Расщепление простых идеалов в расширениях Галуа

В математике , взаимодействие между группой Галуа G из расширения Галуа L из в поле номера K , и тем , как простые идеалы P в кольце целых чисел O _K факторизовать в качестве продуктов простых идеалов O _L , обеспечивает один из самых богатых части алгебраической теории чисел . Расщепление простых идеалов в расширениях Галуа иногда приписываются Давид Гильберт , называя его теорией Гильберта . Существует геометрический аналог, для разветвленного покрытий изРимановы поверхности , которые проще в том, что нужно рассматривать только один вид подгрупп группы G , а не два. Это, безусловно, было знакомо до Гильберта.

Определения [ править ]

Пусть L / K конечного расширение числовых полей, и пусть О _К и О _л соответствующего кольца целых чисел из K и L , соответственно, которые определяются быть целым замыканием целых чисел Z в рассматриваемой области.

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}O_{K}&\hookrightarrow &O_{L}\\\downarrow &&\downarrow \\K&\hookrightarrow &L\end{array}}}$

Наконец, пусть p ненулевой простой идеал в O _K или, что то же самое, максимальный идеал , так что вычет O _K / p является полем .

Из основной теории одномерных мерных колец следует существование единственного разложения

${\displaystyle pO_{L}=\prod _{j=1}^{g}P_{j}^{e_{j}}}$

идеальные рО _L , генерируемый в O _L с помощью р в произведение различного максимальных идеалов P _J , с учетом кратности х _J .

Поле Р = О _К / р , естественно вкладывается в F _J = O _L / P _J для каждого J , степень ф _J = [ O _L / P _J  : О _К / р ] этого расширения поля вычетов называется инерцией степени из P _j над p .

Кратность е _J называется индекс ветвления из Р _J над р . Если для некоторого j оно больше 1 , расширение поля L / K называется разветвленным в точке p (или мы говорим, что p разветвляется в L , или что оно разветвлено в L ). В противном случае L / K называется неразветвленным в p . Если это так, то по китайской теореме об остатках фактор O _L /pO _L - произведение полей F _j . Расширение L / K разветвлено ровно теми простыми числами, которые делят относительный дискриминант , поэтому расширение неразветвлено во всех, кроме конечного числа простых идеалов.

Мультипликативность идеальной нормы влечет

${\displaystyle [L:K]=\sum _{j=1}^{g}e_{j}f_{j}.}$

Если F _J = е _J = 1 для каждого J (и , таким образом , г = [ L  : K ]), мы говорим , что р полностью распадается в L . Если г = 1 и F ₁ = 1 (и так е ₁ = [ L  : K ]), мы говорим , что р разветвляется полностью в L . Наконец, если g = 1 и e ₁ = 1 (и поэтому f ₁ = [ L  : K]), Мы говорим , что р является инертным в L .

Ситуация Галуа [ править ]

Далее предполагается , что расширение L / K является расширением Галуа . Тогда группа Галуа действует транзитивно на P _j . То есть, главные факторы идеальных р в L образуют одну орбиты под автоморфизмами из L над K . Из этой и единственной теоремы факторизации следует , что f = f _j и e = e _j не зависят от j${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/K)}$ ; то, что, конечно, не должно быть в случае расширений, не относящихся к Галуа. Затем прочтите основные отношения

${\displaystyle pO_{L}=\left(\prod _{j=1}^{g}P_{j}\right)^{e}}$.

и

${\displaystyle [L:K]=efg.}$

Соотношение выше , показывает , что [ L  : К ] / эф равен числу г простых факторов р в O _L . По формуле стабилизатора орбиты это число также равно | G | / | D _{P j} | для каждого J , где D _{Р J} , то группа разложения из P _J , является подгруппой элементов G отправки данного P _J к себе. Поскольку степень L / Kи порядок группы G равны по основной теории Галуа, отсюда следует, что порядок группы разложения D _{P j} равен ef для любого j .

Эта группа разложения содержит подгруппу Я _{P J} , которая называется инерцией группы из P _J , состоящая из автоморфизмов L / K , которые индуцируют тождественный автоморфизм на F _J . Другими словами, I _{P j} - это ядро ​​редукционного отображения . Можно показать, что это отображение сюръективно, и отсюда следует, что оно изоморфно D _{P j} / I _{P j} и порядок группы инерции I _{P j} равен e .${\displaystyle D_{P_{j}}\to \operatorname {Gal} (F_{j}/F)}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{j}/F)}$

Теория элемента фробениусовой идет дальше, чтобы идентифицировать элемент D _{P J} / I _{P J} при заданном J , который соответствует автоморфизм Фробениуса в группе Галуа расширения конечного поля F _J / F . В неразветвленном случае порядок D _{P j} равен f, а I _{P j} тривиален. Также элемент Фробениуса в этом случае является элементом D _{P j} (и, следовательно, также элементом G ).

