В математике , A группа действия на пространстве является групповым гомоморфизмом данной группы в группу преобразований пространства. Точно так же действие группы на математической структуре - это групповой гомоморфизм группы в группу автоморфизмов структуры. Говорят, что группа действует на пространство или структуру. Если группа воздействует на структуру, она обычно также действует на объекты, построенные из этой структуры. Например, группа евклидовых изометрий действует на евклидовом пространствеа также на нарисованных в ней фигурах. В частности, он действует на множестве всех треугольников . Аналогично, группа симметрии одного многогранника действует на вершинах , по краям , а грани многогранника.
Групповое действие на (конечномерном) векторном пространстве называется представлением группы. Это позволяет идентифицировать множество групп с подгруппами GL ( п , К ) , в группе обратимых матриц размерности п над полем K .
Симметричная группа S п действует на любом множестве с п элементами перестановки элементов набора. Хотя группа всех перестановок набора формально зависит от набора, концепция группового действия позволяет рассматривать одну группу для изучения перестановок всех наборов с одинаковой мощностью .
Определение
Левая группа действий
Если G - группа с единичным элементом e , а X - множество, то ( левое ) групповое действие α группы G на X является функцией
(где α ( g , x ) часто сокращается до gx или g ⋅ x, когда рассматриваемое действие ясно из контекста)
который удовлетворяет следующим двум аксиомам: [1]
Личность: Совместимость:
для всех г и ч в G и всех х в X .
Говорят, что группа G действует на X (слева). Множество X вместе с действием G называется ( левый ) G - множество .
Из этих двух аксиом следует, что для любого фиксированного g в G функция из X в себя, которая отображает x в g ⋅ x, является биекцией, а обратная биекция - соответствующим отображением для g −1 . Следовательно, можно эквивалентно определить групповое действие G на X как групповой гомоморфизм из G в симметрическую группу Sym ( X ) всех биекций из X в себя. [2]
Правое групповое действие
Аналогичным образом, правая группа действий из G на X является функцией
(где α ( x , g ) часто сокращается до xg или x ⋅ g, когда рассматриваемое действие ясно из контекста)
который удовлетворяет аналогичным аксиомам:
Личность: Совместимость:
для всех г и ч в G и всех х в X .
Разница между левым и правым действиями заключается в порядке, в котором продукт gh действует на x . Для левого действия сначала действует h , затем - g . Для правильного действия сначала действует g , затем h - второе. Из-за формулы ( gh ) −1 = h −1 g −1 , левое действие может быть построено из правого действия путем компоновки с обратной операцией группы. Кроме того , правильное действие группы G на X можно рассматривать как левое действие его противоположность группы G оп на X .
Таким образом, для установления общих свойств групповых действий достаточно рассмотреть только левые действия. Однако есть случаи, когда это невозможно. Например, умножение группы вызывает как левое, так и правое действие над самой группой - умножение слева и справа, соответственно.
Виды действий
Действие G на X называется:
- Переходная , еслиХявляетсянепустыма если для каждой парых,увXсуществуетгвGтакимчто г ⋅ х = у . Такнапример, действие симметрической группыXявляется переходным, действиемобщей линейной группыилиспециальной линейной группавекторного пространстваVна V ∖ {0}является переходным, но действиеортогональной группыиз вевклидове пространство Ене является транзитивным на E ∖ {0}(оно транзитивно наединичной сфереотЕ, хотя).
- Верный (илиэффективный ), если для любых двух различныхg,hвGсуществуетxвXтакой, что g ⋅ x ≠ h ⋅ x ; илиэквивалентно, если для каждого г ≠ е вGсуществуетхвXтакимчто г ⋅ х ≠ х . Другими слова, в верном действии группы, различные элементыGвызывают различные перестановкиX. [a] В алгебраических терминах группаGточно действует наXтогда и только тогда, когда соответствующий гомоморфизм симметрической группе G → Sym ( X )имеет тривиальноеядро. Таким образом, для точного действияG вкладываетсявгруппу подстановокнаX; в частности,Gизоморфна своему образу в Sym (X). ЕслиGне действует точно наX, мы можем легко изменить группу, чтобы получить точное действие. Если мы определим N = { g в G : g ⋅ x = x для всех x в X }, тоN-нормальная подгруппагруппыG; действительно, это ядро гомоморфизма G → Sym ( X ). Факторгруппа G/Ндействует точно наXпомощью параметра( гНо ) ⋅ х = г ⋅ х . Исходное действиеGнаXявляется точным тогда и только тогда, когда N = { e }. Наименьший набор, на котором может быть определено точное действие, может сильно различаться для групп одного размера. Например:
- Три группы размера 120 - это симметрическая группа S 5 , группа икосаэдра и циклическая группа. . Наименьшие наборы, на которых могут быть определены точные действия, имеют размер 5, 12 и 16 соответственно.
