Правильный икосаэдр

Правильный икосаэдр
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Платоново твердое тело
Элементы	F = 20, E = 30 V = 12 (χ = 2)
Лица по сторонам	20 {3}
Обозначение Конвея	Я сТ
Символы Шлефли	{3,5}
	s {3,4} sr {3,3} или${\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 3 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}$
Конфигурация лица	V5.5.5
Символ Wythoff	5 | 2 3
Диаграмма Кокстера
Симметрия	I h , H 3 , [5,3], (* 532)
Группа вращения	Я , [5,3] + , (532)
Рекомендации	U 22 , C 25 , W 4
Характеристики	правильный , выпуклый дельтаэдр
Двугранный угол	138.189685 ° = агссоз (- √ 5 / 3 )
3.3.3.3.3 ( фигура вершины )	Правильный додекаэдр ( двойственный многогранник )
Сеть

3D модель правильного икосаэдра

В геометрии , A регулярно икосаэдр ( / ˌ aɪ к ɒ ы ə ч я д т ən , - к ə -, - к oʊ - / или / aɪ ˌ к ɒ ы ə ч я д т ən / ^[1] ) представляет собой выпуклый многогранник с 20 гранями, 30 ребрами и 12 вершинами. Это одно из пяти Платоновых тел., и тот, у кого больше всего лиц.

У него пять равносторонних треугольных граней, пересекающихся в каждой вершине. Он представлен символом Шлефли {3,5} или иногда фигурой вершины 3.3.3.3.3 или 3 ⁵ . Это двойное из додекаэдра , который представлен {5,3}, имеющее три пятиугольных лиц вокруг каждой вершины.

Правильный икосаэдр - это строго выпуклый дельтаэдр и гиродлинная пятиугольная бипирамида и двуугловая пятиугольная антипризма в любой из шести ориентаций.

Название происходит от греческого εἴκοσι (eíkosi)  «двадцать» и ἕδρα (hédra)  «сиденье». Множественное число может быть «икосаэдрами» или «икосаэдрами» ( / - d r ə / ).

Размеры [ править ]

Если длина ребра правильного икосаэдра равна a , радиус описанной сферы (той, которая касается икосаэдра во всех вершинах), будет

${\displaystyle r_{u}={\frac {a}{2}}{\sqrt {\phi {\sqrt {5}}}}={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}=a\sin {\frac {2\pi }{5}}\approx 0.951\,056\,5163\cdot a}$ OEIS :  A019881

а радиус вписанной сферы ( касательной к каждой из граней икосаэдра) равен

${\displaystyle r_{i}={\frac {\phi ^{2}a}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {\sqrt {3}}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)a\approx 0.755\,761\,3141\cdot a}$ OEIS :  A179294

в то время как средний радиус, который касается середины каждого края, равен

${\displaystyle r_{m}={\frac {a\phi }{2}}={\frac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a=a\cos {\frac {\pi }{5}}\approx 0.809\,016\,99\cdot a}$ OEIS :  A019863

где ϕ - золотое сечение .

Площадь и объем [ править ]

Площадь поверхности A и объем V правильного икосаэдра с длиной ребра a равны:

${\displaystyle A=5{\sqrt {3}}a^{2}\approx 8.660\,254\,04a^{2}}$ OEIS :  A010527

${\displaystyle V={\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})a^{3}\approx 2.181\,694\,99a^{3}}$ OEIS :  A102208

Последний в F  =  20 раз больше объема обычного тетраэдра с вершиной в центре вписанной сферы, где объем тетраэдра в одну треть больше площади основания.√ 3 а ²/4умноженное на его высоту r _i .

Коэффициент заполнения объема описанной сферы составляет:

${\displaystyle f={\frac {V}{{\frac {4}{3}}\pi r_{u}^{3}}}={\frac {20(3+{\sqrt {5}})}{(2{\sqrt {5}}+10)^{\frac {3}{2}}\pi }}\approx 0.605\,461\,3829}$, по сравнению с 66,49% для додекаэдра.