В геометрическом аналоге, для комплексных многообразий или алгебраической геометрии над алгебраически замкнутым полем , понятия группы разложения и группа инерции совпадает. Здесь, учитывая разветвленное покрытие Галуа, все точки, кроме конечного, имеют одинаковое количество прообразов .

Расщепление простых чисел в расширениях, которые не являются Галуа, можно изучать, используя сначала поле расщепления , то есть расширение Галуа, которое несколько больше. Например, кубические поля обычно «регулируются» содержащим их полем степени 6.

Пример - гауссовские целые числа [ править ]

В этом разделе описывается расщепление простых идеалов в расширении поля Q (I) / Q . То есть мы берем K = Q и L = Q (i), поэтому O _K - это просто Z , а O _L = Z [i] - кольцо целых гауссовских чисел . Хотя этот случай далеко не репрезентативен - в конце концов, Z [i] имеет уникальную факторизацию и не так много квадратичных полей с уникальной факторизацией - он демонстрирует многие особенности теории.

Записывая G для группы Галуа Q (i) / Q и σ для автоморфизма комплексного сопряжения в G , необходимо рассмотреть три случая.

Простое число p = 2 [ править ]

Простое число 2 числа Z разветвляется в Z [i]:

${\displaystyle (2)=(1+i)^{2}}$

Таким образом, индекс ветвления здесь e = 2. Поле вычетов равно

${\displaystyle O_{L}/(1+i)O_{L}}$

которое представляет собой конечное поле с двумя элементами. Группа разложения должна быть равна всей группе G , так как только одно простое число Z [i] выше 2. Группа инерции также является всей группой G , поскольку

${\displaystyle a+bi\equiv a-bi{\bmod {1}}+i}$

для любых целых чисел a и b , как .${\displaystyle a+bi=2bi+a-bi=(1+i)\cdot (1-i)bi+a-bi\equiv a-bi{\bmod {1}}+i}$

На самом деле, 2 является только простым , что разветвляется в Z [I], так как каждый простой , что разветвляется должно разделить дискриминант из Z [I], который является -4.

Простые числа p ≡ 1 по модулю 4 [ править ]

Любое простое число p ≡ 1 mod 4 разбивается на два различных простых идеала в Z [i]; это проявление теоремы Ферма о суммах двух квадратов . Например:

${\displaystyle 13=(2+3i)(2-3i)}$

Группы разложения в этом случае являются тривиальной группой {1}; действительно, автоморфизм σ меняет местами два простых числа (2 + 3i) и (2 - 3i), поэтому он не может быть в группе разложения ни одного простого числа. Группа инерции, будучи подгруппой группы разложения, также является тривиальной группой. Есть два поля вычетов, по одному для каждого простого числа,

${\displaystyle O_{L}/(2\pm 3i)O_{L}\ ,}$

которые оба изоморфны конечному полю из 13 элементов. Элемент Фробениуса - тривиальный автоморфизм; это означает, что

${\displaystyle (a+bi)^{13}\equiv a+bi{\bmod {2}}\pm 3i}$

для любых целых чисел a и b .

Простые числа p ≡ 3 по модулю 4 [ править ]

Любое простое число p ≡ 3 mod 4 остается инертным в Z [i]; то есть не расщепляется. Например, (7) остается простым в Z [i]. В этой ситуации группа разложения - это вся группа G , опять же, потому что есть только один простой фактор. Однако эта ситуация отличается от случая p = 2, потому что теперь σ не действует тривиально на поле вычетов

${\displaystyle O_{L}/(7)O_{L}\ ,}$

что является конечным полем с 7 ² = 49 элементами. Например, разница между 1 + i и σ (1 + i) = 1 - i равна 2i, что, конечно, не делится на 7. Следовательно, группа инерции - это тривиальная группа {1}. Группа Галуа этого поля вычетов над подполем Z / 7 Z имеет порядок 2 и порождается образом элемента Фробениуса. Фробениус - это не что иное, как σ; это означает, что

${\displaystyle (a+bi)^{7}\equiv a-bi{\bmod {7}}}$

для любых целых чисел a и b .

