На римановом многообразии это эллиптический оператор , а на лоренцевом многообразии - гиперболический . Оператор Лапласа – де Рама определяется формулой
где d - внешняя производная или дифференциал, а δ - кодифференциал , действующий как (−1) kn + n +1 ∗ d ∗ на k -формах, где ∗ - звезда Ходжа .
При вычислении оператора Лапласа – Бельтрами над скалярной функцией f имеем δf = 0 , так что
С точностью до общего знака оператор Лапласа – де Рама эквивалентен предыдущему определению оператора Лапласа – Бельтрами при действии на скалярную функцию; подробности см. в доказательстве . На функциях оператор Лапласа – де Рама фактически является отрицательным по отношению к оператору Лапласа – Бельтрами, поскольку обычная нормализация кодифференциала гарантирует, что оператор Лапласа – де Рама (формально) положительно определен , тогда как оператор Лапласа – Бельтрами обычно отрицательный. Знак - это просто условность, и оба они распространены в литературе. Оператор Лапласа – де Рама более существенно отличается от тензорного лапласиана, ограниченного действием на кососимметричные тензоры. Помимо случайного знака, два оператора отличаются тождеством Вайтценбека, которое явно включает тензор кривизны Риччи .
Примеры
Многие примеры оператора Лапласа – Бельтрами могут быть получены в явном виде.
- Евклидово пространство
В обычных (ортонормированных) декартовых координатах x i на евклидовом пространстве метрика сводится к дельте Кронекера, и поэтому. Следовательно, в этом случае
который является обычным лапласианом. В криволинейных координатах , таких как сферические или цилиндрические координаты , можно получить альтернативные выражения .
Аналогично, оператор Лапласа – Бельтрами, соответствующий метрике Минковского с сигнатурой (- + + +), является даламбертианом .
- Сферический лапласиан
Сферический лапласиан - это оператор Лапласа – Бельтрами на ( n - 1) -сфере с его канонической метрикой постоянной секционной кривизны 1. Удобно рассматривать сферу, изометрически вложенную в R n, как единичную сферу с центром в начале координат. Тогда для функции f на S n −1 сферический лапласиан определяется формулой
где f ( x / | x |) - однородное продолжение нулевой степени функции f на R n - {0}, аявляется лапласианом объемлющего евклидова пространства. Конкретно это подразумевается известной формулой евклидова лапласиана в сферических полярных координатах:
В более общем плане можно сформулировать аналогичный трюк, используя нормальное расслоение для определения оператора Лапласа – Бельтрами любого риманова многообразия, изометрически вложенного как гиперповерхность евклидова пространства.
Можно также дать внутреннее описание оператора Лапласа – Бельтрами на сфере в нормальной системе координат . Пусть ( ϕ , ξ ) - сферические координаты на сфере относительно определенной точки p сферы («северный полюс»), то есть геодезические полярные координаты относительно p . Здесь ϕ представляет собой измерение широты вдоль геодезической единичной скорости от p , а ξ - параметр, представляющий выбор направления геодезической в S n −1 . Тогда сферический лапласиан имеет вид:
где - оператор Лапласа – Бельтрами на обычной единичной ( n - 2) -сфере. В частности, для обычной 2-сферы с использованием стандартных обозначений полярных координат получаем:
- Гиперболическое пространство
Аналогичная техника работает в гиперболическом пространстве . Здесь гиперболическое пространство H n −1 может быть вложено в n- мерное пространство Минковского , вещественное векторное пространство, снабженное квадратичной формой
Тогда H n - это подмножество будущего нулевого конуса в пространстве Минковского, заданное формулой
потом
Здесь - однородное продолжение нулевой степени функции f внутрь будущего нулевого конуса, а □ - волновой оператор
Оператор также можно записать в полярных координатах. Пусть ( t , ξ ) - сферические координаты на сфере относительно определенной точки p на H n −1 (скажем, центра диска Пуанкаре ). Здесь t представляет собой гиперболическое расстояние от p, а ξ - параметр, представляющий выбор направления геодезической в S n −2 . Тогда гиперболический лапласиан имеет вид:
где - оператор Лапласа – Бельтрами на обычной единичной ( n - 2) -сфере. В частности, для гиперболической плоскости с использованием стандартных обозначений полярных координат получаем:
Смотрите также
- Ковариантная производная
- Лапласовские операторы в дифференциальной геометрии
- Оператор Лапласа
Заметки
- ^ Лихнеровича, Андре (1958). Геометрия групп преобразований . Пэрис: Данод.
- ^ Обата, Морио (1962). «Некоторые условия изометрии риманова многообразия сфере» . J. Math. Soc. Jpn . 14 (3): 333–340. DOI : 10.2969 / jmsj / 01430333 .
- ^ Чавел, Исаак (1984), Собственные значения в римановой геометрии , Чистая и прикладная математика, 115 (2-е изд.), Academic Press, ISBN 978-0-12-170640-1
- ^ Чанильо, Сагун, Чиу, Хунг-Лин и Ян, Пол К. (2012). "Вложимость трехмерных CR-многообразий и CR-инварианты Ямабе". Математический журнал герцога . 161 (15): 2909–2921. arXiv : 1007,5020 . DOI : 10.1215 / 00127094-1902154 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Рекомендации
- Flanders, Harley (1989), Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам , Dover, ISBN 978-0-486-66169-8
- Йост, Юрген (2002), Риманова геометрия и геометрический анализ , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-42627-2.
- Соломенцев, ЭД; Шикин, Е.В. (2001) [1994], "Уравнение Лапласа – Бельтрами" , Энциклопедия математики , EMS Press