- В абелевых группах размера 2 л включают циклическую группу также как и ( прямое произведение из п копия), но последний точно действует на множестве размера 2 n , тогда как первый не может точно действовать на множестве меньшем, чем он сам.
- Свободным (илиполурегулярным,или безнеподвижных точек), если для заданныхg,hвGсуществованиеxвXс g ⋅ x = h ⋅ x влечет g = h . Эквивалентно: еслиgявляется элементом группы и существуетxвXс g ⋅ x = x (то есть, еслиgимеет хотя бы одну фиксированную точку), тоgявляется единицей. Обратите внимание, что свободное действие на непустом множестве является точным.
- Обычный (илипросто транзитивный илирезко транзитивный), если он одновременно и транзитивен, и свободен; это равносильно утверждению, что для любых двухx,yвXсуществует ровно одинgвGтакой, что g ⋅ x = y . В этом случаеXназываетсяглавным однородным пространствомдляGилиG-торсором. Любая группаGдействует на себя умножением слева регулярно, а значит, и точным. Следовательно, каждая группа может быть вложена в симметрическую группу на своих собственных элементах Sym (G). Этот результат известен кактеорема Кэли.
- n-транзитивным, еслиXимеет не менееnэлементов, и для всех различныхx1, ...,x n и всех различныхy1, ...,y n существуетgвGтакой, что g ⋅ x k = y k для1 ≤ k ≤ n . 2-транзитивное действие также называетсядважды транзитивное , 3-транзитивное действие также называетсятрижды транзитивными т. д. Такие действия определяют интересные классы подгрупп в симметрических группах:2-транзитивные группыи, в более общем смысле,кратно транзитивные группы. Действие симметрической группы на множестве изnэлементов всегдаn-транзитивно; действиезнакопеременной группы(n -2) -транзитивно.
- Точно n-транзитивный, если существует ровно один такойg.
- Примитивный , если оно транзитивно и не сохраняет без нетривиального разбиенияX. См. Подробности впримитивной группе перестановок.
- Локально свободен , если G является топологической группой , и существует окрестность U из е в G такое , что ограничение действия на U является свободным; то есть, если g ⋅ x = x для некоторого x и некоторого g в U, то g = e .
Кроме того, если G действует в топологическом пространстве X , то действие будет следующим:
- Блуждающий, если каждая точка x в X имеет такую окрестность U , чтоконечно. [3] Например, действие на по переводам блуждает. Действие модулярной группы на полуплоскости Пуанкаре также блуждающее.
- Собственно разрывным, если X - локально компактное пространство и для любого компактного подмножества K ⊂ X множествоконечно. Приведенные выше блуждающие действия также являются прерывистыми. С другой стороны, действие на дано блуждающий и свободный, но не прерывистый. [4]
- Правильно, еслиG- топологическая группа и отображение изявляется надлежащим . [5] Если G является дискретным , то собствен эквивалентен надлежащим разрывом для G -действий.
- Говорят , что дискретные орбиты , если орбита каждого х в X под действием G дискретна в X . [3]
- Накрытие действие , если каждая точка х в X имеет окрестность U такая , что. [6]
Если Х представляет собой ненулевой модуль над кольцом R и действие G является R -линейного то она называется
- Неприводимый, если нет ненулевого собственного инвариантного подмодуля.
Орбиты и стабилизаторы
Рассмотрим группу G , действующей на множестве X . Орбита элемента х в X есть множество элементов в X , в которой х можно перемещать элементы G . Орбита x обозначается G ⋅ x :
Определяющие свойства гарантии группы , что множество орбит (точек х , в) Х под действием G образуют перегородку из X . Ассоциированные отношение эквивалентности определяется говоря х ~ у , если и только если существует г в G с г ⋅ х = у . В этом случае орбиты являются классами эквивалентности по этому отношению; два элемента x и y эквивалентны тогда и только тогда, когда их орбиты совпадают, то есть G ⋅ x = G ⋅ y .