Резюме [ править ]

Вычисление факторизации [ править ]

Предположим , что мы хотим , чтобы определить факторизация простого идеала P из O _K в простых чисел O _L . Следующая процедура (Neukirch, стр. 47) решает эту проблему во многих случаях. Стратегия состоит в том, чтобы выбрать целое число θ в O _L так, чтобы L порождалось над K посредством θ (такое θ гарантированно существует по теореме о примитивных элементах ), а затем исследовать минимальный многочлен H ( X ) от θ над K ; это унитарный многочлен с коэффициентами в O _K . Приводя коэффициенты при H (Х ) по модулю Р , получим унитарный многочлен ч ( X ) с коэффициентами из F , (конечные) поля вычетов О _К / Р . Предположим, что h ( X ) факторизуется в кольце многочленов F [ X ] как

${\displaystyle h(X)=h_{1}(X)^{e_{1}}\cdots h_{n}(X)^{e_{n}},}$

где h _j - различные монические неприводимые многочлены из F [ X ]. Тогда, пока P не является одним из конечного числа исключительных простых чисел (точное условие описано ниже), факторизация P имеет следующий вид:

${\displaystyle PO_{L}=Q_{1}^{e_{1}}\cdots Q_{n}^{e_{n}},}$

где Q _J различные простые идеалы O _L . Кроме того, степень инерции каждого Q _j равна степени соответствующего многочлена h _j , и существует явная формула для Q _j :

${\displaystyle Q_{j}=PO_{L}+h_{j}(\theta )O_{L},}$

где h _j означает поднятие многочлена h _j на K [ X ].

В случае Галуа все степени инерции равны, а индексы ветвления e ₁ = ... = e _n равны.

Исключительные простые числа, для которых приведенный выше результат не обязательно выполняется, являются числами, не взаимно простыми с проводником кольца O _K [θ]. Проводник определяется как идеальный

${\displaystyle \{y\in O_{L}:yO_{L}\subseteq O_{K}[\theta ]\};}$

он измеряет , как далеко порядок вывод _К [θ] от того всего кольца целых чисел (максимальный порядок) O _L .

Существенное предостережение состоит в том, что существуют примеры L / K и P, такие, что не существует доступного θ, удовлетворяющего вышеуказанным гипотезам (см., Например, ^[1] ). Следовательно, приведенный выше алгоритм не может быть использован для факторизации такого P , и необходимо использовать более сложные подходы, такие как описанный в ^[2].

Пример [ править ]

Снова рассмотрим случай целых гауссовских чисел. В качестве θ возьмем мнимую единицу i с минимальным многочленом H ( X ) = X ² + 1. Поскольку Z [ ] - все кольцо целых чисел Q ( ), проводник является единичным идеалом, поэтому исключительных простые числа.${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$

Для P = (2) нам нужно работать в поле Z / (2) Z , что сводится к факторизации многочлена X ² + 1 по модулю 2:

${\displaystyle X^{2}+1=(X+1)^{2}{\pmod {2}}.}$

Следовательно, есть только один простой множитель со степенью инерции 1 и индексом ветвления 2, и он определяется выражением

${\displaystyle Q=(2)\mathbf {Z} [i]+(i+1)\mathbf {Z} [i]=(1+i)\mathbf {Z} [i].}$

Следующий случай - P = ( p ) для простого p 3 mod 4. Для конкретности возьмем P = (7). Многочлен X ² + 1 неприводим по модулю 7. Следовательно, существует только один простой множитель со степенью инерции 2 и индексом ветвления 1, и он имеет вид

${\displaystyle Q=(7)\mathbf {Z} [i]+(i^{2}+1)\mathbf {Z} [i]=7\mathbf {Z} [i].}$

В последнем случае P = ( p ) для простого p ≡ 1 mod 4; снова возьмем P = (13). На этот раз у нас есть факторизация

${\displaystyle X^{2}+1=(X+5)(X-5){\pmod {13}}.}$

Следовательно, есть два основных фактора, оба со степенью инерции и индексом ветвления 1. Они задаются формулой

${\displaystyle Q_{1}=(13)\mathbf {Z} [i]+(i+5)\mathbf {Z} [i]=\cdots =(2+3i)\mathbf {Z} [i]}$

и

${\displaystyle Q_{2}=(13)\mathbf {Z} [i]+(i-5)\mathbf {Z} [i]=\cdots =(2-3i)\mathbf {Z} [i].}$

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• «Расщепление и ветвление в числовых полях и расширениях Галуа» . PlanetMath .
• Уильям Штейн, Краткое введение в классическую и адельную теорию алгебраических чисел
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . 322 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Руководство по ремонту  1697859 . Zbl  0956.11021 .