 |
В математике , простой геодезической на гиперболической поверхности является примитивной замкнутой геодезической , т.е. геодезической , которая является замкнутой кривой , которая прослеживает ее изображение ровно один раз. Такие геодезические называются первичными геодезическими, потому что, среди прочего, они подчиняются асимптотическому закону распределения, подобному теореме о простых числах .
Техническая подготовка
Мы кратко представим некоторые факты из гиперболической геометрии, которые помогут понять простые геодезические.
Гиперболические изометрии
Рассмотрим модель полуплоскости Пуанкаре H двумерной гиперболической геометрии . Для фуксовой группы , то есть дискретной подгруппы Γ в PSL (2, R ) , Γ действует на H посредством дробно-линейного преобразования . Каждый элемент PSL (2, R ) фактически определяет изометрию из Н , так что Γ является группой изометрий H .
Таким образом, существует 3 типа преобразования: гиперболическое, эллиптическое и параболическое. (Локсодромические преобразования отсутствуют, потому что мы работаем с действительными числами .) Тогда элемент γ из Γ имеет две различные действительные неподвижные точки тогда и только тогда, когда γ гиперболический. Подробнее см. Классификация изометрий и Неподвижные точки изометрий .
Закрытые геодезические
Теперь рассмотрим фактор поверхности М = Г \ Н . Следующее описание относится к модели верхней полуплоскости гиперболической плоскости . Это гиперболическая поверхность, по сути, риманова поверхность . Каждый гиперболический элемент h из Γ определяет замкнутую геодезическую Γ \ H : сначала, соединяя геодезическую полукруг, соединяющую неподвижные точки h , мы получаем геодезическую на H, называемую осью h , и, проецируя эту геодезическую на M , мы получить геодезическую на Г \ Н .
Эта геодезическая замкнута, потому что 2 точки, которые находятся на одной орбите под действием Γ, по определению проецируются в одну и ту же точку на факторе.
Можно показать, что это дает однозначное соответствие между замкнутыми геодезическими на Γ \ H и гиперболическими классами сопряженности в Γ. Первичные геодезические - это те геодезические, которые прослеживают свой образ ровно один раз - алгебраически они соответствуют примитивным гиперболическим классам сопряженности, то есть классам сопряженности {γ}, таким, что γ нельзя записать как нетривиальную степень другого элемента Γ.
Применение простых геодезических
Важность первичных геодезических исходит из их связи с другими разделами математики, особенно с динамическими системами , эргодической теорией и теорией чисел , а также с самими римановыми поверхностями . Эти приложения часто пересекаются между несколькими различными областями исследований.
Динамические системы и эргодическая теория
В динамических системах, то замкнутые геодезические представляют собой периодические орбиты на геодезическом потоке .
Теория чисел
В теории чисел были доказаны различные «теоремы о простых геодезических», которые очень похожи по духу на теорему о простых числах . Чтобы быть конкретнее, пусть π ( x ) обозначает количество замкнутых геодезических, норма которых (функция, связанная с длиной) меньше или равна x ; тогда π ( x ) ∼ x / ln ( x ). Этот результат обычно приписывают Атле Сельбергу . В своей докторской диссертации 1970 г. В своей диссертации Григорий Маргулис доказал аналогичный результат для поверхностей переменной отрицательной кривизны, а в своей диссертации 1980 г. В своей диссертации Петр Сарнак доказал аналог теоремы Чеботарева о плотности .
Есть и другие сходства с теорией чисел - оценки ошибок улучшаются почти так же, как улучшаются оценки ошибок теоремы о простых числах. Кроме того, существует дзета-функция Сельберга, которая формально похожа на обычную дзета-функцию Римана и разделяет многие ее свойства.
Алгебраически, простые Геодезические может быть подняты до более высоких поверхностей во многом таким же образом , что простые идеалы в кольце целых чисел одного числового поля могут быть разделены (умноженным) в расширении Галуа . Смотрите Покрывающую карту и Расщепление простых идеалов в расширениях Галуа для получения дополнительной информации.
Теория римановой поверхности
Замкнутые геодезические использовались для изучения римановых поверхностей; действительно, одно из первоначальных определений рода поверхности Риманом было в терминах простых замкнутых кривых. Закрытые геодезические играют важную роль в изучении собственных из лапласовских операторов , арифметических фуксовых групп и Тейхмюллер .
См. Также
- Фуксова группа
- Модульная группа Гамма
- Риманова поверхность
- Фуксова модель
- Аналитическая теория чисел
- Zoll поверхность