Действие группы является транзитивным , если и только если оно имеет ровно один оборот, то есть, если существует й в X с G ⋅ х = X . Это так, если и только если G ⋅ x = X для всех x в X (при условии, что X непусто).
Множество всех орбит X под действием G записывается как X / G (или, реже: G \ X ), и называется фактором действия. В геометрических ситуациях это можно назватьпространство орбит , тогда как в алгебраических ситуациях его можно назвать пространствомКоинварианты , аобозначениеX G , в отличие от инвариантов (неподвижных точек), обозначеноX G : коинварианты являютсячастным,а инварианты -подмножеством. Коинвариантная терминология и обозначения используются, в частности, вгрупповых когомологияхигрупповых гомологиях, которые используют одно и то же соглашение о надстрочных / подстрочных индексах.
Инвариантные подмножества
Если Y представляет собой подмножество из X , один пишет GY для множества { г ⋅ у : у ∈ Y и г ∈ G } . Подмножество Y называется инвариантным относительно G, если G ⋅ Y = Y (что эквивалентно G ⋅ Y ⊆ Y ). В этом случае, G также действует на Y , ограничивая действие на Y . Подмножество Y называется неподвижной при G , если г ⋅ у = у для всех г в G и все у в Y . Каждое подмножество, фиксированное относительно G , также инвариантно относительно G , но не наоборот.
Каждая орбита является инвариантным подмножеством X, на котором G действует транзитивно . Наоборот, любое инвариантное подмножество X является объединением орбит. Действие G на X является транзитивным тогда и только тогда , когда все элементы эквивалентны, а это означает , что существует только одна орбита.
G-инвариантный элемент X является х ∈ Х такое , что г ⋅ х = х для всех г ∈ G . Множество всех таких х обозначается X G и называются G-инварианты из X . Когда Х представляет собой G - модуль , X G является нулевой когомологий группы G с коэффициентами в X , и высшие группы когомологий являются производные функторы по функтора из G -инвариантов.
Подгруппы неподвижных точек и стабилизаторов
Для g в G и x в X с g ⋅ x = x говорят, что « x - неподвижная точка g » или что « g фиксирует x ». Для каждого х в X , то стабилизатор подгруппа из G относительно х (также называется группа изотропии или небольшой группы [7] ) есть множество всех элементов в G , что исправление х :
Это подгруппа группы G , хотя обычно она не является нормальной. Действие G на X является свободным тогда и только тогда , когда все стабилизаторы являются тривиальными. Ядро N гомоморфизма с симметрической группой, G → Sym ( X ) , определяется пересечением стабилизаторов G х для всех х в X . Если N тривиально, действие называется точным (или эффективным).
Пусть x и y - два элемента в X , и пусть g - такой групповой элемент, что y = g ⋅ x . Тогда две группы стабилизаторов G x и G y связаны соотношением G y = g G x g −1 . Доказательство: по определению h ∈ G y тогда и только тогда, когда h ⋅ ( g ⋅ x ) = g ⋅ x . Применяя g −1 к обеим частям этого равенства, получаем ( g −1 hg ) ⋅ x = x ; то есть g −1 hg ∈ G x . Обратное включение следует аналогично, принимая час ∈ G х и предполагая х = г -1 ⋅ у .
Сказанное выше говорит о том, что стабилизаторы элементов на одной орбите сопряжены друг с другом. Таким образом, каждой орбите можно сопоставить класс сопряженности подгруппы группы G (то есть множество всех сопряженных подгруппы). ПозволятьОбозначим класс сопряженности Н . Тогда орбита O имеет тип если стабилизатор некоторого / любого x из O принадлежит. Тип максимальной орбиты часто называют типом главной орбиты .
Теорема о стабилизаторе орбиты и лемма Бернсайда
Орбиты и стабилизаторы тесно связаны. Для фиксированного x в X рассмотрим отображение f : G → X, заданное формулой g ↦ g · x . По определению образ f ( G ) этого отображения - это орбита G · x . Условие того, что два элемента имеют одно и то же изображение:
- .
Другими словами, если и только если а также лежат в одной и той же смежном классе по подгруппе стабилизатора. Таким образом, волокно из F над любым у в G · х содержится в таком смежном классе, и каждый такой смежный класс также имеет место в качестве волокна. Следовательно, f определяет биекцию между множествомсмежных классов по стабилизирующей подгруппе и орбите G · x , которая отправляет. [8] Этот результат известен как теорема о стабилизаторе орбиты .
