Икосаэдрическая симметрия

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны )

Ведущий раздел этой статьи , возможно , придется переписать . Используйте руководство по макету, чтобы убедиться, что раздел соответствует нормам Википедии и включает все важные детали. ( Май 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Май 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Группы точек в трех измерениях
Группа полиэдров , [n, 3], (* n32)
Инволюционная симметрия C _s , (*) [] =	Циклическая симметрия C _nv , (* nn) [n] =	Диэдральная симметрия D _nh , (* n22) [n, 2] =
Тетраэдрическая симметрия T _d , (* 332) [3,3] =	Октаэдрическая симметрия O _h , (* 432) [4,3] =	Икосаэдрическая симметрия I _h , (* 532) [5,3] =

Фундаментальные области икосаэдрической симметрии

Футбольный мяч , обычный Пример сферического усеченный икосаэдр , имеет полную симметрию икосаэдра.

Икосаэдр имеет 60 вращение (или сохраняющее ориентацию) симметрии, и порядок симметрии 120 в том числе преобразований , которые сочетают в себе отражение и вращение. Додекаэдра имеет тот же набор симметрий, так как она является двойной икосаэдра.

Полная группа симметрии (включая отражения) известна как группа Кокстера H ₃ и также представлена нотацией Кокстера [5,3] и диаграммой Кокстера. . Набор сохраняющих ориентацию симметрий образует подгруппу, изоморфную группе A ₅ ( знакопеременная группа из 5 букв).

Как точечная группа [ править ]

Помимо двух бесконечных серий призматической и антипризматической симметрии, вращательной икосаэдрической симметрии или киральной икосаэдрической симметрии киральных объектов и полной икосаэдрической симметрии или ахиральной икосаэдрической симметрии есть дискретные точечные симметрии (или, что эквивалентно, симметрии на сфере ) с наибольшими группами симметрии .

Икосаэдрическая симметрия несовместима с трансляционной симметрией , поэтому нет связанных кристаллографических точечных групп или пространственных групп .

Schö.	Coxeter		Сфера.	Абстрактная структура	Заказ
я	[5,3] ⁺		532	А 5	60
Я _ч	[5,3]		* 532	А ₅ × 2	120

Презентации, соответствующие вышеуказанному:

{\ displaystyle I: \ langle s, t \ mid s ^ {2}, t ^ {3}, (st) ^ {5} \ rangle \}

I_{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\

Они соответствуют группам икосаэдра (вращательным и полным), являющимся (2,3,5) треугольными группами .

Первая презентация была сделана Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1856 году в его статье по икозианскому исчислению . ^[1]

Обратите внимание, что возможны другие представления, например, как чередующаяся группа (для I ).

Визуализации [ править ]

Schoe. ( Сфера. )	Обозначение Кокстера	Элементы	Зеркальные схемы
Schoe. ( Сфера. )	Обозначение Кокстера	Элементы	Ортогональный	Стереографическая проекция
Я _ч (* 532)	[5,3]	Зеркальные линии: 15
Я (532)	[5,3] ⁺	Точки вращения : 12 ₅ 20 ₃ 30 ₂

Структура группы [ править ]


Ребра сферического соединения из пяти октаэдров представляют 15 зеркальных плоскостей в виде больших цветных кругов. Каждый октаэдр своими краями может представлять 3 ортогональные зеркальные плоскости.

Pyritohedral симметрия является индекс 5 подгруппой икосаэдрической симметрии, с 3 ортогональными зелеными линиями отражения и 8 красных порядка 3 гирационных точек. Существует 5 различных ориентаций пиритоэдрической симметрии.

Икосаэдрическая группа вращений Я имею порядок 60. группа I является изоморфной к А ₅ , то знакопеременной группа четных перестановок пяти объектов. Этот изоморфизм может быть реализован посредством воздействия I на различные соединения, в частности соединение пяти кубов (которые вписываются в додекаэдр ), соединение пяти октаэдров или любое из двух соединений пяти тетраэдров (которые являются энантиоморфами и вписываются в додекаэдр).

Группа содержит 5 версий T _h с 20 версиями D ₃ (10 осей, по 2 на каждую ось) и 6 версий D ₅ .