Сфера, вписанная в икосаэдр, будет охватывать 89,635% его объема по сравнению с 75,47% для додекаэдра.

Средняя часть икосаэдра будет иметь объем в 1,01664 раза больше, чем объем икосаэдра, что на сегодняшний день является наиболее близким по объему подобием любого платонового тела с его средней сферой. Возможно, это делает икосаэдр самым «круглым» из платоновых тел.

Декартовы координаты [ править ]

Вершины икосаэдра с центром в начале координат с ребром длиной 2 и описанной окружностью от описывается круговыми перестановками из: ^[2]${\displaystyle {\sqrt {\phi +2}}\approx 1.9}$

(0, ± 1, ± ϕ )

где ϕ  = 1 + √ 5/2это золотое сечение .

Взятие всех перестановок (не только циклических) приводит к Соединению двух икосаэдров .

Обратите внимание, что эти вершины образуют пять наборов из трех концентрических, взаимно ортогональных золотых прямоугольников , ребра которых образуют кольца Борромео .

Если исходный икосаэдр имеет длину ребра 1, его двойной додекаэдр имеет длину ребра√ 5 - 1/2 знак равно 1/ϕ= ϕ  - 1.

12 ребер правильного октаэдра можно разделить в золотом сечении, так что результирующие вершины образуют правильный икосаэдр. Это делается путем размещения векторов по краям октаэдра таким образом, чтобы каждая грань была ограничена циклом, а затем аналогичным образом разделяя каждое ребро на золотую середину в направлении его вектора. Пяти октаэдров , определяющий любой данное икосаэдр образует правильное многогранное соединение , в то время как два икосаэдры , которые могут быть определены таким образом , из любого октаэдра образует однородный полиэдр соединение .

Сферические координаты [ править ]

Расположение вершин правильного икосаэдра можно описать с помощью сферических координат , например широты и долготы . Если две вершины взяты на северном и южном полюсах (широта ± 90 °), то остальные десять вершин находятся на широте ± arctan (1/2) ≈ ± 26,57 °. Эти десять вершин находятся на равном расстоянии друг от друга по долготе (36 ° друг от друга), чередуя северную и южную широты.

Эта схема использует тот факт, что правильный икосаэдр представляет собой пятиугольную гиро-удлиненную бипирамиду с двугранной симметрией D _5d, то есть он образован из двух конгруэнтных пятиугольных пирамид, соединенных пятиугольной антипризмой .

Ортогональные проекции [ править ]

Икосаэдр имеет три специальных ортогональных проекции с центрами на грани, ребре и вершине:

Сферическая мозаика [ править ]

Икосаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость через стереографическую проекцию . Эта проекция является конформной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.

Другие факты [ править ]

• Икосаэдр состоит из 43 380 различных сетей . ^[3]
• Чтобы раскрасить икосаэдр таким образом, чтобы никакие две смежные грани не имели одинаковый цвет, требуется как минимум 3 цвета. ^[а]
• Проблема, восходящая к древним грекам, состоит в том, чтобы определить, какая из двух форм имеет больший объем: икосаэдр, вписанный в сферу, или додекаэдр, вписанный в ту же сферу. Проблема была решена , среди прочего, Герой , Паппусом и Фибоначчи . ^[4] Аполлоний Пергский обнаружил любопытный результат: соотношение объемов этих двух форм совпадает с соотношением площадей их поверхностей. ^{[5] В} обоих томах есть формулы, включающие золотое сечение , но с разными степенями. ^[6] Как оказалось, икосаэдр занимает меньше объема сферы (60,54%), чем додекаэдр (66,49%). ^[7]

Построение по системе равносторонних линий [ править ]

Следующая конструкция икосаэдра позволяет избежать утомительных вычислений в числовом поле ℚ [ √ 5 ], необходимых в более элементарных подходах.

