В геометрии дельтаэдр ( множественное число дельтаэдров ) - это многогранник , все грани которого представляют собой равносторонние треугольники . Название взято от греческой буквы « дельта» в верхнем регистре (Δ), имеющей форму равностороннего треугольника. Дельтаэдров бесконечно много, но из них только восемь выпуклых , имеющих 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 и 20 граней. [1] Количество граней, ребер и вершин указано ниже для каждого из восьми выпуклых дельтаэдров.
Восемь выпуклых дельтаэдров [ править ]
Строго выпуклых дельтаэдров всего восемь: три правильных многогранника и пять тел Джонсона .
| Правильные дельтаэдры | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Изображение | Имя | Лица | Края | Вершины | Конфигурации вершин | Группа симметрии |
 | тетраэдр | 4 | 6 | 4 | 4 × 3 3 | Т д , [3,3] |
 | октаэдр | 8 | 12 | 6 | 6 × 3 4 | О ч , [4,3] |
 | икосаэдр | 20 | 30 | 12 | 12 × 3 5 | I h , [5,3] |
| Дельтаэдры Джонсона | ||||||
| Изображение | Имя | Лица | Края | Вершины | Конфигурации вершин | Группа симметрии |
 | треугольная бипирамида | 6 | 9 | 5 | 2 × 3 3 3 × 3 4 | D 3h , [3,2] |
 | пятиугольная бипирамида | 10 | 15 | 7 | 5 × 3 4 2 × 3 5 | D 5h , [5,2] |
 | курносый дисфеноид | 12 | 18 | 8 | 4 × 3 4 4 × 3 5 | D 2d , [2,2] |
| трехугольная призма | 14 | 21 год | 9 | 3 × 3 4 6 × 3 5 | D 3h , [3,2] | |
| гиродлинная квадратная бипирамида | 16 | 24 | 10 | 2 × 3 4 8 × 3 5 | D 4d , [4,2] | |
В 6-гранном дельтаэдре некоторые вершины имеют степень 3 и некоторую степень 4. В 10-, 12-, 14- и 16-гранном дельтаэдре некоторые вершины имеют степень 4 и некоторую степень 5. Эти пять неправильных дельтаэдров принадлежат к класс тел Джонсона : выпуклые многогранники с правильными многоугольниками на гранях.
Дельтаэдры сохраняют свою форму, даже если ребра могут свободно вращаться вокруг своих вершин, так что углы между ребрами являются плавными. Не все многогранники обладают этим свойством: например, если вы ослабите некоторые углы куба , куб может деформироваться в неправильную квадратную призму .
18-гранного выпуклого дельтаэдра нет. [2] Однако икосаэдр со сжатием ребер дает пример октадекаэдра, который можно сделать выпуклым с 18 неправильными треугольными гранями или сделать из равносторонних треугольников, которые включают два компланарных набора из трех треугольников.
Нестрого выпуклые случаи [ править ]
Существует бесконечно много случаев с копланарными треугольниками, учитывающими сечения бесконечных треугольных мозаик . Если наборы копланарных треугольников считаются одной гранью, можно подсчитать меньший набор граней, ребер и вершин. Копланарные треугольные грани можно объединить в ромбические, трапециевидные, шестиугольные или другие равносторонние многоугольники. Каждое лицо должно быть выпуклым полиамонд , такие как , , , , , , и , ... [3]
Вот несколько небольших примеров:
| Изображение | Имя | Лица | Края | Вершины | Конфигурации вершин | Группа симметрии |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Расширенный октаэдр Увеличение 1 тет + 1 окт | 10 | 15 | 7 | 1 × 3 3 3 × 3 4 3 × 3 5 0 × 3 6 | C 3v , [3] | |
| 4 3 | 12 | |||||
| Тригональный трапецоэдр Увеличение 2 тец + 1 окт. | 12 | 18 | 8 | 2 × 3 3 0 × 3 4 6 × 3 5 0 × 3 6 | C 3v , [3] | |
| 6 | 12 | |||||
| Аугментация 2 тета + 1 окт. | 12 | 18 | 8 | 2 × 3 3 1 × 3 4 4 × 3 5 1 × 3 6 | C 2v , [2] | |
| 2 2 2 | 11 | 7 | ||||
Усиление треугольной усеченной кости 3 тета + 1 окт. | 14 | 21 год | 9 | 3 × 3 3 0 × 3 4 3 × 3 5 3 × 3 6 | C 3v , [3] | |
| 1 3 1 | 9 | 6 | ||||
| Удлиненный октаэдр Увеличение 2 тца + 2 окта | 16 | 24 | 10 | 0 × 3 3 4 × 3 4 4 × 3 5 2 × 3 6 | D 2h , [2,2] | |