Полная группа икосаэдра я _ч имеет порядок 120. Это I в нормальной подгруппе из индекса 2. группа I _ч изоморфна I × Z ₂ , или A ₅ × Z ₂ , с инверсией в центре соответствующего элементу (идентичности , -1), где Z ₂ записывается мультипликативно.

I _h действует на соединение пяти кубов и соединение пяти октаэдров , но −1 действует как тождество (поскольку кубы и октаэдры центрально-симметричны). Он действует на соединение десяти тетраэдров : I действует на две хиральные половины ( соединения пяти тетраэдров ), а -1 меняет местами две половинки. Примечательно, что он не действует как S ₅ , и эти группы не изоморфны; подробности см. ниже.

В группу входят 10 версий D _3d и 6 версий D _5d (симметрии типа антиприз).

I также изоморфен PSL ₂ (5), но I _h не изоморфен SL ₂ (5).

Обычно путают группы [ править ]

Все следующие группы имеют порядок 120, но не изоморфны:

S ₅ , симметричная группа на 5 элементах
I _h , полная группа икосаэдра (тема этой статьи, также известная как H ₃ )
2 I , бинарная группа икосаэдра

Они соответствуют следующим коротким точным последовательностям (последняя из которых не разделяется) и произведению

1\to A_{5}\to S_{5}\to Z_{2}\to 1

I_{h}=A_{5}\times Z_{2}

1\to Z_{2}\to 2I\to A_{5}\to 1

Прописью,

$A_{5}$ является нормальной подгруппой в $S_{5}$
$A_{5}$ является фактором , из , который является прямым произведением $I_{h}$
$A_{5}$ является фактор - группа из $2I$

Обратите внимание, что имеет исключительное неприводимое 3-мерное представление (как группа вращений икосаэдра), но не имеет неприводимого 3-мерного представления, соответствующего полной группе икосаэдра, не являющейся симметрической группой. $A_{5}$ $S_{5}$

Они также могут быть связаны с линейными группами над конечным полем с пятью элементами, которые непосредственно показывают подгруппы и накрывающие группы; ни одна из них не является полной группой икосаэдров:

$A_{5}\cong \operatorname {PSL} (2,5),$ проективная специальная линейная группа , см здесь для доказательства;
$S_{5}\cong \operatorname {PGL} (2,5),$ проективная общая линейная группа ;
$2I\cong \operatorname {SL} (2,5),$ специальная линейная группа .

Классы сопряженности [ править ]

120 симметрий делятся на 10 классов сопряженности.

классы сопряженности
я	дополнительные классы I _h
личность, порядок 1 12-кратное вращение на ± 72 °, порядок 5, вокруг 6 осей через центры граней 12-кратное вращение на ± 144 °, порядок 5, вокруг 6 осей через центры граней 20-кратное вращение на ± 120 °, порядок 3, вокруг 10 осей через вершины 15-кратное вращение на 180 °, порядок 2, вокруг 15 осей через середины краев	центральная инверсия, порядок 2 12-кратное поворотное отражение на ± 36 °, порядка 10, вокруг 6 осей через центры граней 12-кратное поворотное отражение на ± 108 °, порядка 10, вокруг 6 осей через центры граней 20 × вращательное отражение на ± 60 °, порядок 6, вокруг 10 осей через вершины 15 × отражение, порядок 2, в 15 плоскостях, проходящих через края

Подгруппы полной группы симметрии икосаэдра [ править ]

Отношения подгруппы

Отношения киральных подгрупп

Каждая строка в следующей таблице представляет один класс сопряженных (т. Е. Геометрически эквивалентных) подгрупп. Колонка «Мульт. (кратность) дает количество различных подгрупп в классе сопряженности. Расшифровка цветов: зеленый = группы, образованные отражениями, красный = хиральные (сохраняющие ориентацию) группы, которые содержат только вращения.

Группы описываются геометрически в терминах додекаэдра. Аббревиатура «hts (край)» означает «половинный поворот, меняющий местами этот край с противоположным краем», и аналогично для «грань» и «вершина».