Существование икосаэдра сводится к существованию шести равноугольных прямых в ℝ ³ . Действительно, пересечение такой системы равноугольных прямых с евклидовой сферой с центром в их общем пересечении дает двенадцать вершин правильного икосаэдра, что легко проверить. И наоборот, если предположить существование правильного икосаэдра, прямые, определяемые его шестью парами противоположных вершин, образуют равноугольную систему.

Чтобы построить такую ​​равноугольную систему, мы начнем с этой квадратной матрицы 6 × 6 :

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{crrrrr}0&1&1&1&1&1\\1&0&1&-1&-1&1\\1&1&0&1&-1&-1\\1&-1&1&0&1&-1\\1&-1&-1&1&0&1\\1&1&-1&-1&1&0\end{array}}\right).}$

Прямое вычисление дает A ² = 5 I (где I - единичная матрица 6 × 6). Это означает , что имеет собственные значения - √ 5 и √ 5 , оба с кратностью 3 , так как является симметричным и следа нулевой.

Матрица + √ 5 Я индуцирует таким образом, евклидова структура на фактор - пространство ℝ ⁶ / кег ( + √ 5 я ) , которая изоморфна к ℝ ³ с момента ядра кег ( А + √ 5 I ) из A + √ 5 I имеет размерность 3. Изображение под проекцией π  : ℝ ⁶ → ℝ ⁶ / кег ( + √ 5 я ) из шести координат осей ℝ V ₁ , ..., ℝ против ₆ в ℝ ⁶ образуеттаким образомсистема из шести равносторонних линий в ℝ ³ пересекающихся попарно в общей острым углом агссоз ¹ / _{√ 5} . Ортогональная проекция ± v ₁ , ..., ± V ₆ на √ 5 -подпространство из А даеттаким образом, двенадцать вершин икосаэдра.

Вторая прямая конструкция икосаэдра использует теорию представлений знакопеременной группы A _5, действующей прямыми изометриями на икосаэдре.

Симметрия [ править ]

Вращательное группа симметрии икосаэдра является изоморфной к знакопеременной группе по пять букв. Это не- абелева простая группа является единственным нетривиальным нормальная подгруппа в симметрической группы по пять букв. Поскольку группа Галуа общего уравнения квинтики изоморфна симметрической группе из пяти букв, а эта нормальная подгруппа проста и неабелева, общее уравнение квинтики не имеет решения в радикалах. Доказательство теоремы Абеля – Руффини использует этот простой факт, а Феликс Клейннаписал книгу, в которой использовала теорию симметрий икосаэдра для получения аналитического решения общего уравнения пятой степени ( Klein 1884 ). См. Симметрию икосаэдра: связанные геометрии для дальнейшей истории и связанные симметрии семи и одиннадцати букв.

Полная группа симметрии икосаэдра (включая отражения) известна как полная группа икосаэдра и изоморфна произведению группы вращательной симметрии и группы C ₂ размера два, которая генерируется отражением через центр икосаэдр.

Stellations [ править ]

Икосаэдр имеет большое количество звездочек . Согласно определенным правилам, определенным в книге «Пятьдесят девять икосаэдров» , для правильного икосаэдра было идентифицировано 59 звёздчатых звёзд. Первая форма - это сам икосаэдр. Один из них - правильный многогранник Кеплера – Пуансо . Три - правильные составные многогранники . ^[8]

Facetings [ править ]

Небольшой звездчатый додекаэдр , большой додекаэдр и большой икосаэдр три facetings икосаэдра. У них одинаковое расположение вершин . У всех 30 ребер. Правильный икосаэдр и большой додекаэдр имеют одинаковое расположение ребер, но различаются гранями (треугольники против пятиугольников), как и маленький звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр (пентаграммы против треугольников).