Если G конечна, то теорема о стабилизаторе орбиты вместе с теоремой Лагранжа дает
другими словами , длина орбиты х раз порядка его стабилизатора является порядок группы. В частности, это означает, что длина орбиты является делителем группового порядка.
- Пример: пусть G группа простого порядка p, действующая на множестве X с k элементами. Поскольку каждая орбита состоит из 1 или p элементов, имеется не менее орбиты длины 1, являющиеся G -инвариантными элементами.
Этот результат особенно полезен, поскольку его можно использовать для подсчета аргументов (обычно в ситуациях, когда X также конечно).
- Пример: мы можем использовать теорему о стабилизаторе орбиты для подсчета автоморфизмов графа . Рассмотрим кубический граф, как показано на рисунке, и пусть G обозначает его группу автоморфизмов . Затем G действует на множестве вершин {1, 2, ..., 8}, и это действие транзитивно, что можно увидеть, составив вращения вокруг центра куба. Таким образом, по теореме о стабилизаторе орбиты . Применяя теперь теорему к стабилизатору G 1 , получаем . Любой элемент группы G , фиксирующий 1, должен отправить 2 в 2, 4 или 5. В качестве примера таких автоморфизмов рассмотрим поворот вокруг диагональной оси через 1 и 7 посредством который переставляет 2,4,5 и 3,6,8 и исправляет 1 и 7. Таким образом, . Применение теоремы в третий раз дает . Любой элемент G, который фиксирует 1 и 2, должен отправить 3 либо 3, либо 6. Отражение куба в плоскости через 1, 2, 7 и 8 является таким автоморфизмом, который отправляет 3 в 6, таким образом . Также видно, что состоит только из тождественного автоморфизма, так как любой элемент G, фиксирующий 1, 2 и 3, должен также фиксировать все другие вершины, поскольку они определяются своей смежностью с 1, 2 и 3. Объединяя предыдущие вычисления, теперь мы можем получить .
Результатом, тесно связанным с теоремой о стабилизаторе орбиты, является лемма Бернсайда :
где X g - множество точек, фиксируемых g . Этот результат в основном используется, когда G и X конечны, когда его можно интерпретировать следующим образом: количество орбит равно среднему количеству точек, зафиксированных на один элемент группы.
Зафиксировав группу G , набор формальных разностей конечных G -множеств образует кольцо, называемое кольцом Бернсайда группы G , где сложение соответствует несвязному объединению , а умножение - декартову произведению .
Примеры
- В тривиальное действие любой группыGна любом множествеXопределяется следующим образом: g ⋅ x = x для всехgвGи всехxвX; то есть, каждый элемент группы индуцируеттождественную перестановкунаX. [9]
- В каждой группе G , умножение слева есть действие G на G : г ⋅ х = дх для всех г , х в G . Это действие свободно и транзитивно (регулярный), и формирует основу для быстрого доказательства теоремы Кэли - что каждая группа изоморфна подгруппе симметрической группы перестановок множества G .
- В каждой группе G с подгруппой H , умножение слева есть действие G на множестве смежных классов G / H : г ⋅ аН = г для всех г , на в G . В частности, если H не содержит нетривиальных нормальных подгрупп группы G, это индуцирует изоморфизм группы G в подгруппу группы перестановок степени [G: H] .
- В каждой группе G , конъюгация является действием G на G : г ⋅ х = GXG -1 . Для варианта с правым действием обычно используется экспоненциальная запись: x g = g −1 xg ; он удовлетворяет ( x g ) h = x gh .
- В каждой группе G с подгруппой H , конъюгации является действием G на конъюгатов Н : г ⋅ K = ГКГ -1 для всех г в G и K конъюгатов H .
- Симметрическая группа S n и ее подгруппы действуют на множестве {1,…, n } , переставляя его элементы
- Группа симметрии из многогранника действует на множестве вершин этого многогранника. Он также действует на множество граней или множество ребер многогранника.
- Группа симметрии любого геометрического объекта действует на множество точек этого объекта.
- Группа автоморфизмов из векторного пространства (или графика , или группы, или кольца ...) действует на векторном пространстве (или набор вершин графа, или группы, или кольца ...).