Schön.	Coxeter	Сфера.	HM	Структура	Заказ	Индекс	Mult.	Описание
Я _ч	[5,3]	* 532	53 2 / м	А 5 × Z ₂	120	1	1	полная группа
Д _2ч	[2,2]	* 222	М-м-м	Dih 2 × Dih ₁ = Dih ₁³	8	15	5	фиксация двух противоположных краев, возможно, их поменять местами
C _5v	[5]	* 55	5м	Dih ₅	10	12	6	исправление лица
C _3v	[3]	* 33	3м	Dih ₃ = S ₃	6	20	10	фиксация вершины
C _2v	[2]	* 22	2мм	Dih ₂ = Dih ₁²	4	30	15	закрепление края
C _s	[]	*	2 или м	Dih ₁	2	60	15	отражение, меняющее местами две конечные точки ребра
Т _ч	[ ³⁺ , 4]	3 * 2	м 3	А ₄ × Z ₂	24	5	5	пиритоэдрическая группа
D _5d	[ ²⁺ , 10]	2 * 5	10 кв.м.	Dih ₁₀ = Z ₂ × Dih ₅	20	6	6	фиксация двух противоположных граней, возможно, их поменять местами
D _3d	[ ²⁺ , 6]	2 * 3	3 мес.	Dih ₆ = Z ₂ × Dih ₃	12	10	10	фиксируя две противоположные вершины, возможно, поменяв их местами
D _1d = C _2h	[ ²⁺ , 2]	2 *	2 / м	Dih ₂ = Z 2 × Dih ₁	4	30	15	половина поворота вокруг середины края, плюс центральная инверсия
С ₁₀	[ ²⁺ , ¹⁰⁺ ]	5 ×	5	Z ₁₀ = Z ₂ × Z ₅	10	12	6	повороты лица плюс центральная инверсия
S ₆	[2 ⁺ , 6 ⁺ ]	3 ×	3	Z ₆ = Z ₂ × Z ₃	6	20	10	вращения вокруг вершины плюс центральная инверсия
S ₂	[2 ⁺ , 2 ⁺ ]	×	1	Z ₂	2	60	1	центральная инверсия
я	[5,3] ⁺	532	532	А ₅	60	2	1	все вращения
Т	[3,3] ⁺	332	332	А ₄	12	10	5	вращения содержащегося тетраэдра
D ₅	[2,5] ⁺	522	522	Dih ₅	10	12	6	вращения вокруг центра лица и hts (лицо)
D ₃	[2,3] ⁺	322	322	Dih ₃ = S ₃	6	20	10	вращения вокруг вершины и hts (вершина)
D ₂	[2,2] ⁺	222	222	Dih ₂ = Z ₂²	4	30	15	половина поворота вокруг середины края и hts (край)
С ₅	[5] ⁺	55	5	Z ₅	5	24	6	вращения вокруг центра лица
C ₃	[3] ⁺	33	3	Z ₃ = A ₃	3	40	10	вращения вокруг вершины
C ₂	[2] ⁺	22	2	Z ₂	2	60	15	пол-оборота вокруг середины края
C ₁	[] ⁺	11	1	Z ₁	1	120	1	тривиальная группа

Стабилизаторы вершин [ править ]

Стабилизаторы противоположной пары вершин можно интерпретировать как стабилизаторы оси, которую они порождают.

стабилизаторы вершин в I задают циклические группы C ₃
стабилизаторы вершин в I _h дают группы диэдра D ₃
стабилизаторы противоположной пары вершин в I дают группы диэдра D ₃
стабилизаторы противоположной пары вершин в I _h дают $D_{3}\times \pm 1$

Стабилизаторы кромок [ править ]

Стабилизаторы противоположной пары ребер можно интерпретировать как стабилизаторы прямоугольника, который они создают.

стабилизаторы ребер в I задают циклические группы Z ₂
стабилизаторы ребер в I _h дают четыре группы Клейна $Z_{2}\times Z_{2}$
стабилизаторы пары ребер в I задают четырехгруппы Клейна ; их 5, которые задаются поворотом на 180 ° по 3 перпендикулярным осям. $Z_{2}\times Z_{2}$
стабилизаторы пары лезвий в I _ч подать ; их 5, они задаются отражениями в 3 перпендикулярных осях. $Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}$

Стабилизаторы лица [ править ]

Стабилизаторы противоположной пары граней можно интерпретировать как стабилизаторы создаваемой ими антипризмы .