| 4 4 | 12 | 6 | ||||
Увеличение тетраэдра 4 тета + 1 окт. | 16 | 24 | 10 | 4 × 3 3 0 × 3 4 0 × 3 5 6 × 3 6 | Т д , [3,3] | |
| 4 | 6 | 4 | ||||
| Аугментация 3 тета + 2 окта | 18 | 27 | 11 | 1 × 3 3 2 × 3 4 5 × 3 5 3 × 3 6 | D 2h , [2,2] | |
| 2 1 2 2 | 14 | 9 | ||||
| Икосаэдр со сжатием ребер | 18 | 27 | 11 | 0 × 3 3 2 × 3 4 8 × 3 5 1 × 3 6 | C 2v , [2] | |
| 12 2 | 22 | 10 | ||||
| Треугольное двукрылое увеличение 6 зубцов + 2 окта | 20 | 30 | 12 | 0 × 3 3 3 × 3 4 6 × 3 5 3 × 3 6 | D 3h , [3,2] | |
| 2 6 | 15 | 9 | ||||
| Треугольный купол Аугментация 4 тета + 3 окт. | 22 | 33 | 13 | 0 × 3 3 3 × 3 4 6 × 3 5 4 × 3 6 | C 3v , [3] | |
| 3 3 1 1 | 15 | 9 | ||||
Увеличение треугольной бипирамиды 8 тетов + 2 окта | 24 | 36 | 14 | 2 × 3 3 3 × 3 4 0 × 3 5 9 × 3 6 | D 3h , [3] | |
| 6 | 9 | 5 | ||||
| Шестиугольная антипризма | 24 | 36 | 14 | 0 × 3 3 0 × 3 4 12 × 3 5 2 × 3 6 | Д 6д , [12,2 + ] | |
| 12 2 | 24 | 12 | ||||
| Усеченный тетраэдр Увеличение 6 тетов + 4 окт. | 28 год | 42 | 16 | 0 × 3 3 0 × 3 4 12 × 3 5 4 × 3 6 | Т д , [3,3] | |
| 4 4 | 18 | 12 | ||||
| Кубооктаэдр Тетракис Октаэдр Увеличение 8 тетов + 6 октов | 32 | 48 | 18 | 0 × 3 3 12 × 3 4 0 × 3 5 6 × 3 6 | О ч , [4,3] | |
| 8 | 12 | 6 |
Невыпуклые формы [ править ]
Существует бесконечное количество невыпуклых форм.
Некоторые примеры дельтаэдров, пересекающих грани:
- Большой икосаэдр - тело Кеплера-Пуансо с 20 пересекающимися треугольниками
Другие невыпуклые дельтаэдры могут быть созданы путем добавления равносторонних пирамид к граням всех 5 правильных многогранников:
| триакис тетраэдр | тетракис шестигранник | триакис октаэдр ( stella octangula ) | пентакис додекаэдр | триакис икосаэдр |
|---|---|---|---|---|
| 12 треугольников | 24 треугольника | 60 треугольников | ||
Другие увеличения тетраэдра включают:
| 8 треугольников | 10 треугольников | 12 треугольников |
|---|
Также добавив перевернутые пирамиды к граням:
- Выкапанный додекаэдр
Выкапанный додекаэдр | Тороидальный deltahedron |
| 60 треугольников | 48 треугольников |
|---|
См. Также [ править ]
- Симплициальный многогранник - многогранники со всеми симплексными гранями
Ссылки [ править ]
- ^ Freudenthal, H ; ван дер Варден, Б.Л. (1947), «Over een bewering van Euclides (« Об утверждении Евклида »)», Саймон Стевин (на голландском языке), 25 : 115–128 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ) (Они показали, что выпуклых дельтаэдров всего 8.)
- ^ Trigg, Charles W. (1978), "бесконечный класс Deltahedra", Математика Magazine , 51 (1): 55-57, DOI : 10,1080 / 0025570X.1978.11976675 , JSTOR 2689647 .
- ^ Выпуклые дельтаэдры и учет копланарных граней
Дальнейшее чтение [ править ]
- Раузенбергер, О. (1915), «Konvexe pseudoreguläre Polyeder», Zeitschrift für Mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht , 46 : 135–142.
- Cundy, Х. Мартин (декабрь 1952), "Deltahedra", Математический вестник , 36 : 263-266, DOI : 10,2307 / 3608204 , JSTOR 3608204 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
- Канди, Х. Мартин ; Роллетт А. (1989), «3.11. Дельтаэдры», Математические модели (3-е изд.), Стрэдброк, Англия: Tarquin Pub., Стр. 142–144..
- Гарднер, Мартин (1992), Fractal Music, Hypercards, and More: Mathematical Recreations from Scientific American , Нью-Йорк: WH Freeman, стр. 40, 53 и 58-60 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
- Пью, Энтони (1976), Многогранники: визуальный подход , Калифорния: Калифорнийский университет Press в Беркли, ISBN 0-520-03056-7 стр. 35–36
Внешние ссылки [ править ]
- Вайсштейн, Эрик В. , «Дельтаэдр» , MathWorld
- Восемь выпуклых дельтаэдров
- Дельтаэдр
- Дельтаэдр