- Линейная группа GL ( п , К ) и его подгруппы, в частности ее подгруппы Ли ( в том числе специальной линейной группы SL ( п , К ) , ортогональной группы O ( п , К ) , специальная ортогональная группа SO ( п , К ) , и симплектическая группа Sp ( n , K ) ) - группы Ли , действующие в векторном пространстве K n . Групповые операции задаются умножением матриц из групп на векторы из K n .
- Линейная группа GL ( п , Z ) действует на Z п естественной матрицы действия. Орбиты его действия классифицируются по наибольшему общему делителю координат вектора в Z n .
- Аффинная группа действует транзитивно на точках в аффинном пространстве , а подгруппа В аффинной группы (то есть, векторное пространство) имеет транзитивное и свободное (то есть, регулярное ) действие на этих точках; [10] действительно, это может быть использовано для определения аффинного пространства .
- Проективная группа PGL ( п + 1, К ) и ее подгруппы, в частности , ее подгруппы Ли, которые являются группами Ли , которые действуют на проективном пространстве Р п ( К ). Это фактор действия полной линейной группы на проективном пространстве. Особенно примечателен PGL (2, K ) , симметрия проективной прямой, которая является строго 3-транзитивной, сохраняя поперечное отношение ; группа Мёбиусово ПГЛ (2, С ) представляет особый интерес.
- В изометрии плоскости действуют на множестве 2D изображений и шаблонов, таких как узоры обоев . Определение можно сделать более точным, указав, что подразумевается под изображением или шаблоном, например, функция положения со значениями в наборе цветов. Изометрии фактически являются одним из примеров аффинной группы (действия). [ сомнительно ]
- Наборы действовали на группу G включают категории из G - множества , в которых объекты G -множеств и морфизмы являются G -set гомоморфизмы: функции F : X → Y такое , что г ⋅ ( е ( х )) = F ( г ⋅ х ) для каждого г в G .
- Группа Галуа из расширения полого L / K действует на поле L , но имеет только тривиальное действие на элементах подполе К. подгруппы Gal (L / K) соответствует подполей , которые содержат L K, то есть, промежуточное поле расширения между L и K.
- Аддитивная группа действительных чисел ( R , +) действует на фазовое пространство " хорошо управляемых " систем в классической механике (и в более общих динамических системах ) путем перевода времени : если t находится в R, а x находится в фазе пространство, то x описывает состояние системы, а t + x определяется как состояние системы через t секунд, если t положительно, или -t секунд назад, если t отрицательно.
- Аддитивная группа действительных чисел ( R , +) действует на множество действительных функций действительной переменной по-разному, причем ( t ⋅ f ) ( x ) равно, например, f ( x + t ) , f ( x ) + t , f ( xe t ) , f ( x ) e t , f ( x + t ) e t или f ( xe t ) + t , но не f ( xe t + t ) .
- Учитывая групповое действие G на X , мы можем определить индуцированное действие G на множестве степеней X , положив g ⋅ U = { g ⋅ u : u ∈ U } для каждого подмножества U в X и каждого g в G . Это полезно, например, при изучении действия большой группы Матье на 24-множестве и при изучении симметрии в некоторых моделях конечной геометрии .
- В кватернионах с нормой 1 ( versors ), в качестве мультипликативной группы, действуют на R 3 : для любого такого кватернионов г = соз α / 2 + v грех α / 2 , то отображение F ( х ) = г х г * является вращение против часовой стрелки на угол α вокруг оси, заданной единичным вектором v ; z - то же вращение; см. кватернионы и пространственное вращение . Обратите внимание, что это неверное действие, потому что кватернион −1 оставляет все точки, где они были, как и кватернион 1.
- Для данных левых G -множествсуществует левое G -множествоэлементами которого являются G -эквивариантные отображения, а с левым G- действием, заданным формулой (где ""указывает правильное умножение на ). Это G -множество обладает тем свойством, что его неподвижные точки соответствуют эквивариантным отображениям; в более общем смысле , это экспоненциал в категории от G - множеств.
Групповые действия и группоиды
Понятие группового действия можно поместить в более широкий контекст, используя группоид действий. связаны с действием группы, что позволяет использовать методы теории группоидов, такие как представления и расслоения . Далее стабилизаторы действия - это группы вершин, а орбиты действия - компоненты группоида действия. Дополнительные сведения см. В книге « Топология и группоиды», ссылка на которую приводится ниже.