Геометрические отношения [ править ]

Имеются искажения икосаэдра, которые, хотя и не являются регулярными, тем не менее однородны по вершинам . Они инвариантны относительно тех же вращений, что и тетраэдр, и в некоторой степени аналогичны курносому кубу и курносому додекаэдру , включая некоторые формы, которые являются киральными, а некоторые - с T _h -симметрией, т.е. имеют разные плоскости симметрии от тетраэдра.

Икосаэдр уникален среди Платоновых тел тем, что имеет двугранный угол не менее 120 °. Его двугранный угол составляет примерно 138,19 °. Таким образом, точно так же, как шестиугольники имеют углы не менее 120 ° и не могут использоваться в качестве граней выпуклого правильного многогранника, поскольку такая конструкция не удовлетворяет требованию, чтобы по крайней мере три грани пересекались в вершине и оставляли положительный дефект для складывания в три измерения, икосаэдры не могут быть использованы в качестве клеток выпуклого регулярного polychoron , потому что, аналогично, по меньшей мере , три клетки должна отвечать на кромку и оставить положительный дефект для складывания в четырех измерений (в общем случае для выпуклого многогранника в празмеров, по крайней мере, три грани должны встречаться на пике и оставлять положительный дефект для складывания в n -пространстве). Однако в сочетании с подходящими ячейками, имеющими меньшие двугранные углы, икосаэдры можно использовать в качестве ячеек в полурегулярных полихорах (например, курносых 24 элементах ), так же как шестиугольники можно использовать в качестве граней в полурегулярных многогранниках (например, усеченный икосаэдр ). Наконец, к невыпуклым многогранникам не предъявляются такие же строгие требования, как к выпуклым многогранникам, и икосаэдры действительно являются ячейками 120-элементной икосаэдра , одной из десяти невыпуклых правильных полихор .

Икосаэдр можно также назвать гиродлинной пятиугольной бипирамидой . Ее можно разложить на гироподобную пятиугольную пирамиду и пятиугольную пирамиду или на пятиугольную антипризму и две равные пятиугольные пирамиды.

Связь с 6-кубом и ромбическим триаконтаэдром [ править ]

Его можно спроецировать в трехмерное изображение из 6-мерного 6-полукуба с использованием тех же базисных векторов, которые образуют оболочку ромбического триаконтаэдра из 6-куба . Здесь показаны 20 внутренних вершин, которые не соединены 30 внешними ребрами корпуса с 6D нормальной длиной √ 2 . Внутренние вершины образуют додекаэдр .

Используемые базисные векторы трехмерной проекции [u, v, w]:

и = (1, φ , 0, -1, φ , 0)

v = ( φ , 0, 1, φ , 0, -1)

w = (0, 1, φ , 0, -1, φ )

Однородные раскраски и подсимметрии [ править ]

Икосаэдр имеет 3 одинаковых раскраски . Эти раскраски могут быть представлены как 11213, 11212, 11111, назвав 5 треугольных граней вокруг каждой вершины их цветом.

Икосаэдр можно рассматривать как курносый тетраэдр, поскольку ослабление правильного тетраэдра дает правильный икосаэдр, имеющий киральную тетраэдрическую симметрию . Он также может быть построен как чередующийся усеченный октаэдр, имеющий пиритоэдрическую симметрию . Вариант пиритоэдрической симметрии иногда называют псевдоикосаэдром , и он двойственен пиритоэдру .

	Обычный	Униформа			2-униформа
Имя	Правильный икосаэдр	Курносый октаэдр	Snub tetratetrahedron	Курносая квадратная бипирамида	Пятиугольная гиро-удлиненная бипирамида	Гиробиантикупола треугольная	Курносая треугольная антипризма [9]
Изображение
Раскраска лица	(11111)	(11212)	(11213)	(11212)	(11122) (22222)	(12332) (23333)	(11213) (11212)
Диаграмма Кокстера
Символ Шлефли	{3,5}	с {3,4}	ср {3,3}	SDT {2,4}	() || {n} || г {п} || ()		сс {2,6}
Конвей	я	HtO	СТ	HtdP4	k5A5		sY3 = HtA3
Симметрия	I h [5,3] (* 532)	T h [3 + , 4] (3 * 2)	Т [3,3] + (332)	D 2h [2,2] (* 222)	D 5d [2 + , 10] (2 * 5)	D 3d [2 + , 6] (2 * 3)	Д 3 [3,2] + (322)
Порядок симметрии	60	24	12	8	20	12	6