стабилизаторы граней в I даю циклические группы C ₅
стабилизаторы граней в I _h дают диэдральные группы D ₅
стабилизаторы противоположной пары граней в I дают диэдральные группы D ₅
стабилизаторы противоположной пары граней в I _h дают $D_{5}\times \pm 1$

Стабилизаторы многогранников [ править ]

Для каждого из них есть 5 сопряженные копии, а действие конъюгации дает карту, действительно изоморфизм, . $I{\stackrel {\sim }{\to }}A_{5}<S_{5}$

стабилизаторы вписанных тетраэдров в I являются копией T
стабилизаторы вписанных тетраэдров в I _h являются копией T
стабилизаторы вписанных кубов (или противоположной пары тетраэдров или октаэдров) в I являются копией T
стабилизаторы вписанных кубов (или противоположной пары тетраэдров или октаэдров) в I _h являются копией T _h

Генераторы группы Кокстера [ править ]

Полная группа симметрии икосаэдра [5,3] () порядка 120 имеет генераторы, представленные матрицами отражения R ₀ , R ₁ , R ₂ ниже, с соотношениями R ₀² = R ₁² = R ₂² = (R ₀ × R ₁ ) ⁵ = (R ₁ × R ₂ ) ³ = (R ₀ × R ₂ ) ² = Идентичность. Группа [5,3] ⁺ () порядка 60 порождается любыми двумя поворотами S _0,1 , S _1,2 , S _0,2 . Rotoreflection порядка 10 порождается V _0,1,2 , произведение всех 3 -х отражений. Здесь обозначает золотое сечение . $\phi ={\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$

[5,3],
	Размышления			Вращения			Rotoreflection
Имя	R ₀	R ₁	R ₂	S _0,1	S _1,2	S _0,2	В _0,1,2
Группа
Заказ	2	2	2	5	3	2	10
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$
	(1,0,0) _сущ.	$({\begin{smallmatrix}{\frac {\phi }{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {\phi -1}{2}}\end{smallmatrix}})$ _п	(0,1,0) _п	(φ, 1,0) _ось	(1,1,1) _ось	(1,0,0) _ось

Фундаментальная область [ править ]

Фундаментальные области для группы вращения икосаэдра и полной группы икосаэдра задаются следующим образом:

Икосаэдрическая группа вращения
I

Полная группа икосаэдра
I _h

Грани триаконтаэдра Дисьякиса являются основной областью

В триаконтаэдре дисьякиса одна полная грань является фундаментальной областью; другие твердые тела с такой же симметрией могут быть получены путем регулировки ориентации граней, например, сглаживания выбранных подмножеств граней для объединения каждого подмножества в одну грань или замены каждой грани несколькими гранями или изогнутой поверхности.

Многогранники с икосаэдрической симметрией [ править ]

Киральные многогранники [ править ]

Учебный класс	Символы	Рисунок
Архимедов	ср {5,3}
Каталонский	V3.3.3.3.5

Полная симметрия икосаэдра [ править ]

Платоново твердое тело	Многогранники Кеплера – Пуансо		Архимедовы тела
{5,3}	{5 / 2,5}	{5 / 2,3}	т {5,3}	т {3,5}	г {3,5}	р-р {3,5}	тр {3,5}
Платоново твердое тело	Многогранники Кеплера – Пуансо		Каталонские твердые вещества
{3,5} знак равно	{5,5 / 2} знак равно	{3,5 / 2} знак равно	V3.10.10	V5.6.6	V3.5.3.5	V3.4.5.4	V4.6.10

Другие объекты с икосаэдрической симметрией [ править ]

Примеры симметрии икосаэдра

Капсид аденовируса

Додекаборат ион [B ₁₂ H ₁₂ ] ^2-

Поверхности Барта
Структура вируса и капсид
В химии додекаборат- ион ([B ₁₂ H ₁₂ ] ^2- ) и молекула додекаэдрана (C ₂₀ H ₂₀ )

Жидкие кристаллы с икосаэдрической симметрией [ править ]

Для промежуточной материальной фазы, называемой жидкими кристаллами, существование икосаэдрической симметрии было предложено Х. Клейнертом и К. Маки ^[2], и ее структура была впервые подробно проанализирована в этой статье. См. Обзорную статью здесь . В алюминии структура икосаэдра была экспериментально обнаружена через три года после этого Дэном Шехтманом , что принесло ему Нобелевскую премию в 2011 году.