Этот группоид действий имеет морфизм p : G ′ → G, который является накрывающим морфизмом группоидов . Это позволяет установить связь между такими морфизмами и покрывающими картами в топологии.
Морфизмы и изоморфизмы между G -множествами
Если Х и Y являются два G -множеств, А морфизм из X в Y является функцией F : X → Y такое , что F ( г ⋅ х ) = г ⋅ F ( х ) для всех г в G и всех х в X . Морфизмы G -множеств также называются эквивариантными отображениями или G-отображениями .
Композиция двух морфизмов снова является морфизмом. Если морфизм f биективен, то его обратный также является морфизмом. В этом случае f называется изоморфизмом , а два G -множества X и Y называются изоморфными ; для всех практических целей изоморфные G -множества неразличимы.
Некоторые примеры изоморфизмов:
- Каждое регулярное действие G изоморфно действию G на G, заданному левым умножением.
- Каждое свободное действие G изоморфно G × S , где S - некоторое множество, а G действует на G × S левым умножением на первую координату. ( S можно принять как множество орбит X / G. )
- Каждое транзитивное G действие изоморфно левое умножение на G на множестве левых смежных классов некоторой подгруппы H из G . ( H можно рассматривать как группу стабилизаторов любого элемента исходного G -множества.)
С этим понятием морфизма совокупность всех G -множеств образует категорию ; эта категория является топосом Гротендика (фактически, исходя из классической металогики, этот топос будет даже логическим).
Непрерывные групповые действия
Часто рассматривает непрерывные действия группы : группа G является топологической группой , X является топологическим пространством , а отображение G × X → X является непрерывным относительно топологии произведения на G × X . Пространство X в этом случае также называется G-пространством . Это действительно обобщение, поскольку каждую группу можно рассматривать как топологическую группу, используя дискретную топологию . Все понятия , введенные выше еще работы в этом контексте, однако мы определим морфизмы между G -пространствами быть непрерывными карты , совместимые с действием G . Фактор X / G наследует фактор - топологию из X , и называется фактор - пространством действия. Приведенные выше утверждения об изоморфизмах для регулярных, свободных и транзитивных действий больше не верны для непрерывных групповых действий.
Если X - регулярное накрывающее пространство другого топологического пространства Y , то действие группы преобразований колоды на X собственно разрывно и свободно. Каждое свободное собственно разрывное действие группы G на линейно связном топологическом пространстве X возникает следующим образом: фактор-отображение X ↦ X / G является регулярным накрывающим отображением, а группа преобразований колоды - это заданное действие группы G на X . Кроме того, если X односвязно, фундаментальная группа X / G будет изоморфна G .
Эти результаты были обобщены в упомянутой ниже книге Топология и группоиды для получения фундаментального группоида пространства орбит разрывного действия дискретной группы на хаусдорфовом пространстве, так же как при разумных локальных условиях группоид орбит фундаментального группоида группы космос. Это позволяет выполнять вычисления, такие как фундаментальная группа симметрического квадрата пространства X , а именно пространство орбит произведения X с самим собой при скручивающем действии циклической группы порядка 2, отправляющей ( x , y ) в ( y , x ) .
Действие группы G на локально компактном пространстве X является кокомпактная , если существует компактное подмножество A из X такой , что ГА = Х . Для правильной прерывистого действия, cocompactness эквивалентна компактности фактор - пространства X / G .
Действие G на X называется собственным, если отображение G × X → X × X, которое передает ( g , x ) ↦ ( g⋅x , x ), является собственным отображением .
Сильно непрерывное групповое действие и гладкие точки
Групповое действие топологической группы G на топологическом пространстве X называется сильно непрерывным, если для всех x в X отображение g ↦ g ⋅ x непрерывно относительно соответствующих топологий. Такое действие индуцирует действие в пространстве непрерывных функций на X , определяя ( g ⋅ f ) ( x ) = f ( g −1 ⋅ x ) для каждого g в G , f - непрерывную функцию на X и x в X . Заметим, что, хотя любое непрерывное групповое действие сильно непрерывно, обратное, в общем случае, неверно. [11]
Подпространство гладких точек для действия - это подпространство X точек x таких, что g ↦ g ⋅ x гладко, то есть непрерывно и все производные [ где? ] непрерывны.