Использование и естественные формы [ править ]

Биология [ править ]

Многие вирусы , например вирус герпеса , имеют икосаэдрическую оболочку . ^[10] Вирусные структуры состоят из повторяющихся идентичных белковых субъединиц, известных как капсомеры , и икосаэдр является самой простой формой для сборки с использованием этих субъединиц. Используется правильный многогранник, потому что он может быть построен из единственного базового белка, используемого снова и снова; это экономит место в вирусном геноме .

Обнаружены также различные бактериальные органеллы икосаэдрической формы. ^[11] Икосаэдрическая оболочка, инкапсулирующая ферменты и лабильные промежуточные соединения, построена из различных типов белков с доменами BMC .

В 1904 году Эрнст Геккель описал ряд видов радиолярий , в том числе Circogonia икосаэдров , чей скелет имеет форму правильного икосаэдра. Копия иллюстрации Геккеля для этого радиолярия появляется в статье о правильных многогранниках .

Химия [ править ]

Клозо - карбораны представляют собой химические соединения с формой очень близко к икосаэдру. Икосаэдрическое двойникование также происходит в кристаллах, особенно в наночастицах .

Многие бориды и аллотропы бора содержат икосаэдр бора B ₁₂ в качестве основной структурной единицы.

Игрушки и игры [ править ]

Икосаэдрические игральные кости с двадцатью сторонами использовались с давних времен. ^[12]

В нескольких ролевых играх , таких как Dungeons & Dragons , двадцатигранный кубик ( для краткости d20 ) обычно используется для определения успеха или неудачи действия. Этот кубик имеет форму правильного икосаэдра. Он может быть дважды пронумерован от «0» до «9» (в этой форме он обычно используется как десятигранный кубик или d10 ), но большинство современных версий имеют маркировку от «1» до «20».

Икосаэдр - это трехмерная игровая доска для Icosagame, ранее известная как Ico Crystal Game.

Икосаэдр используется в настольной игре Scattergories для выбора буквы алфавита. Шесть букв опущены (Q, U, V, X, Y и Z).

В игре Kirby 64: The Crystal Shards для Nintendo 64 босс Miracle Matter - это обычный икосаэдр.

Внутри Magic 8-Ball на обычном икосаэдре начертаны различные ответы на вопросы « да-нет» .

Другое [ править ]

Р. Бакминстер Фуллер и японский картограф Сёдзи Садао ^[13] разработали карту мира в виде развернутого икосаэдра, получившего название проекции Фуллера , максимальное искажение которого составляет всего 2%. Американский дуэт электронной музыки ODESZA использует в качестве логотипа обычный икосаэдр.

Икосаэдрический график [ править ]

Скелет икосаэдра (вершин и ребер) образует граф . Это один из пяти платоновых графов , каждый из которых является скелетом своего платоновского тела .

Высокая степень симметрии многоугольника повторяется в свойствах этого графа, который является транзитивным по расстоянию и симметричным . Группа автоморфизмов имеет порядок 120. Вершины можно раскрасить в 4 цвета, ребра - в 5 цветов, а диаметр равен 3. ^[14]

Граф икосаэдра является гамильтоновым : есть цикл, содержащий все вершины. Это также планарный граф .

Уменьшенные правильные икосаэдры [ править ]

Есть 4 связанных тела Джонсона , включая пятиугольные грани с подмножеством из 12 вершин. Подобный рассеченный правильный икосаэдр имеет 2 уменьшенные смежные вершины, оставляя две трапециевидные грани, а бифастигиум имеет 2 удаленных противоположных набора вершин и 4 трапециевидные грани. Пятиугольная антипризма образована удалением двух противоположных вершин.