Связанные геометрии [ править ]

Икосаэдральная симметрия эквивалентно проективной специальной линейной группе PSL (2,5) и является группой симметрии модулярной кривой X (5), а в более общем смысле PSL (2, p ) является группой симметрии модулярной кривой X ( p ). Модульная кривая X (5) геометрически представляет собой додекаэдр с острием в центре каждой многоугольной грани, что демонстрирует группу симметрии.

Эта геометрия и связанная с ней группа симметрии изучались Феликсом Клейном как группы монодромии поверхности Белого - римановой поверхности с голоморфным отображением на сферу Римана, разветвленной только в точках 0, 1 и бесконечности ( функция Белого ) - точки возврата - это точки, лежащие над бесконечностью, а вершины и центры каждого ребра лежат над 0 и 1; степень покрытия (количество листов) равна 5.

Это возникло в результате его попыток дать геометрическое обоснование того, почему икосаэдрическая симметрия возникла при решении уравнения пятой степени , с теорией, изложенной в знаменитом ( Klein 1888 ); современное изложение дано в ( Tóth 2002 , Раздел 1.6, Дополнительная тема: Теория Икосаэдра Кляйна, стр. 66 ).

Исследования Кляйна продолжили свое открытие порядка 7 и порядка 11 симметрий в ( Klein & 1878 / 79b ) и ( Klein 1879 г. ) (и связанные с ними покрытиями степени 7 и 11) и Dessins d'Enfants , в первую , дающий квартиком Klein , чьим ассоциированная геометрия разбита на 24 семиугольника (с выступом в центре каждого).

Аналогичная геометрия имеет место для PSL (2, n ) и более общих групп для других модулярных кривых.

Более экзотично, существуют особые связи между группами PSL (2,5) (порядок 60), PSL (2,7) (порядок 168) и PSL (2,11) (порядок 660), которые также допускают геометрическую интерпретацию - PSL (2,5) - симметрии икосаэдра (род 0), PSL (2,7) квартики Клейна (род 3) и PSL (2,11) поверхности бакибола (род 70). Эти группы образуют « троицу » в смысле Владимира Арнольда , что дает основу для различных отношений; подробности см. в троицах .

Существует тесная связь с другими Платоновыми телами .

См. Также [ править ]

Тетраэдрическая симметрия
Октаэдрическая симметрия
Бинарная группа икосаэдра
Икозианское исчисление

Ссылки [ править ]

↑ Сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1856 г.), «Меморандум о новой системе корней единства» (PDF) , Philosophical Magazine , 12 : 446
^ Клейнерт, Х. & Maki, К. (1981). «Структуры решетки в холестерических жидких кристаллах» (PDF) . Fortschritte der Physik . 29 (5): 219–259. DOI : 10.1002 / prop.19810290503 .

Кляйн, Ф. (1878). "Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen" [О преобразовании седьмого порядка эллиптических функций]. Mathematische Annalen . 14 (3): 428–471. DOI : 10.1007 / BF01677143 .В переводе Леви, Сильвио, изд. (1999). Восьмеричный путь . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-66066-2. Руководство по ремонту 1722410 .CS1 maint: ref=harv (link)
Кляйн, Ф. (1879), "Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (О преобразовании одиннадцатого порядка эллиптических функций)" , Mathematische Annalen , 15 (3–4): 533–555, doi : 10.1007 / BF02086276 , собрано как pp. 140–165 в Oeuvres, Tome 3
Кляйн, Феликс (1888), Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени , Trübner & Co., ISBN 0-486-49528-0пер . Джордж Гэвин Моррис
Тот, Габор (2002), Конечные группы Мебиуса, минимальные погружения сфер и модули
Питер Р. Кромвель, Многогранники (1997), стр. 296
Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, ISBN 978-1-56881-220-5
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
Н. В. Джонсон : геометрии и преобразования , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.5 Сферические группы Кокстера

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Икосаэдрическая группа» . MathWorld .
ПОДГРУППЫ W (H3) ( Подгруппы других групп Кокстера ) Гоц Пфайффер

[1] Сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1856 г.), «Меморандум о новой системе корней единства» (PDF) , Philosophical Magazine , 12 : 446

[2] Клейнерт, Х. & Maki, К. (1981). «Структуры решетки в холестерических жидких кристаллах» (PDF) . Fortschritte der Physik . 29 (5): 219–259. DOI : 10.1002 / prop.19810290503 .