Варианты и обобщения
Мы также можем рассматривать действия моноидов на множествах, используя те же две аксиомы, что и выше. Однако это не определяет биективные отображения и отношения эквивалентности. См. Действие полугруппы .
Вместо действий на множествах, мы можем определить действия групп и моноидов на объектах произвольной категории: старт с объектом X некоторой категории, а затем определить действие на X как моноидное гомоморфизм в моноид эндоморфизмов X . Если X имеет базовый набор, то все определения и факты, указанные выше, могут быть перенесены. Например, если мы возьмем категорию векторных пространств , мы получим представления групп таким образом.
Мы можем рассматривать группу G как категорию с одним объектом, в котором каждый морфизм обратим. Тогда действие (левой) группы является не чем иным, как (ковариантным) функтором из G в категорию множеств , а представление группы - это функтор из G в категорию векторных пространств . Таким образом, морфизм между G-множествами является естественным преобразованием между функторами действия группы. По аналогии действие группоида - это функтор из группоида в категорию множеств или в некоторую другую категорию.
Помимо непрерывных действий топологических групп на топологических пространствах, один также часто рассматриваются гладкие действия из групп Ли на гладких многообразиях , регулярных действий алгебраических групп на алгебраических многообразиях и действия в групповых схем по схемам . Все это примеры групповых объектов, действующих на объекты соответствующей категории.
Галерея
Орбита фундаментального сферического треугольника (отмечена красным) под действием полной октаэдрической группы.
Орбита фундаментального сферического треугольника (отмечена красным) под действием полной группы икосаэдра.
Смотрите также
- Измеримые групповые действия
- График усиления
- Группа с операторами
- Моноидное действие
Заметки
- ^ то есть ассоциированное представление перестановки инъективно.
Цитаты
- ^ ЭИЭ & Chang (2010). Курс абстрактной алгебры . п. 144.
- ^ Это делается, например, Смит (2008). Введение в абстрактную алгебру . п. 253.
- ^ а б Терстон, Уильям (1980), Геометрия и топология трехмерных многообразий , Примечания к лекциям Принстона, стр. 175
- Перейти ↑ Thurston 1980 , p. 176.
- ^ Том Дик, Таммо (1987), Группы преобразований , Исследования де Грюйтера по математике, 8 , Берлин: Walter de Gruyter & Co., стр. 29, DOI : 10.1515 / 9783110858372.312 , ISBN 978-3-11-009745-0, Руководство по ремонту 0889050
- ^ Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета. п. 72. ISBN 0-521-79540-0.
- ^ Прочези, Клаудио (2007). Группы Ли: подход через инварианты и представления . Springer Science & Business Media. п. 5. ISBN 9780387289298. Проверено 23 февраля 2017 года .
- ^ М. Артин, Алгебра , предложение 6.4 на с. 179
- ^ Эй и Чанг (2010). Курс абстрактной алгебры . п. 145.
- ^ Рид, Майлз (2005). Геометрия и топология . Кембридж, Великобритания Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 170. ISBN 9780521613255.
- ^ Юань, Цяочу (27 февраля 2013 г.). "Вики-определение" строго непрерывного группового действия "неверно?" . Обмен математическими стеками . Проверено 1 апреля 2013 года .
Рекомендации
- Ашбахер, Майкл (2000). Теория конечных групп . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-78675-1. Руководство по ремонту 1777008 .
- Браун, Рональд (2006). Топология и группоиды , Booksurge PLC, ISBN 1-4196-2722-8 .
- Категории и группоиды, П. Дж. Хиггинс , загружаемое переиздание "Заметок ван Ностранда по математике", 1971 г., в которых рассматриваются приложения группоидов в теории групп и топологии.
- Даммит, Дэвид; Ричард Фут (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Вайли. ISBN 0-471-43334-9.
- Эй, Минкинг; Чанг, Шоу-Дэ (2010). Курс абстрактной алгебры . World Scientific. ISBN 978-981-4271-88-2.
- Ротман, Джозеф (1995). Введение в теорию групп . Тексты для выпускников по математике 148 (4-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94285-8.
- Смит, Джонатан Д.Х. (2008). Введение в абстрактную алгебру . Учебники по математике. CRC Press. ISBN 978-1-4200-6371-4.
Внешние ссылки
- «Действие группы на многообразии» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Вайсштейн, Эрик В. «Групповое действие» . MathWorld .