Связанные многогранники и многогранники [ править ]

Икосаэдр может быть преобразован путем усечения в его двойственный додекаэдр:

Семейство однородных икосаэдрических многогранников
Симметрия : [5,3] , (* 532)							[5,3] + , (532)
{5,3}	т {5,3}	г {5,3}	т {3,5}	{3,5}	рр {5,3}	tr {5,3}	ср {5,3}
Двойники к однородным многогранникам
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Как курносый тетраэдр и чередование усеченного октаэдра, он также существует в семействах тетраэдрической и октаэдрической симметрии:

Семейство равномерных тетраэдрических многогранников
Симметрия : [3,3] , (* 332)							[3,3] + , (332)
{3,3}	т {3,3}	г {3,3}	т {3,3}	{3,3}	рр {3,3}	tr {3,3}	ср {3,3}
Двойники к однородным многогранникам
V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия : [4,3], (* 432)							[4,3] + (432)	[1 + , 4,3] = [3,3] (* 332)		[3 + , 4] (3 * 2)
{4,3}	т {4,3}	г {4,3} г {3 1,1 }	т {3,4} т {3 1,1 }	{3,4} {3 1,1 }	rr {4,3} s 2 {3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	ч {4,3} {3,3}	ч 2 {4,3} т {3,3}	с {3,4} с {3 1,1 }
		знак равно	знак равно	знак равно				знак равно или же	знак равно или же	знак равно
Двойники к однородным многогранникам
V4 3	V3.8 2	В (3,4) 2	V4.6 2	V3 4	V3.4 3	V4.6.8	V3 4 .4	V3 3	V3.6 2	V3 5

Этот многогранник топологически связан как часть последовательности правильных многогранников с символами Шлефли {3, n }, продолжающихся в гиперболическую плоскость .

Икосаэдр, рассматривается как курносый тетраэдр , является членом последовательности пренебрежительны многогранников и разбиений с вершиной фигурой (3.3.3.3. П ) и Кокстер-Дынкина . Эти фигуры и их двойники имеют ( n 32) вращательную симметрию , находясь в евклидовой плоскости для n = 6 и гиперболической плоскости для любого большего n . Можно считать, что серия начинается с n = 2, причем один набор граней вырождается в двуугольники .

Сферический		Гиперболические мозаики v т е
{2,5}	{3,5}	{4,5}	{5,5}	{6,5}	{7,5}	{8,5}	...	{∞, 5}

Икосаэдр может замощить гиперболическое пространство в икосаэдрических сотах порядка 3 , с 3 икосаэдрами вокруг каждого края, 12 икосаэдрами вокруг каждой вершины, с символом Шлефли {3,5,3}. Это одна из четырех регулярных мозаик в трехмерном гиперболическом пространстве.

См. Также [ править ]

• Большой икосаэдр
• Геодезические сетки используют итеративно деленный пополам икосаэдр для создания сеток на сфере
• Икосаэдрические близнецы
• Бесконечный косой многогранник
• Икосаэдр Джессена
• Правильный многогранник
• Усеченный икосаэдр

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме Икосаэдра .

В Wikisource есть текст статьи « Икосаэдр» из Британской энциклопедии 1911 года .

Найдите икосаэдр в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Клитцинг, Ричард. «Трехмерные выпуклые равномерные многогранники x3o5o - ike» .
• Хартли, Майкл. «Математические игры доктора Майка для детей» .
• К.Дж.М. Маклин, Геометрический анализ пяти платоновых тел и других полуправильных многогранников
• Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
• Tulane.edu Обсуждение вирусной структуры и икосаэдра
• Оригами Многогранники - Модели, сделанные из Модульного Оригами
• Видео зеркальной скульптуры икосаэдра
• [1] Принцип вирусной архитектуры